1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Задача сводится к отысканию коэффициента В. При малой энергии связи электрона, когда размеры электронной орбиты значительно превышают размеры атома, волновая функция в основной области нахождения электрона является решением уравнения Шредингера с потенциалом, равным нулю, т.е. в основной области она опрецеляется асимптотическим выражением. й этом случае В = 1.
Определим следующие члены разложения Вз по степеням б'. Для этого воспользуемся решением уравнения в нулевом и первом приближениях теории возмущений при разложении по малому..параметру й~, которые получены в задаче 3.4. Пронормировав волновую функцию связанного электрона, определим значение константы В, которое оказывается равным 4 В~ ! + (п,уз )э!ч 3 117 й 32.
Неупругое столкновение электрона с атомом (2) причем функция Грина 0 является решением уравнения (3) Функция Грина равна 6(г,с; г',$ ) = 1 е ч1г- ') („ ,т» (О» (('((' ( 4а» г е ()д — ()~ +1е (4) где (Ф„) — система собственных функций атома и суммирование ведется по всем состояниям атома, в том числе и по тем, переход в которые запрещен (()»' < О). Для состояний, в которые переход разрешен (()~ > О), получаем е(ч(г-г),11 2п'е(ч»('-' !лп ( е О (г» (( 1г — г ~ Воспользовавшись этим соотношением в выражении для функций Грина, находим из формулы для волновой функции полной системы, что при больших г справедливо асимптотическое разложение ем»» Ч (г,0- е'ч" Фей)+ ~Х„(д) — Ф„(О.
(5) » При этом амплитуда неупругого перехода связана с волновой функцией полной системы интегральным соотношением 1 А»(д)= — — )" Ф;(с')е '"' 1'(г',$')Ф(г',$')((г'(($', (6) 2п где и — единичный вектор, направленный по г, д — угол рассеяния, т.е. угол между векторами г и Че.
1 те Задача 3.6. Получить асимптотическое разложение для волновой функции системы при неупругом рассеянии электрона на атоме. Уравнение Шредингера для системы, состоящей из атома и налетающего электрона, имеет вид с л 1 О, й) — — Ь вЂ” Е Ф (г, $) = Р(г, Е) Ф (г, О.
(1) 2 » Здесь Н,($) — гамильтониан атома, Е и Ф(г, с) — энергия и волновая функция полной системы, С вЂ” совокупность координат атома, г — коор. дината налетающего электрона, $'(г, $) — оператор взаимодействия налетающего электрона с атомом. Будем рассматривать правую часть уравнения (1) как неоднородность. Тогда формальное решение этого уравнения имеет вид е) = е(ч»(фо(я)+ + ) С (г, е; г', $ ) )((г', ~ ) Ф (г, ~ ) с(г ((1, На основе формулы (5) находим дифференциальное сечение иеупругого рассеяния с переходом атома из состояния 0 в л. Оно является отношением вероятности неупругого рассеяния в единицу времени в элемент телесного угла Ч„~ 1„(о11~йо к плотности потока падающих частиц Че и равно 1оо„= —" 1У„(д)! зло, Чо (7) Здесь К = Ч„п — пе — величина переданного электрону импульса.
Поскольку потенциал взаимодействия электрона с атомом равен 1 х К=1 г ~гг — г~ (где г". — заряд ядра, гг — координата ~'-го атомного электрона, г — координата свободного электрона), то, используя соотношение е '~'дг 4я е — лсг~ Кг в борновском приближении получим 2 ,Го, (д) = — — ( Х е ' ') ! ол (2) Поскольку переданный электрону импульс К и угол рассеяния д связаны соотношениями =Чо ьЧи — 2ЧоЧч созА Л'т1К=ЧеЧлс'соаб то дчя сечения перехода имеем баг т п~ ось = —, Г !(~ ' ")о„! —,. (3) Ч ~чю чч ~ ол )гз ' Борновское приближение (3) применимо, если скорость столкновения электрона с атомом достаточно велика, так что в области координат, которой определяется искомый матричный элемент, волновую функцию налетающего электрона можно считать плоской волной.
При больших скоростях налетающего электрона т5Е ЧΠ— Чь = Ь~т2ЕŠ— «/2Е„= /ЗЕ * 119 Задача 3.7. Определить сечение неупругого перехода в борновском приближении. В этом случае потенциал взаимодействия электрона с атомом можно рассматривать как возмущение„так по в нулевом приближении Ф(г, $) = = е'Ч" Фс Д) . Подставляя зто выражение в формулу (б) задачи 3.6, получим для амплитуды перехода 1 А,(д)= — — ХФ,й) 'Ф й)и( 0~1 Ю м 2я где Е, ń— энергия налетающего электрона до и после столкновения, 1аŠ— энергия возбуждения атома.
Если ЬЕа!ллГГо .б 1 1где а — характер. ный размер атома), то основной вклад в сечение 13) вносят малые передачи импульса, так что экспоненту можно разложить по степеням Кг. В реультаге получим приближение Бете 8я У сон = =, Фх)ол '" (4) ое 1 уо — пн ! где 1) = Х г; — оператор днпольного момента атома, ио и и„— скорости т налетающего электрона до и после столкновения, и — эффективная скорость, которая вводится для учета вклада в интеграл области скоростей рассеянного электрона, где разложение экспоненты незаконно. Задача 3.8. Установить связь длл сечений примого и обратного переходов между двумя состояниями атома в результате столкновения с электроном.
Мысленно изолируем электрон и атом. поместив их в сосуд обт омом Й, Электрон отражается от стенок и сталкивается с атомом. в резулыате чего происходят переходы между состояниями атома. Через большой промежуток времени между состояниями атома устанавливается статистичес. кое равновесие, так что вероятность Р„застать атом в данном состоянии и будет пропорционально числу состояний полной системы, отвечающих данному состоянию атома: Й плрн Рн — 1 3 б )з,1 Здесь ян — статистический вес л.го состояния атома, р„— импульс электрона, соответствУюший этомУ состоЯнию; ИР', + Ео = И Рз + Е„=Е, где Ев полнан энергия системы, Ен энергия и-го состояния атома.
Поскольку рассматриваемая система находится в статистическом равновесии, то среднее число перехопов в единицу времени из состояния 0 в состояние и н обршно одно и то же, т.е. Ре нно = Роро„). Здесь ыо„= (11'Й) попо„— частота перехода, так что 11Й вЂ” плотность э:юктрона, по — скорость электрона, оов — сечение перехода. Используя выражения для Ро н Р„, получим соотношение между сечениями прямого и обратного переходов в виде оооо ооо (оо) = оп йп а„о 1гн ). з з В скобках указаны скорости электрона, при которых берется сечение перехода.
Эти скорости связаны законом сохранения энергии Ми~о + Ео = = И и„' + Г„= Е 1где Е, и ń— электронные энергии атома) . ') Соотношения заколи типа, усреднснныс по максвенловскому распределению зчоктронов, носят название принпнпа дегапьного равновесии. Согласно принципу детального равновесия числа прямых и обратных переходов в системе, наховяШевся в термодинамическом разповесии, равны. Мы будем называть приндипом детали ного равновесия и соотношевия ллежду сечениями типа (2), ибо соотношения этого виде одиозна ~но следуют из принпипа детального равновесия. 120 Задача 3.9. Получить формулу для амплитуды неупругого рассеяния электрона на атоме с учетом обменного взаимодействия электрона с атомом.
Для этой цели нужно определить сначала спиновое состояние полной системы, состоящей из налетающего электрона и атома. Если пренебречь спин. орбитальным взаимодействием, то квантовыми числами рассматриваемой системы будут полный спин электронов и его проекция на выделенное направление, так что рассеяние электрона на атоме удобно рассматривать в представлении этих квантовых чисел. Введем амплитуды рассеяния а„(д, 5 + 1/2) и а„(д, 5 — 1/2), которые соответствуют переходу атома в состояние л, если в процессе перехода полный спин системы оставался равным соответственно 5 ь 1/2 или 5 — 1/2.
Согласно определению амплитуд перехода асимптотическое выражение Лля волновой функции системы включает в себя зти амплитуды перехода следующим образом: Ф (г, () — — ~ Фе ®, 5. 5,) т1 (т;) е ' ' + + Х . а„д,5+ — Ф„~„5+ —,5, + — + ли ~ 5 (а ~» 5 5*+ Здесь $; — совокупность координат всех электронов системы, кроме ~'-го, гг — координата ~'-го электрона, П,(з;), ц (тг) — спиновая функция ~'-го электрона, отвечающая данному знаку проекции спина на выделенное направление, Ф„Ц;, 5, 5,) — волновая функция, отвечающая л-му состоянию атома, спину 5 и проекции спина на выделенное направление 5,; волновая функция Ф„(Д;, 5, 5а) описывает л.е состояние атома, причем полный спин атома и налетающего электрона равен 5, а проекция суммарного спина на выделенное направление — 5,.
Амплитуды а„(д, 5 + 1/2) включают в себя обменное взаимодействие электрона с атомом и могут быть найдены при учете симметрии полной волновой функции. На основе приема, который мы использовали при выводе формулы (6) задачи 3.6, для амплитуды рассеяния с учетом обмена получаем а 1б,5я — ~= — — Р/Ч ~~'.,5я — ~е ч" "Х Х Г(г, ~,'.) Ф $,'., г,'.,5 + — ) г/г,'.г/е,'.. Здесь оператор Р; учитывает всевозможные перестановки между электронами, при которых полный спин системы остается равным 5 + 'А; Ф($;, г;, 5+ 1/2) — точная волновая функция системы, состоящей из ~'-го электрона н атома, которая соответствует полному спину 5+ г1; 1»„— единичный вектор, направленный вдоль о„.
121 В частном случае одяоэлектронного атома волновая функция двух электронов разбивается на произведение координатной и спиновой функций; при этом формула (2) упрощается. ! я (гэ) =-- — . ( (Фя(г' )е Фиг Хя З Фя(г)с юяг !гя) Х Х $~(г,, г ) (Ф(г, г~ ) з Ф(г,, г')) г(г Ыг',, (3) причем знак плюс соответствует нулевому полному спину электронов, минус — единичному спину; г, г, — координаты электронов, Р(г, г,) — потенциал взаимодействия налетающего электрона с атомом. Отсюда следует, что амплитуда рассеяния может быть представлена в виде ая(гэ) =Л,(д) я К„(д).
(4) Здесь знак шгюс отвечает нулевому полному спину электронов, а знак минус соответствует полному спину электронов, равному ецинице. Амплиту. ды прямого рассеяния („и обменного рассеяния 5 „удовлетворяют соотношению (6) задачи 3.6, причем в первом случае асимптотическое выражение лля волновой функции при бесконечном удалении электронов дается формулой Ф(г, г ) -' е!Ч"'Фе(г ) (см. формулу (5) задачи 3.6), а во втором случае — формулой Ф(г, г) — е Ч"' Фе(г) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
