1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Явное аналитическое выражение для волновой функции может быть получено в достаточно общем случае, когда разброс доплеровских сдвигов /ог«ожЪ(о/Ма мал по сравнению с частотой Рабн Р, (1651. Здесь а =а(1) есть зависая(ая от времени пространственная ширина волнового пакета атома. Рассмотрим, например, явный вид волновых функций Ч' (в, 1), описывающих трансляционное состояние атома, для волнового пакета, определенного при 1= 0 соотношением (10.10). Прн указанном вып«е условии.
(10.! 2) о 16З и разложить соотношения (10.11) в ряды по степеням д. Поскольку в соотношениях ('10.1!) содержатся экспоненты ехр [ — ',',а,,(7 — Л,2) ~, показатели которых квадратпчны по г7, то показатели экспонент (~-1М/2) должны быть разложены ташке до второго порндка по а. Предэкспонеш1нальиые множители в (10.11) достаточно вычислить в нулевом порядке по а. После данных разложений и вычисления интегралов (10.6), для волновых функций, оппсывающих трансляционное движение атома, спедуоот соотношения (901: а ~, р'я < о — (о + П и 724 ) 1 — гата,'2т 7 1+ П ~Л л а о ~ о ~ 2 ~ ~ о ~ ~ ~~ ~ ~ ~ и ~ о ~ | ~ ~ ~ ~ и ~ ~ !~ ~ | ~ и 1 1 . — О, — П...О~Π— о,;,ыт)' о Х ехР— 2 Лот о. ') ~м ь)„~ ы Ч' (з 1) = < —,' ) — ' ехр~1~Я' + — ) з — — О1 —,— ~ о — — *Р[ — 1о,Й < ' '', ' ' ))).
(!ойтуз) Здесь введены обозначения: но= ~оого'Л1~ По=П )гао йо = <4)го + По) а = ао+ — (1~ — ори, Дг ( Пз о 10.1.2. Эволюция атомного волнового пакета. Исходя из выражения (10.2) можно вычислить плотность вероятности нахождения атома в точке х в момент времени 1: р(з, 1) = ~~Л~ ! Чг„(г,т) <о. (10.14) 170 импульсная ширина волнового пакета атома гога мала по сравнению с характерными масштабамн 2МР,И изменения предэкспоненцнальных множителей и экспонент ехр(НЫ2) в (10.11).
По этой причине можно положить Х вЂ” Л~,=д Положим для определенности, что рассматривается волновой пакет, определенный при с =0 волновой функцией (10.10). Тогда при условии (10.12) волновые функции (10.13) определяют плотность вероятности [90] ' "-' '-"*'- ~ — '(-(""("-:-'— """ЖЛ + -' "ехр — 4 = — уз+ 1 — ь— '+ '3" 2 (10.15) Здесь а~ = аз 1+ —,, 1-+- Соотношение (10.15) показывает, что волновой пакет двухуровневого атома расщепляется в плоской бегущей волне на два пакета, имеющих скоростн движения И, 2ГЛ,т (10.16) Разность скоростей двух пакетов пропорциональна скорости отдачи и, =Ь/г/М.
Вероятность нахождения атома в одном из пакетов есть '/,(1 — П,/Л,), вероятность нахождения в другом пакете есть '/~(1+ П,/Ь,). Пакеты уширяются с различными скоростями, причем скорость уширения одного пакета больше, а другого — меныпе скорости ушнрения волнового пакета свободного атома 1165). Отметим, что внутреннее состояние атома, находящегося в одном из двух пакетов, является суперпозицнонным. Находясь в одном из волновых пакетов, атом с отличными от нуля вероятностями находится в состояниях ~д>, ~е>. Таким образом, различие импульсов атома в квантовых состояниях |д>, ~е> обусловливает удвоение траектории атома в бегущей волне. Данное явление имеет определенную аналогию с расщеплением траектории атома в неоднородном магнитном поле.
По этой причине когерентпое рассеяние атомов на бегущей световой волне иногда называют оптическим аналогом эффекта 1Птерна — Герлаха. в 10.2. Стационарные состояния атома в стоячей волне Вторым интересным примером когерептного атомного движения является случай движения атома в стоячей волне, которая состоит из двух встречных бегущих волн.
В слу ьае стоячей волны пространственная периодичность светового поля обусловливает существование волной структуры энергетического спектра 171 трансляционного движения атома. Наличие зонной структуры анергетического спектра означает, что в стоячей световой волне существуют стационарные квантовые состояния атома. В настоящем параграфе мы рассмотрим собственные функции и спектр таких стационарных состояний. Динамика атома в поле стоячей волны будет рассмотрена в з 10.3.
10.21. Стационарные уравнения движения. Длн одномерного движения атома вдоль стоячей световой волны (4.9) уравнение Шредингера (10.1) после разложения (10.2) сводится к системе уравнений для функций Ч'„(г, 1): дЧ'„л д Ч' — = — — — ~ — 2Г е' 'сов йгЧ' д1 221 а г о е~ ач', л ач, — = — — — ' — 2)г„е ' 'сов йгЧ' . (10.17) Стационарные решения уравнений (10.17) естественно искать в виде Ч' (г, 1) = и„(г) ехр( — — Е„11. (10.18) После подстановки (1018) в (10.17) последние уравнения при условии Е, =Е,+ АР (10.19) сводятся к уравнениям для пространственных волновых функций (76): а'и 2МЕ„4.ЦУ + — иг + ие соз Йг =О, Иг Л' д ~, 221 (Е, + ЛО) 4ХХР г л' и, + — 'и сов йг = О.
л (10. 20) Ъ'равнения (10.20) согласно теореме Флоке — Ляпунова [166) имеют фундаментальные решения вида и'их (г) = е юа (г). (10.21) Здесь характеристический показатель 1=Л,(Е,) при заданном Е, может принимать одно пз четырех (7 = 1, ..., 4) возможных значений. Каждый характеристический показатель 1; определен с точностью до Й. Функции 1а„' (г) периодичны с периодом 2л/А = й: 1сз (г + й) = и;, (г). 10.2.2. Собственные состояния трансляционного движении атома. Решения (10.21) уравнений (10.20) ограничены на действительной осн = при чисто мнимых значениях характеристиче- 172 ских показателей, когда Л= ьл,'.
Соответствующие таким характеристическим показателем функции У гмбх,ХФ иа (з) = е юа (з) (10. 22) являются собственными функциями стационарных состояний атома в поле стоячей волны. Величина л," определена с точностью до волнового вектора поля й и имеет смысл квазивектора атома. Согласно уравнениям (10.20), г7и' г7аг, (2йуЕ ~ дг 4П! 7га у .Хс у — + 2Ж вЂ” Я+ — „' — Е'3 и + ' сов ймн, = 0 ь~ ( гм(е,+ ха),'1 д — + 2г'Х вЂ” '+ ( л — Л"з! и, + ага| Из 4й11г дг + а соз ймов = О, (10.23) $ челне Е.
= Ег + ЬЙ трансляционной энергии в состоянии ~е). Множества собственных значений Е, и Е, вследствие периодичности поля образуют зонную структуру энергетического спектра. На границах зон собственные функции (10.22) являются периодическими. При 12 Ф 0 зонный спектр атома состоит пз двух систем зон (рнс. 10.1). Это связано с тем, что при П Ф 0 одному квазивектору Х отвечают два значения энергии в Еа: Е„, и Ее. а также дза значения энергии Е; Е, = Е,, + Й(з и Ез = Е; + й(с. Последнее непосредственно следует из уравнений (10.23).
Действительно, пусть при заианном 7з" система уравнений (10.23) имеет отличное от нуля решение при Ея = Е,,(Р). Тогда второе ненулевое решенпе может быть получено заменой индексов К з- е, если при этом сделать — П. Эти замены показывают, о 'о ь,~ ь, '( — )-. Еа 1'нс. 10.1. Энергетический спектр атома в стоячей световой волне при 17 ~ О. Две пары собственных значении: Е и Е, = Е, + +азз; Е з! Е =Е +Ли — отвечагот одному и тому же значенгг~о квазнвектора Х замены Е, + Ь(з Е, и гто заданному квазивектору 173 каждому значению квазивектора отвечает определенное собственное значение Е, трансляционной энергии атома в состоянии !д>. а также собственное знаг,,1 Л' наряду с собственным значением Е„(й) соответствует собственное значение Е,"(й) = Е,'( й) йй.
Физически удвоение зон обусловлено тем, что прп й т20 трансляционные состояния, отвечающие двум внутренним состоянием, Гд> и ~е), не являются эквивалентнытш. При й= 0 различие между состояниями ~д) и Ге) исчезает. Соответственно исчезает и различие между трансляционными состояниями, отвечающими внутренним состояниям ~д) и ~е>, и две системы зоп оказываются совпадающими: Ез(0) Ез(0). Другими словами, при й=0 трансляционное состояние атома в стоячей волне оказывается симметричным по отношению к заменам Г4') Ге).
10.2.3. Энергетический спектр и законы дисперсия. Границам энергетического спектра атома в стоячей световой волне соответствуют периодические регпения уравнений (10.20), (10.23). Все периодические решения иг (г), и, (2) в отвечающие нм возможные граничные значения энергий Ез', Е, = Ег + йй были определены в 1761. На рпс. 10.2 в качестве примера приведены нормированные на энергию отдачи И =ЬГЬЧ2М возможные граничные значения энергий Е,", = ЛЬ2ГГ4 и Е, = ЛЬ,ГГ4=Л(Ьд+ Г),14 как функцип частоты Рабп 22, =ЛО/4Ь при фиксированном значении расстройки й=ЛГГГ4Ь. Для обозначения возможных границ энергетиче- 1 2 1 2 ского спектра использоваГГы обозначения аз, аю А, Г(;, ... Для определения того, какие из возможных граничных значений энергии являются истинными границами энергетического спектра, в работе 1761 на основе теории возмущений были вычислены характеристические показатели Л,=Л,(ГО й) нри малых Г'2 (1; «Л).
Разрешенные значения энергий были определены на основе того, что граничным значениям энергии соответствуют чисто мнпмые значения характеристических показателей. На рпс. 10.2 истинными границами одной системы разрешенных энергетических зон являются собственные значения Ь~,2 = 1 1 2 2 1 22 2 = О2, д2, ОГ, д1, 02 . ° ° Собственные значен!ГЯ 12д,е = Оо~ д21 д22 а„...являются пстиннымп границамн другой системы разрешенных энергетических зон. Собственные значения Г(„Г(2, ГГ„...
п 1 1 1 2 2 3 2)„Г(2, Г(2..., которым также отвечают периодические решения систем уравнений (10.20), (10.23), не определяют границы энергетических зон. Эти две группы собственных значений лежат соответственно внутри первой и второй систем разрегпенных энергетических зон. На рис. 10.2 собственные значения Г(„... и И„... указаны штриховыми линиями. Зоны, относящиеся к двум разным системам зон, отмечены штриховкой с разным наклоном. 174 На основе расчета энергетического спектра в работе (76) была установлена процедура построения законов дпсперспп — зависимостей энергии Е„Е, от квазивектора Х. Основой построения законов дисперсии служило соответствие между возможнымп зна- чг т чениями границ энергетического спектра Еа, Е, п значепаямп модуля квазпвектора М!. Так, значения а,', а„отвечают величине !Х! =О, значения гг,' и г)г — величине !Х! =(с!2, значения а,с- 20 1б рис.
10.2. Энергетические зоны спектра трансляционного движения атома в стоячей велас как фтпкпи~г энергии взаиподсйствия при фиксированном зпачскпп йезрззтк рпой расстройки 7 = йв02й = — 1,6 Ьт и Ьз — величине !,яг! = Л, значения 4, сгз — величине !Х! = = '/агс (см. рпс. г0.2). Один пз примеров зависимостей Ея —— = Ег(Ж'), Еа = Е, (Л") и зависимостей Ее = Ег(Л')~ Ее =Ег (Л) приведен на рпс. 70.3. Графическое представление законов дисперсии дано в расширенном представлении зоя Бриллюэна. Пукктирнымп кривымп на рис. 70.3 показаны законы дисперсии для свободного атома, когда для одной системы 'гтб 26! — ! 18- ! ! 8; (40.24) сводит уравнения (!0.20) к лаум независимым ура!и!гиням Матье: ,!а» 2!!1Е 4.!/! ' —, + — иа -1- а и СОкйа = О, (10. 25) /ма л —. — л где Е =Е„=Е,. Как уже отмечалось выше, в случае точного резонанса дае системы разрешенных энергетических зон оказываются совпадающими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
