1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 21
Текст из файла (страница 21)
~ает возможность использования вместо одной квадратичной двух линей. ных аппроксимаций для гт -. Нр прн сближении и разлете атомов, В отли ые оъ (5) . формула (3) применима при очень малых и даже мнимых значениях ср. Последнее означает, что область квазипересечения классически недостигает"я (А < Иг) и неадиабатнческий переход носит тун.
нел ьный характер. В частности, при цр = б вероятность перехода ранна Оказывается, что результат (б) точно соответствует квантовому решению, если г' определено как (~ р )//г й 2А. Релаксация возбуясденных состояний атомов прн изотропных столкновениях Задача 2.26. Упростить (расцепить) кинетические уравнения, описывающие зеемановскую релаксацию ансамбля атомов в состоянии с электронным моментом /' при изотропных столкновениях со сферически-симметричным атомом. Ансамбль атомов в состоянии с угловым моментом/ характеризуется матрицей плопюсти р/, элементы которой по магнитным квантовым числам л/, т (/л и гй — квантовые числа проекций вектора) на ось Х неко.. торой фиксированной в пространстве системы координат) задают усредненные по ансамблю билинейные комбинации: ! / /» — =(а а ).
/ п»т и» а» / Здесь а»я — коэффициенты разложения функции вырожденного состояния с моментом / по функциям подсостояний 1/, л/ ) . В соответствии с обшими правилами расчета среднего значения физической величины А, представляемой оператором А, следует записать / А» Вр(Ар) = 2' А.. р Видно, что если в выбранном представлении матрица А „диагональна, то для расчета величины А достаточно знать диагональные элементы матрицы / / плотности рю „, = и (эак называемые заселенности) . Знание недиагональных элементов (так называемых ко/ерентностей) необходимо для расчета А в /ех случаях, когда матрица А недиагональна Для характеристики поляризационного состояния атома вместо полного / набора р, можно использовать другой набор — набор поляриэационных / / моментов атома рха, которые определяются через р» соотношением ь ю / / (2) / Из определения р„„видно, что величина Х пробегает значения от О до 2/, а // изм няется от — х до +)/ для каждого х.
Удобсгво использования набо. / ра а состоит в том, что каждый элемент пропорционален среднему эначеха 106 нию мультипольного момента атома ранга 2 и сферической проекции д. чх 1 Например, элемент нулевого ранга рее пропорционален полной заселснно- 1 стн атомного состояния с моментом 1. Три элемента первого ранга р, 1 1 р, е, д, г являются сферическими компонентами вектора, характеризуюшего, как принято говорить, ориентацию атома. Эти компоненты пропорционзльны компонентам вектора углового момента или компонентам вектора 1 магнитного дипольного момента атома.
Пять компонент второго ранга рз за характеризуют выстраивание атома н пропорциональны элементам тензора электрического квадрупольного момента. Физические соображения, которые позволяют упростить кинетические уравнения для матрицы плотности и которые основаны на свойствах изогропии столкновений (изотропное распределение векторов относительных скоростей сталкиваюшихся атомов), следующие.
Поляризационные моменты различных рангов, а также сферические компоненты тензора ранга Х релаксируют независимо, Это означает, например, что если поляризации ансамбля атома отвечала только ориентация момента атома, то релаксационное исчезновение этого момента не может индуцировать появление выстраивания. Кроме этого, релаксационнос исчезновение одной компоненты ориентации не может индупировать появление перпендикулярной ей компоненты. Таким образом, переход от гл лт-представления к Хг1-представлению позволит расцепить систему кинетических уравнений на блоки, каждый из которых характеризуется определенными значениями Х, д.
Рассмотрим релаксацию ансамбля атомов А(1) в тепловом резервуаре сферически-симметричных атомов В при условиях, что столкновениями атомов А друг с другом можно пренебречь. В случае г( = О получим систему кинетических уравнений баланса для заселенностей соответствуюших состояний: л = — (8) ~7 (3) 1 Здесь лю — плотность атомов с данной проекцией момента на выделенное направление, а константы скоростей 7 ~ для переходов между различ. ют ными зеемановскими состояниями атома гл -ь гл выражаются известным соотношением через интегральные сечения: у, = — (ио,>, гл Ф гл', (4) — Е 7мщ 7щщ т'в т где угловые скобки означают усреднение по скоростям частиц.
1 1 1 Учитывал связь (2) межцу л = рюю и рхо, умножим обе части уравне- 1' Х1 ния (3) на ( — 1) и просуммируем по т. Тогда слева гл — гл О Ют ° ! 1 1 мы получим рхо, а в правой части выразим Л через рх, преобразованием, обратным 12) . В результате мы получаем кинетическое уравнение вида в котором, согласно приведенным выше физическим соображениям, должно быть 1 1 хх хх х' что и означает расцепление уравнений. При этом релаксационные константы т„следующим образом выра- 1 жаются через константы 7 Условия обрашения в нуль констант 7 т (при Х чь х ) дают уравнения / У хх связи на зеемановские константы скорости Мы видим, таким образом, что для изотропных столкновений константы 1 скорости 7 ~ связаны линейной зависимостью. Полное число независима ю мых констант равно числу различных рангов поляризационных моментов (иногда называемых неприводимыми константами релаксации), т.е.
равно 2/+ 1. Из них одна константа скорости определяет скорость релаксации полной заселенности состояний. Она равна нулю, если тушение рассматриваемого состояния отсутствует. При этих условиях, например, состояние 1' = 1/2 характеризуется одной константой релаксации 1релаксация ориентации), состояние 2 = 1 — двумя константами 1релаксация ориентации Х = 1 и релаксация выстраивания х = 2), состояние 2 = 312 — тремя константами трелаксация ориентации х = 1, релаксюзия выстраивания х = 2 и релаксация октупольного момента х = 3) . Задача 2.27. Найти выражение дпя иеприводимого сечения релаксации (усредненное по всем ориентациям относительной скорости сечение, соответствуюшее константе скорости 7 1см. задачу 2.26) непох среде~нелло через матрицу рассеяния в представлении полного момен ш.
Предполагая, что переходы происходят только между вырожденными состояниями атома А(у ) при столкновении со сферически.симметричным атомом В, напишем общее выражение для амплитуды рассеяния при изме- Ф, ненни направления волнового вектора от Ч до Ч: ау,юл (2) Иат~т 1 2 Вычислим дифференциальное сечение перехода — = ~ г ~ 1 и проин21о тегрируем его по всем углам рассеяния, задаваемым волновым вектором Ч (где Ч фиксировано). После зтого совершим усреднение по Ч. Каждая процедура приводит к появлению б-функции от относительных моментов в конечном и начальном состояниях.
Таким образом, получаем (3) Это выражение определяет интегральное сечение зеемановского перехода т .ь ш, усредненное по всем ориентациям вектора относительной скорости относительно некоюрой, фиксированной в пространстве системы коорди— / нат. Что касается "диагонального" сечения а „,, то его целесообразно опре.
делить как — I — 1 0 — Х о тт Я2 т' ию им (4) Диагональное сечение — величина о грицагельная, характеризует уход частиц с уровня т. Подстановка (3) и (4) в формулу (7) задачи 2.25 приводит к следуюшему выражению для сечения: — и Х 2 ч 2' 2' ( — 1)ь (2У2 ч1)(212 + 1) Х с д l,, з, лр с Здесь Ч, Ч вЂ” единичные векторы, направленные вдоль Ч и 5 юц;„~ .,„— Я-матРица РассеЯниЯ в пРедставлении Ут1п. ПеРеход в 1ЧУМ-представление осу2цесгвляется стандартной формулой Здесь ( ) — 6/-символы Вигнера. Они возникают следующим образом. 1 Выражение для о ь содержит сумму произведений четырех коэффициен/ тов Клебша — Горлана.
выражение для 7 — шести коэффициентов х Клебша — Гордана. Суммирование по индексам, входящим в три из них, дает 6)-символ, умноженный на коэффициент Клебша — Гордана. Суммирование по индексам четырех оставшихся коэффициентон Клебша— Гордана дает еше один 6/-символ Вигнера. Задача 2.28. Получить выражение для неприводимого сечения релак- 1 сации о в полуклассическом приближении.
Наша задача заключается теперь в переходе от представлени» ц, и к представлению Х, о и усреднению по всем ориентациям системы столкновения по отношению к лабораторной системе. Первый шаг заключается в преобразовании (! 1 х') р'х Х ( 1) (ав„а„'- ) Ф,д и -Й (2) В резулыате двойной подстановки (2) в (1) получаем и',д' ( лв' д,д' ли бйв')рхч' 1! 0 Искомое выражение может быть получено из формулы (5) задачи 2.27 при двух условиях: во-первых, следует воспользоваться асимптотикой 61'-символов при больших величинах относительных и полных уг. ловых моментов, и, во-вторых, следует использовать специфику Я-матрицы, которая возникает'при классическом описании относительного дви.
жения атомов. Мы приведем, однако, другое решение этой задачи. Введем наряду с лабораторной системой координат (в этой системе проекции 1 на выделенную ось обозначены через т и т, а индекс сферической компоненты мультипольного момента — через гг) систему столкновения, '*привязанную" к плоскости столкновения сталкивающейся пары атомов (в этой системе проекции / на выделенную ось обозначены через д и и, а индекс сферической компоненты мультипольного момента — ' через о) .
Рассмотрим изменение билинейной комбинации а'„а„'- при относительном движении атомов вдоль определенной траектории с прицельным парамером р. Изменение амптитуды а~„выражается через матрицу рассеяния 5,,„' (см, П5.11), так что для изменения билинейной комбинации имеем Ь(а'„а';, ) = (5ли'(я)оЬд'(р) ови'ойв'1(яияд )' (1) юд Теперь перейдем от системы столкновения к лабораторной системе. Это осуществляется посредством поворота, задаваемого тремя углами Эйлера (обозначим совокупность этих углов через Я). При повороте величйны р'„преобразуются следующим образом: Рхч Г Рча ()1) аха~ (4) где Р", — матрицы трехмерных вращений (Р функции) .
Ясйо, что усредненные по всем ориентациям А коэффициенты при соответствующих элементах р ч являются вероятностями переходов. Таким образом, рч,,— ч Рх*(о)Рх,',(о)( 1)д — д'х (~ми'Ьй' бия' ди')' (5) где черта над Р'Р обозначает усреднение по всем ориентапиям (т.е. интегрирование по углам Эйлера с учетом нормировки 11'(8 я~)) . Обсуждавшееся в задаче 2.26 свойство расцеплення релаксационных уравнений для мультипольных моментов матрицы плотности вытекает нз ортогональности Р-функций: Рчх, Я)Рх,,Ф) =(2Х+1) гб х Ьчч баа (б) Таким путем находим: 'бчч Рх' (7) где вероятность релаксации Ру равна х Р'„=(2х+1) ' Х (-1)" " Х шд,а (бич'бил' 5аа'5 ') (8) Сечение релаксации а1х определяется через вероятность обычным соот.
ношением: о~х 2ч)рт (р)рФ (9) Формулы (8) и (9) решают поставленную задачу: они выражают вероят'ности и сечения через матрицу рассеяния в системе столкновения. ГЛАВА 3 СТОЛКНОВЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ И МОЛЕКУЛАМИ 5 3.1. Взаимодействие и упругое столкновение электрона с атомом Задача 3.1. Определить разложение нулевой фазы упругого рассеяния электрона на атоме при малых энергиях. Разложение нулевой фазы рассеяния при малых энергиях определяется двумя параметрами: длиной рассеяния электрона на атоме 1. и поляри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
