1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В результате первый электрон удаляется из атома, имея кинетическую энергию порядка той, которой он обладал, находясь вблизи атомного остатка. После его удаления второй электрон окажется в связанном состоянии. Кроме того, можно доказать, что ионизация атома вблизи порога соответствует траектории 0 = я (где Π— угол между векторами г, и гз), Действительно, в процессе удаления двух электронов, движущихся от ядра в радиальном направлении, потенциал взаимодействия между ними порядка потенциала взаимодействия их с атомным остатком.
Если значение угла между радиус-векторами этих электронов заметно отлично от я, то в процессе удаления онн сообщают друг другу момент вращения, на что затрачивается энергия порядка их кинетической энергии вблизи атомного остатка. При таких условиях электроны не могут вылететь из атома. Следовательно, при однократной ионизации атомной частицы законным является классическое описание электронов для нахождения сечения ионизации вблизи порога. Кроме того, при однократной ионизации вылетевшие из атома два электрона движутся от ядра в радиальном направлении с практически противоположно направленными скоростями в процессе удаления оказываются в каждый момент времени почти на одинаковых расстояниях от ядра. Такое упрощение позволяет в данном случае решить задачу трех тел и определить пороговый закон для сечения ионизации.
Учитывая приведенные рассуждения, проанализируем уравнения движения удаляющихся от атомного остатка электронов н на основе этого определим пороговый закон сечения. Уравнения движения вылетающих электронов имеют вид (в атомных единицах) о г~ 2 гг — гз гз !г, — гз! гз 2 гз г~ — гз — гз ! э „з 2 Поскольку при ионизации электроны удаляются в противоположных направлениях, оставаясь на одинаковых расстояниях от ядра, зададим гт з =-+г + Ьг + бг, где вектор бг направлен вдоль г, а бг — перпендикулярно направлению г. Закон сохранения энергии с точностью до членов по. 132 рядка (/зг/г), (Ьг/г) дает — !Зе + (2) гдеЬе=е — У Решив это уравнение в области 1/г >> Ье, получим з г 8 (3) Разность кинетических энергий лля двух освобождаюшихся электронов со- ставляет Для того чтобы произошла ионизация, т.е. освободились оба электрона, необходимо, чтобы модуль величины б е оказался меньше Ье.
Поэтому для нахождения порогового закона сечения ионизацин требуется проанализировать величину Ьг. Из уравнений (! ) вьпекает спедуюшее уравнение лля Ьг; 2 Ьг (4) ,/з э Выразив согласно соотношению (3) величину г через т в области 1/г>с!е, получаем с/з дг 4 бг = О. 3 з г с/г Решение этого уравнения имеет вид 21г ,— 1/2-а + С ге Г (5) 100/ 9 ! а = — — — — = 1,127.
4 4 1 4 Первый член выражения Ьг/г возрастает при г ~ О. Поскольку в случае нонизации значение Ьг/г 'ь 1 прн любых расстояниях электрона до ядра (в рассматриваемой области расстояний), то в случае, когда имеет место отртяв обоих электронов, имеем С~ = О. Таким образом„в случае отрыва обоих электронов /зг/г =Сзг прн 1/г г. Ье. Сушествует область значений Сз, дри которых ! бе ! с. 2!е, т.е. происходит ионизация атома. Еспн Ье/Х = (е — з)/У мало, то эта область значений С, занимает малую часть в области возможных значений Сз, так что вероятность ионизации мала.
Из соображений симметрии следует, что лля безРазмеРных Расстоаний г,Ье, гете и безРазмеРного вРемени ГЬеэгз 133 законы движения в случае ионизации атома при различных значениях е остаются одннаковымн. Зто имеет место при малых значениях Ье1'Х, когда результат выражается через одну величину Ье, имеющую размерность энергии. Из соображений симметрии следует, что величина Сз преобразуется с изменением Ье пропорционально Ьа . Следовательно, облас~ь значений Сэ, которые отвечают ионизации, изменяется при изменении Ье пропорционально гав, так что вероятность ионизации и сечение ионизации также пропорциональны Ье", т.е. пороговый закон дается формулой о„„- Ьея, а значение показателя а в нем определяется формулой (5).
Прн однократной нонизации атома электронным ударом показателем в пороговом законе является величина а = 1,127. Как видно, взаимодействие между валентнымн и налетающим электронами отражается на характере порогового закона при ионизации атома электронным ударом. Но само значение показателя в пороговом сечении практически мало отличается от показателя в формуле (3) задачи 3.20, ко~да взаимодействием между электронами можно пренебречь. Задача 3.22.
Получить общее выражение для сечения ионизации ато. ма электронным ударом в классическом приближении. Считать, что функцию распределения валентного электрона в атоме можно определить с помощью одного параметра — энергии связи Х данного электрона с атомным остатком.
Параметрами задачи, через которые должно быть выражено классическое сечение отрыва электрона от атома, являются: ги — масса электрона, е — заряд электрона, е — энергия налетающего электрона, Х вЂ” потенциал ионизации атома — энергия связи валентного электрона. Из этих парамет. ров мы можем составить следуюшее выражение с размерностью сечения: сч / е'ьь — — (причем степень 1с может быть произвольной). Наиболее общее /3 у выражение с размерностью сечения, которое может быть получено на осно- ве данных параметров, можно записать в виде где т'(х) — некоторая функция безразмерного параметра.
Отсюда получаем выражение для сечения ионизации атома (в атомных единицах): оыон ~ з Х (2) где лг — число валентных электронов в данной оболочке, Х; — энергия связи электрона, находящегося в данной оболочке. Задав 3.23. Найти сечение ионнзации одноэлектронного атома электронным ударом, используя классическую модель и пренебрегая взаимодействием электронов с ядром в момент рассеяния.
Валентный электрон считать неподвижным. Сечение рассеяния налетающего электрона на неподвижном электроне, прнводягцее к передаче энергии в пределах от Ье да сте + с/Ье, равно 2я д/ге с/о = —— ог деэ где в = х/2е — относительная скорость соударения. Ионизация атома происходит при передаче валентному электрону энергии, большей потенциала нонизации атома Х и меньшей кинетической энергии налетающего электрона е = па/2. Интегрируя по передаваемой энергии и считая валентный электрон неподвижным, получаем классическую формулу Томсона ддя сечения иониэацин однозлектронного атома: Сравнивая формулу Томсона с формулой (1) задачи 3.22, находим, что формула Томсона является частным случаем, отвечающим ионнзации атома электронным ударом в классическом приближении. Задача 3.24. Определить сечение ионизацни атома быстрым электроном на основе классической теории, учитывая движение валентного электрона.
Поскольку скорость налетающего электрона значительно превышает скорость и валентного электрона, то основной вклад в сечение ионизации вносят столкновения, приводящие к рассеянию на малгяе углы. Изменение импульса электрона при рассеянии на малый угол на кулоновском центре равно р гг/г 2р ттр = )' Ес/г = 2 )'— „з,; —; „Рэ РЧт Р где Р— прицельный параметр столкновения, и — относительная скорость соударения (о >) и), г — расстояние между электронами. Столкновение с прицельным параметром Р приводит к следующему изменению энергии валентного электрона: 1/ 2п'~' иэ 2 2вп /зе =,~п + / + А пр / 2 сэр' рс где п — единичный вектор, направленный по р.
Отсюда находим величину прицельного параметра саударения Р, при котором валентному электрону передается энергия сге: Р = — — сге + Это дает для дифференциального сечения рассеяния налетающего электрона 155 на валентном с обменом энергией Ье: 0Ье с/о =2 ярс/р= 2 4 21 2 .4 Усредняя полученное выражение по углу межпу направлением скорости валентного электрона и и нзправлением прицельного параметра соударения электронов р, приведем его к виду с/Ье / ~/о = — — ~бе + — из /, е Дез~ 3 */ где е = и /2 — энергия налетающего электрона.
Далее усредним сечение 2 рассеяния по скоростям валентного электрона и и проинтегрируем по передаваемой валентному электрону энергии, учитывая, что энергия налетающего электрона значительно превышает потенциал ионизацни атома. Получим (2) пиеа 1 + Если валентный электрон сосредоточен в основном в кулоновском поле атомного остатка, то в соответствии с теоремой вириала имеем 1 Т= — — О, 2 гпе Т = 1/2 и' — средняя кинетическая энергия электрона, У- средняя потенциальная энергия связанного электрона в кулоновском поле. С другой стороны, из уравнения Шредингера для валентного электрона следует Из этих соотношений находим среднюю кинетическую энергию электрона, находящегося в кулоновском поле атомного остатка: 1 Т= — и =./ 2 В результате получаем сечение нонизацнн одноэлектронного атома быстрым электроном: 5л 0 = —, ее.э.
3 У (3) Таким образом, учет движения валентното электрона при больших энергиях соударения приводит к увеличению классического сечения ионизации атома электронным ударом в 5/3 раз (ср. с формулой 1! ) задачи 3.23). Задача 3.25. Показать, что сечение ионизации атома с одним вачентным электроном прн столкновении с электроном совпадает с сече- нием упругого соударения налетавшего и валентного электронов, если энергии выбитого и рассеянного электронов значительно превы- шают потенциал ионизации атомов. то 1 < О 1 е ' '1 Ч > 1' = Ь (К вЂ” Ч ). Отсюда получаем /1 1,2 с?о = — ~ —, я2 — ) с?о ИОН ~ 2 2) Ч~ оо Ф Чо Квадрат изменения, импульса налетающего электрона К = Ч~ о+ п2— — 22?од~ соз д, где д — угол рассеяния.
Элемент телесного угла, в который 2лК НК рассеивается электрон, о?оч 2лс< соэ д = , так что 2?од 2 8л /1 1 Ч.' с?о = — ~ —,+ — ) Кс?К. ИОИ 2 , 2 — 2 2/о К 2?о (2) Введем энергию электрона до рассеяния е = до~/2 и энергию выбитого элек- трона е' = Ч' /2, причем полученные выражения справедливы при е >> е. Так как К = Ч, то из последней формулы следует (3) Полученная формула совпадает с выражением лля сечения упругого рассеяния электрона с энергией е на неподвижном электроне, которому после 2 рассеяния передается энергия е . При этом е й е и знак плюс отвечает нулевому спину электронов, минус — единичному. Используя формулы (1), (2) задачи 3.20 дпя сечения ионизации, а также формулу (2) задачи 3,!5 лля амплитуды неупругого рассеяния электрона на атоме, получим для сечения иониэации атома быстрым электроном: ?'1 1 о?пион=4 Г~ ., -+, 11<01е ' '1Ч'>1'с?оч «Ч'.
(1) Чо Чо Здесь Ч, — волновой вектор налетающего электрона до столкновения, Ч,— волновой вектор рассеянного электрона, Ч вЂ” волновой вектор выбитого электрона, причем по З. п~. Так как потенциал иониэацяи атома мал по сравнению с энергией рассеянного и выбитого электронов, из закона сохра>2 пения энергии следует Чоэ = 42 + Ч . далее, при больших значениях Ч мат- ричный элемент <01е ~ '1Ч > как функция К заметно отличается от нуля в узкой области К = Ч . Действительно, если это соотношение не выполня- ется, то подынтегральное выражение в области атома сильно осциллирует, так что матричный элемент оказывается зкспоненпиально малым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
