1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 27
Текст из файла (страница 27)
По- скольку Х1<01е '"'1Ч'>1эо?Ч'= Х1<01е ' '1л >1' = 1, н а 3.4. Столкновение электрона с молекулой За)вин 3.26. Определить сечение возбуждения вращательных уровней двухатомной молекулы электронным ударом в борновском приближении. Используя в формуле (1) задачи 3.2 пля амплитуды рассеяния электро- на на молекуле в борновском приближении в качестве квантовых чисел вращательные квантовые числа молекулы, представим эту формулу в виде у (уту, у'т, д) = — — )'Яг (уту ! е '"'!'(г, а) ! у'т' ). (1) с ю Ф Здесь К = Вп — гу п, где и, и, л, и — волновые векторы электрона до и пос- ле столкновения, д — угол рассеяния электрона, У, ту .- вращательный мо- мент молекулы и его проекция на выделенное направление до столкновез Ф ния, у, т.
— те же параметры молекулы после столкновения, л, и — еднничу ные векторы, Цг, а) — потенциал взаимодействия электрона с молекулой (г — координата электрона, а — направление оси молекулы) . Разложим потенциал взаимодействия электрона с молекулой цо сфери. ческим гармоникам: !г(г, з) = Е !гл(г)Рл(сот Вг,), л=о где !'л — коэффициенты разложения, Рл(соа В) — полиномы Лежандра, „— угол между векторами г и а. Поскольку ;к, е ' ' =х/ — 2' г '(21+!)Ру(сот ду(г)Уу+,уз(Кг), 2Кг у=о то имеем ! У'= — — у г'гУгдо, (!ту ! е ' ')г(г, а) ~ у'т,' / я = — 2 )гггУг 2' 1 "угл(г)Ул+1уз(Кг) Л/ — (уту ! Рл(соз Ву(т)!уту), (2) о л а 2Кг где Вк, — угол между векторами К и а.
Дифференциальное сечение неупругого рассеяния усредним по начальным состояниям т; н просуммируем по конечным состояниям т, Получим уо Ч' ! у /',, э с' 1 — — — Х Х ! у(уту„у'т', д) ! = — Х )( суо о 21 + 1 т = — у м ' = - Р у у г) 21+1 м, ю'. у' у 1 2 х [ 1 т г.* а.
г.я (†" .„„„ ки </; ~ г ь.. в„с ~ ! ., >) ~з> ле 2Кг Используем свойства матричных элементов от полиномов Лежандра. Имеем угу (уту ! Рл(сот Вкь) !у т. ) = ~ , ) (у О ! Рл(сот В!( а) ! у'О ) = ~т О гл у у 138 Л где !, / — 3/-символы Вигнера. Так как .,', ('.,: '.',М'...' '.',)-,';:, йо 44 21 +! Й ! ЛЛ ! г [ 1Г ЙГ~Х Хл+~1з(Кг) Ул(г) Но д а=о 2Л+1 О О О( "о 2Кг (4) у 3 Здесь величина К содержит зависимость от угла рассеяния: К' =д + ц — 244'соа д.
Полное сечение неупругого рассеяния электрона на молекуле, приводящее к переходу межпу вращательными уровнями, равно 8п ч ее' 2/'+ 1 0= — 2 Г,Как Х Х Ч гч — чй л=а 2Л+1 х[~,'а,Х вЂ” ь„„а~р~~! (~ ' ~) Формулу !4) можно использовать и прн исследовании упругого рассея. ния электрона на молекуле. В этом случае сечение упругого рассеяния н~ зависит от квантового числа / и равно йт - 1-, /я — = 4 Х )'г йг~/ — Ххь,/з1,Кг) Р'х(г) 1б) с/о л=о о 2Кг (5) Выясним условие применимости борновского приближения, использованного для нахохсцення сечения возбуждения вращательных уровней молекулы электронным ударом и сечения упругого рассеяния электрона на мо. лекуле.
Борновское приближение соответствует пренебрежению в уравнении Шредингера для волновой функции электрона ! — — ЬФ+ 1Ч~ — — Ф =О 2 2 !39 вторым членом по сравнению с двумя другими. Как следует иэ полученных результатов, сечение рассеяния медленного электрона на молекуле определяется взаимодействием в области расстояний от электрона до молекулы, составляюшей порядка 1/К - 1/ц, т.е. эти результаты справедливы при условии 4 „2 (7) Задача 3.27. Определить зависимость сечения неупругого рассеянии электрона на молекуле с переходом между колебательными и враптательными уровнями от отношения массы электрона к массе ядер !гл/М) в борновском и классическом приближениях.
В классическом приближении предполагается, что атомы молекулы независимо взаимодействуют с электроном, причем рассеяние электрона на атоме описывается классическими законами. Как следует иэ формулы (5) задачи 3.26, борновское сечение возбуждения вращательных уровней не зависит от отношения гп/М, т.е. оказывается порядка атомного поперечника ое.
Амплитуда перехода между колебательными уровнями согласно формуле (б) задачи З.б имеет структуру ) с(г Фг(К) Фа(К)г (г, К), где г — координата электрона, К вЂ” расстояние межпу ядрами, Фг, Фь — колебательные волновые функции состояний, между которыми происходит переход. Ядерные волновые функции Ф;(К) и Ф„(К) отличны от нуля в малой области расстояний между ядрами, близких к равновесному расстоянию Яе, так что амплитуда колебания ядер мала. Отсюда, разлагая функцию Е по степеням Я вЂ” Яе, находим, что амплитуда перехода между соседними колебательными состояниями порядка амплитуды колебания ядер, Следовательно, сечение перехода между соседними колебательными состояниями ядер в борновском приближении порядка,/т/М.
При классическом подходе мы считаем, что потери энергии электрона как эа счет упругого рассеяния, так и в результате возбуждения колебательных или вращательных уровней одного порядка. Согласно этой модели обмен энергией между электроном и молекулой обусловлен упругим рассеянием электрона на каждом из атомов. Прн упругом рассеянии зпектрона на неподвижном а~оме атому передается энергия порядка (гл/М)е, где е — энергия электрона. Согласно рассматриваемой модели зта энергия расходуется на возбуждение вращательных н колебательных степеней свободы.
Поскольку расстояние между вращательными уровнями порядка (гл/М)е,„, а межцу колебательными уровнями порядка х/АМ езл (где е,„— энергия порядка атомной величины), то сечение возбуждения вращательных уровней — величина порядка ое, сечение возбуждения колебательных уровней порядка х/т/Мое, причем величина оо имеет порядок атомного поперечника. Таким образом, на основании борновского приближения или классического подхода получаем, что сечение возбужпения колебательных уровней молекулы электронным ударом в х/т/М раз меньше характерных атомных сечений. Гораздо большее значение цля сечения возбуждения колебательных уровней дает другой механизм, связанный с электронными переходами.
Сечение столкновения двух электронов со скоростями порядка атомных также оказывается порядка атомной величины. Поэтому сечение перехода между колебательными уровнями, отвечающее электронному механизму перехода, также оказывается порядка атомной величины и, следовательно, представляет наибольший практический интерес. Отсюда следует, что диссоциация молекулы практически связана с возбужценнем молекулы в электронное состояние, которому отвечает "отталкивательный" терм, а возбужце~ще колебательных уровней молекулы электронным ударом определяется образованием автоионнзационного состояния электрона и молекулы. Задача 3.28. Определить диффузионное сечение упругого рассеяния медленного электрона на днпольной молекуле. Будем считать, что величина дипольного момента Р молекулы невелика, так что при нахгьждении сечения можно воспользоваться теорией возмущений.
Амплитуда рассеяния электрона на молекуле в борновском приближе- гао нии равна (согласно формуле (1) задачи 3.7) 1 /(К)= — /е 'х" ~~~ У(г)~/г. (1) 2я / ! 1 Поскольку  — угол между векторами г и К = 9 — 9 (9 и 9 — волновые векторы электрона до и после столкновения), У(г) = Рп/г, где н — едю 2 ничный вектор, направленный по г, то имеем Рсоа Окгз е г1г' 2 /Рсоь бкп /'(К) =— / — щг созе 2я К где 0кп — угол между векторами К и П, Далее, так как К' = 1 9 — 9'!' = = 29з(1 — соз д), где угол д — угол рассеяния (между векторами 9 и 9 ), то диффузионное сечение рассеяния равно 2Рз ЬяРз о ' = /(1 — соз д) ~ /' ~зг(о = — / созз д г/с = (3) 3гР Здесь е = 4 — скорость электрона.
Использованная при получении данного результата борновская теория возмущений применима, если в области взаимодействия электрона с атомом, имеющим размеры р, которыми определяется сечение рассеяния электрона, потенциал взаимодействия электрона с молекулой У-Р/рз был мзл по сравнению с кинетической энергией ~Л/Ф -1/рз. Зто дает (ср. с формулой (7) задачи 3.26) Р.ь 1, (4) (2) Задача 3.29.
Определить сечение возбуждения вращательных уровней квадрупольной молекулы электронным ударом. Потенциал взаимодействия электрона с квадрулольной молекулой типа А, при больших расстояниях от электрона до молекулы имеет вид , 2З(О ) 0 г (см. гл. 1) . Поэтому согласно формуле (5) задачи 3.26 сечение возбуждения вращательных уровней имеет вид 2 д+ю' ( г(г /я 12 а(> ~у ) — — / КЫК 2/' — з/ — Уь/т(Кг) Х 9~ ч-ч' с г 2Кг 2/+1 / / 2 причем в случае возбуждения молекулы (/ >/) нз свойств 31тсимволов Вигнера следует, что возможен переход только в состояние /' =/+ 2. Поскольку < / /+ 2 2~' 3(/+ 2) (/+ 1) О О О / 2(2/ + 5) (2/ + 3) (2/+ 1) 141 т.е.
условием применимости полученного результата является малость дипольного момента молекулы по сравнению с соответствующей атомной величиной. и так как г(х 1 /2 )у... о зУг зУг 3~ я имеем Ьд' 4' (у 1)(у 2) е- у!В а(у - у + 2) = — —, уу' = 4 ху 15 4 (2у+ 1) (2у+ 3) е Здесь е — энергия налетающего электрона, ЬŠ— энергия вращательного возбуждения молекулы. Представив энергию вращательного уровня молекулы с вращательным квантовым числом у в виде Ву(у+ 1) (где В— вращательная постоянная линейной молекулы), для 4 /д получаем (4у+ 6)В д е а сечение возбуждения вращательного уровня в борновском приближении записывается в виде яЦг (у+ 1)(!+2) (4!+6)В а(у- у+2) =— 1— (2) 15 (2у+ 1)(2у+ 3) е Сечение обратного перехоу1а может быль получено из этой же формулы на основании принципа детального равновесия (формула (2) задачи Ззб): е(2у + 1) а(е, у — у + 2) = е (2у + 5) а(е', у + 2 - у ), где е = е — Ье — энергия электрона после столкновения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
