1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1)/2) Принимая во внимание, что дпя гамма. функции выполняется соотношение Г (2) Г (1 — 2) 11п ят = л, находим, что результат хорошо согласуется с выражением для полного сечения, полученного в случае, когда потенциал взаимодействия У= С/1 " (см. формулу (8) задачи 2.15). а 2.3. Неупругое столкновение атомных частиц Задача 2.19. Получить систему уравнений дяя амплитуд вероятностей перехода между резонансными состояниями. Поскольку уровни энергий квазимолекулы в случае резонансных процессов оказываются близкими прн больших расстояниях между ядрами, то резонансные переходы при медленном соударении атомных частиц совершаются уже при больших расстояниях между ядрами по сравнению с их 9! размерами.
При этом переходы в другие состонния ациабатнчески маловероятны, так что волновую функцию сталкивающихся атомных частиц можно представить в виде комбинации ограниченного числа волновых функций квазимолекулы е) . Пусть ч~е — волновая функция квазимолекулы, соответствующая одному нз группы резонансных уровней атомов. Тогда, подставляя разложение дпя волновой функции системы сталкивающихся атомов 1г 'Р = Х сеять ехр — — (Е, + Ез)~ 2 1т д'р в уравнение Шредингера Ф вЂ” = Н Р, умножая зто уравнение слева на волдг новую функцию квазимолекулы р' и интегрируя по электронным координатам, получаем систему уравнений для коэффициентов сю: дел Е, +Ез (1) Здесь Е, и Е, — уровни энергии начального н конечного состояний при бесконечном расстоянии между ядрами, Н,„я — матричный элемент гамильтониана, взятый по волновым функциям квазимолекулы.
Мы считаем, что при бесконечном расстоянии между ядрами случайно оказались близкими два уровня энергии системы, канщый из которых может оказаться многократно вырожденным. Зто вырождение снимается при сближении атомных частиц нли же за счет слабых внутренних атомных полей (тонкое или сверх- тонкое взаимодействие). В систему уравнений (1) включены все состояния, которым при бесконечном расстоянии между ядрами и в отсутствие слабых внутренних атомных полей соответствует электронная энергия Е, или Е,. Если переходы совершаются между Я-состояниями атомов, то система уравнений (1) сводится к двум уравнениям.
В этом случае для волновой функции стал киваюшихся частиц имеем 'р = (ст~р~ + сто) ехр 1 (Н~~ +Нзз)дг (2) где р,, р, отвечают состояниям квазимолекулы, которые при бесконечном расстоянии между ядрами соответствуют начальному и конечному состояниям сталкивающихся частиц. ар Подставим это вырюкение в уравнение Шредингера (Ь вЂ” =НР; дпя ко- нг эффициентов получаем следуюшую систему уравнений; к (с = — с е — с, 2 к 1с = — с — — с, (3) 92 е) это относится к резонансным процессам, при которых не происходит оеяобоно дение электроне.
1 1 где Ь(Н) = — [2Н~э — (Ны +Нээ) <ч~г ! Рэ > ], к(К) = — (̈́— Нээ); Ни,— матричный элемент гамильтониана, взятый между соответствующими состояниями квазимолекулы; при этом закон сближения ядер мы считаем свободным: Н' = рэ + иэгэ (где р — прицельный параметр столкновения). Зту систему уравнений следует решать при начальных условиях ~ с, ~ = 1, сэ = О при г = — . Вероятность перехода в рассматриваемом случае рав- наР =!сэ( )!э. Задача 2.20.
Определить вероятность перехода между двумя Я.состояниями, если в области перехода, где к - Ь, зависимости к и Ь вЂ” жть от времени аппроксимируются формулами к = соотг, 21 = 2ае (формула Демкова) Общий атособ подхода к системе уравнений (3) задачи 2.19 может быть сформулирован следующим способом. В области, где х э. а, решение системы уравнений имеет вид ' х с, =а ехр~! ) — г1г'~, 2 'к сэ =6 ехР— ! 1" — сй ~. 2 В интервале времени, в котором х.ь сг, решениями системьйуравнений (3) задачи 2.19, являются /'21 с, = сот| )' — Ж' + 0 2 / '21 сэ = — 1аш~ ) — с1г' + В .
2 93 При этом значения ~ с, ~ и ! сэ ! не изменяются со временем. В случае же, когда к (< Ь, не изменяются со временем значения 1 с, + сэ 1, ~ с, — с, 1. Таким образом, в интервале времени, когда к > Ь, адиабатически маловероятны переходы между состояниями, которым отвечает волновая функция квазимолекулы Р, или уэ; в интервале времени, когда к < Ь, адиабатически маловероятны переходы между состояниями, которым соответствуют волновые функции квазимолекулы (р~ + ч~г)! т/2 и М вЂ” ~Рэ) I ч'2. В ге моменты времени, когда происходит переход о~ одной системы функций к другой, происходят пеаднабатические переходы между рассматриваемыми состояниями.
Из приведенного анализа следует, ч~о для решения системы уравнений мы должны разбить область времени на несколько частей, решить систему уравнений в каждой части и сшить это решение с решением в предыдущей и в последующей областях времени на границе, где эти области перекрываются. В РассматРиваемом слУчае пРи Г -ь — ~ с,1 = 1, сэ = О. Это Условие сохраняется, пока Ь < к. В области перехода к -Ь система уравнений (3) задачи 2А 8 дпя амплитуды перехода принимает вид сс сст .
° тгт сс, = — с, + ае 'с,, сс, = ае 'с! — — сг. (2) 2 Решая зту систему уравнений прн заданных начальных условиях (сг = О, с! = 1, с = — ), получим с, = е 'У с, атее 2 сЬ— г г 2 2 сЬ— г ' г 2 После прохождения области перехода при сближении ядер (с - ) амплитуды вероятности оказываются равными ! с с, = сЬ вЂ” соьатое ' +с— 2 4 (4) ! лаго~с г сс т ля то '! сг = сЬ вЂ” ( 4!в~атее + с — (. 2 4 г' Решение системы уравнений (3) задачи 2Л 9 в интервале времени, где 2г т к, имеет вид (5) с, =Асс!~ / — с7с +р), сг= — сАа1п~ / ссс то 2 2 Сшивая его с решением в области сг -к прн с -, получим в обла- сти 5> к: (б) лкто, "г / ' д, слкто; с! с СЬ 5сп ) ссс + 2 ) В интервале времени, в котором б к, при разлете частиц получаем для системы уравнений, отвечаюшей амплитудам вероятности: к тт сс, = — с, +ае сг, 2 (7) т! к с, + — с, с с! = ссе 94 причем г отличается от г началом отсчета.
Зта система уравнений аналогична системе уравнений (2) в области Ь - х при сближении ялер. Сшивая решения этой системы уравнений при г~ — — ° с выражениями дпя амплитуд вероятностей с,, сэ в области т5 - к и используя зти решения при г -+, получим лдя вероятности перехода формулу ах го Р = ~ ст( ) ~ = яп~ / — с/г/сЛ~ 2 (8) ч' = 2' с„(Г ) ~о„(г, К) ехр — — ( е„~й' г — совокупность эпектрошгых координат. Подставим это разложение дч в уравнение Шредингера гй — = НФ, затем полученное уравнение умножим дг слева на 1э„', и проинтегрируем по электронным координатам. Учитывая ортогонапьность волновых функций квазимолекулы, получаем систему уравнений для коэффициентов с,„; (2) где ьэ,„„= (е,„— е„)/Л и матричный элемент берется между состояниями 95 Заметим, что осциллируюший множитель в формуле (8) связан с интер- ференцией волн, возникаюших на втором терме в двух точках перехода, при сближении и разлете атомов.
Если соответствующая разность фаз вели- ка, то быстроосцнллируюший фактор иногда можно заменить средним зна- чением 1/2, так что формула (8) упрошается: э»«ге Р = 1/2сЛ (9) 2 Соотношение (9) называется формулой Розена — Зинера, более обшее соот- ношение (8) — формулой Демкова. Задача 2.21. Определить зависимость вероятности неупругого перехода от скорости сближения атомных частиц при малых скоростях со ударения, При малых скоростях столкновения состояние системы сталкиваюшихся атомов дпя любого расстояния между ядрами мапо отличается от состояния квазимолекулы — системы тех же атомов, но с неподвижными ядрами.
Разложим волновую функцию системы сталкиваюшихся атомов по собст- венным функциям квазимолекулы у„. Волновые функции квазимолеку- лы р„, отвечаюшие данному электронному состоянию квазимолекулы, зависят от расстояния между ядрами А как от параметра н являются реше- ниями уравнения Нс„= е„с„, где Н вЂ” гамнльтониан электронов, е„(И)— энергия данного состояния квазимолекулы. Представим волновую функцию сталкиваюшихся атомов в виде квазимолекулы. Полученная система уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера, и ее решение является задачей той же степени сложности, что и решения уравнения Шредингера. Однако она удобна для построения приближенных решений.
Считая вероятности перехода мютымн, для решения системы уравнений (2) воспользуемся теорией возмушения. В нулевом приближении имеем (о) ст (г) аде ° В первом приближении для амплитуды вероятности перехода это дает / д' с с = 3 ~ — — ) ехр1г' У ьэтог(Г')с(Г, а ), аг (3) Рассмотрим действие оператора д/дт на молекулярную функцию у„,. При смешении атомов вдоль определенной траектории К = К(г) функция у меняется как в результате изменения расстояния между ядрамн, так и в результате поворота молекулярной оси. Поэтому д ° д ° д — =к — +в— аг аК аВ (5) где  — угловая скорость врашения молекулярной оси,  — угол поворота молекулярной оси; производные берутся по координатам электронов, фиксированных в неподвижной системе координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
