1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Радиальные функции р, удов- летворяют уравнению / й ) з 2ии(т) /(/+1)1 + — ~Р,=О 1 г ~ йз тз и имеют асимптотический вид при т - чк 1 т' л/ р, - — з(п(цт — — + Ь~ 2 (2) Величины б, носят название фаз рассеяния. Поскольку амплитуда рассеяния определяется асимптотическнм видом волновой функции, то она выражается через фазы рассеяния бп Чтобы установить эту связь, разложим плоскую волну и амплитуду рассея- 72 Здесь К = пп †-Ч вЂ” изменение волнового вектора часпщы в результате рассеяния, связанное с углом рассеяния д соотношением К = 24а1п д/2. Борновское приближение (1) обычно справедливо, если при расстояниях до силового центра т- 1/4, определяющих рассеяние, потенциал взаимоцействия много меньше энергии соударення.
Более точное условие применимости формулы (1) следует из условий применимости теории возмущений в сплошном спектре. Задача 2А. Лля сферически-симметричного потенциала взаимодействия частицег с силовым центром выразить сечение рассеяния через характеристики одномерного движения — фазы рассеяния. При сферически-симметрнчном потенциале взаимодействия задачу можно свести к одномерной и тем самым выразить сечение рассеяния через характеристики одномерного движения. Разделим переменные в уравнении Шредингера, представив волновую функцию частицы в виде разложения: ния по сферическим гармоникам: /п ег"' = ~ — 2: г'(2! + 1)Р|(соз д)У„|Еэ (гЕг), 2гЕг г=о Г(д) = Х 7гРг(соя 6).
|=о Здесь Ег, Нэ (х) — функция Бесселя, которая при больших значениях ар- гумента имеет вид /2 г п(т '!И|12 (х) з/ — згп х пх ~, 2)' Ег — коэффициент разложения амплитуды рассеяния. Сравнивая при больших,г формулу (1) задачи 2.2 с разложением волновой функции по сферическим гармоникам и воспользовавшись затем асимптотическим выражением (2) лля радиальной волновой функции, получим, приравняв при г -+ коэффициенты при членах — е "" и — е Г Аг=е г(21+ 1)|г, Ег= — (2!+ 1)(е ' г — 1).
21гЕ Для амплитуды рассеяния это дает Г(д)= — Х (2!+1)(е ' г — 1)Рг(соъд). (3) 2|гЕ г=о Для полного о = Е (Г(д) |згЕо и диффузионного а" =,Е |Г(д) | (1 — соа д)г(о сечений рассеяния (гЕо = 2пс(соз о — элемент телесного угла), представляющих наибольший практический интерес, получаем 4п 4п о= — Х (21+ 1)з!и бг, о' = Х (Е+ 1)йп (бг — бгч|). (4) гЕ~ г=о гЕ |=о Гаким образом, сечение рассеяния выражается через фазы рассеяния 6,— характеристики одномерного движения, а не трехмерного, как это было при отсутствии сферической симметрии (см, формулу (2) задачи 2.2). Задача 2.5.
Определить фазы рассеяния бг в борковском приближении. На основе формулы (2) задачи 2.2 получим интегральное соотношение для фаз рассеяния. Умножим соотношение (2) задачи 2.2 на Рг (соз д) и проинтегрируем по г(соз д. Воспользовавшись разложением по сферическим гармоникам для волновой функции и амплитуды рассеяния, которая дается формулой (3) задачи 2.4, получим д э|в бг = — — х/2пгЕ )' чггЕг~пю (гЕг)тгг(г) ЕЕ(г) с|г. о Если'в правую часть этого выражения подставить радиальную волновую 73 <е) функцию р, = х/ — 2м ~/з (йг), соответствующую свободному движению 2п частицы, то получим фазу рассеяния в борновском приближении; пд бс= — —,) (/(г)(Лммз (~?г)] ганг. й' о (2) 2.2.
Квазнклассическое приближение при упругом столкновении частиц Задача 2.7. Получить выражение для фазы рассеяния в квазиклассиче ском приближении. Квазиклассическое выражение для радиальной . волновой функции а,, которая является решением уравнения Шредингера (1) задачи 2.4, имеет вид // (/ (1+ 1/2)з, п ) чь Спп ) 'ч'1 — —, г/г + е а'г 4 где ге — классическая точка поворота, в которой подкоренное выражение 74 Борковское приближение в форме (2) имеет более широкую область применимости, чем формула (1) задачи 2.3, ибо теория возмущения может быль использована не для всех фаз рассеяния.
Например, в случае рассеяния медленного электрона на атоме при г — имеет место поляризацион. ное взаимодействие электрона с атомом 1/(г) = — де~./2г~ (где а — поляриэуемость атома) . Тогда согласно формуле (2) цля всех фаз рассеяния, кроме / = О, получаем япп б~= (3) (21+ 1)(21+ 3)(21 — 1)ае где ае = !тз/те' — радиус Бора. При этом основной вклад в интеграл (2) вносят большие расстояния от электрона до ядра г 1/4 з ае, где имеет место поляризационное взаимодействие электрона с атомом. Для нулевой фазы рассеяния теория возмущений неприменима, потому что а этом случае интеграл (2) расходится. Задача 2.6. Определить поведение фаз рассеяния при малых скоростях соударения.
Поскольку при х - О У~,~/т (х) — х" Ыт, то из выражений (1), (2) задачи 2.5 следует, что для короткодействующего потенциала взаимодей. ствия при д — О б~ - Лз"'. Если потенциал взаимодействия на больших расстояниях от силового центра убывает как У г ", то дпя моментов столкновения ! ) (л — 3)/2 зависимость фазы рассеяния от волнового вектора д частицы принимает вид б, - и" Разложение нулевой фазы рассеяния при малых значениях и представ. ляется в виде бе = -Ьп, где величина Т. называется длиной рассеяния. Через нее можно выразить амплитуду рассеяния медленной частицы на силовом центре 1"= — А, а также сечения рассеяния а = о" = 4М . 2 обращается в нуль. Сравнивая формулу (1) с асимптотическим выраже- нием для волновой функции частицы вдали от рассеиваемого центра (фор мула (2) задачи 2.4), дпя квазиклассической фазы рассеяния получим следующую формулу; ,С (С(Г') (1+ !С2)г, лс 11, бС= 11щ ~ 17 1 З/! — — — 2,2 61Г + — ~1+ — ) — аг .
(2) 1'о е сс Г 2~, 2) Задача 2.8. Вьсчислить дифференциальное сечение упругого рассеяния в квазиклассическом приближении. Покажем вначале, что 2' (21+ 1)Рс(сов д) = б(1 — сов д). с=о Из определения производящей функции для полиномов Лежандра (1 — 2сх+ сг) 'Сг = Х ссРс(х) с=с следует, что 6 (21+ 1)ГРс(совд)= 2 з с-о (1 2ссовд+сг)зсг 2' (21+ 1)Р,(сов д) = б (1 — сов д) с=о 1 и амплитуда рассеяния равна с (д) = — 2: (21+ 1) е сРс (сов д) — — б (1 — сов д). 1 гсв 1 21П =о 2сй (2) При рассмотрении рассеяния на ненулевой угол вторым слагаемым в выражении для амплитуды рассеяния можно пренебречь.
Соответственно, дифференциальное сечение упругого рассеяния на нулевой угол принимает вид яс( сов д 6(с = 2лс)совд!У'(д) ! = г Х 2 с)' Х 2, Х (21+1)(2л+1)Р,(совд)Р„(совд). с=о я=о Кваэиклассическое приближение отвечает случаю, когда основной вклад в сечение вносят столкновения с большими знвченилмн момента С, 75 Рассмотрим это соотношение при с -ь 1. В этом пределе везде, кроме х = 1, эта сумма равна нулю, а при х = 1 она равна бесконечности.
Далее, интеграл от этой функции по сСх по области до х =! в пределе С -+ 1 равен единице. Таким образом„ Воспользуемся асимптотическим выражением пля полиномов Лежандра 2 з!и ((! + 1/2) д ь л/4] Р!(соз д) = !03 1. (4) л (2 ! + ! ) з!и д Подставляя зто выражение в формулу для амплитуды рассеяния, дпя дифференциального сечения упругого рассеяния получим с/д йт= — 2' 2: с,/(2!+1)(2л+1)Х сз !=ел=о Х соа((! — л)д] — соз~ д~ 'е ' л+ ]1 ! ) 2 (5) Поскольку в квазиклассическом приближении сечение определяет.
ся большими моментами столкновения, то суммирование по моментам можно заменить интегрированием. По той же причине значения косинусов сильно осциллируют и второй косинус с аргументом, равным (! + л + 1) д/2 + л/4, не вносит вклада в сечение.
Интеграл по с/и сходится вблизи л =!, так что, выполнив интегрирование по дл, подучим ланд Но = — / (2 !+ 1) д!~6~2 — — д~+ 6( 2 — + д пз о гЛ (б) Введем классический угол рассеяния с помошью соотношения г/б! дкл =*2 —, г/! (7) причем потенциалу отталкивания соответствует знак плюс, потенциалу притяжения — минус. С помощйю прицельного параметра столкновения р = (! + 1/2)/и перепишем полученное выражение для дифференциально- го сечения упругого рассеяния в виде ~Ь=Но,! рг/рб(д — дкл)= 2лрдр, о' (8) где р и д связаны соотношением д = д„„(р). Раскроем это соотношение.
Фаза рассеяния в каазиклассическом приближении дается формулой (2) задачи 2.7. Дифференцируя зто соотношение и вводя прицельный параметр столкновения, получаем классическую формулу для угла рассеяния: "а„„- рь г,. /~-ч, р~,' (9) причем знак минус отвечает отталкиванию, а плюс — притяжению. Формула (9) определяет функцию р = р(д„„), которая должна быть использована для расчета сечения согласно (8) . Заметим, что если р = р(д„„) окажется многозначной функцией д„„, то выражение для дифференллального сечения будет более сложным.
Задача 2.9. Определить угол рассеяния при столкновении классических частиц с резко изменяющимся отталкивательным потенциалом взаимодействия (7(А) . Наша задача состоит в разложении угла рассеяния частиц по малому параметру: где А — расстояние между сталкивающимися частицами, которое отвечает области Б(Я) е (е — кинетическая энергия сталкивающихся частиц в системе центра инерций). Отметим, что потенциал взаимодействия сталкивающихся частиц в рассматриваемой области расстояний между частицами аппроксимируется зависимостью (7(Я) = СЯ ", причем условие резкости изменения потенциала взаимодействия дает л > 1, что совладает с соотношением (1) .
Угол рассеяния частиц, движущихся по классическому закону, определяется формулой (1) задачи 2.8: 17(тт) р' 1 Нз рсИ д=я — 2( [1 — — — — ] дз яз (27. В нулевом приближении рассматриваемая задача соответствует модели твердых сфер, когда потенциал взаимодействия частиц можно заменить бесконечной твердой стенкой. Выберем для заданного прицельного расстояния модельный потенциал в виде О, )т)ге, и(л) = тт ~го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
