1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 39
Текст из файла (страница 39)
11.2.1. Микроскопические ураннения. Будем ноно;>ьзовать и качестве исходных уравнения для матрицы нлотностн иона в предстаилении Вигнера. В случае сиободной атомной> частицы элементы ипгнеровской матрицы плотности удовлетворяют уравншшям (6.1), соотвстстиуюшпм гамильтониану (3.3). Включение и гамильтониан аг»мтьй частицы члена (!1.!2), как можно кидеть нз (3.6), нрииодит к появлени>о в урапнсниях длн элементов пигиороиской матрицы плотности косых членов, которые для сокращения записи удобно включить и определение полной ирои, водной ио ирсмсии, положив (11 13) ш >>г»г, „, ' ' > !!осле данного ~среоирсдслсинн ирои,>подмой, ураинсиии (О.1) ирииимают смысл микросшн>и неких уриеиеиии дипженин локилизоаанного иона.
Дли того чтобы записать ииньш вид урапнешп! длн элементов р „(г, р, !), услоиимся иыбирать атомную (ионную) систему ко1Ь5 11отсицпальнос силопос иоле электромагнитной ловушки, иредна,ша инион;Ши локализш!ии и>н>а, нри ма:>ой средней энергии иона может ныл ь аипроксимироиаио иараооличсским потенциалом. 1!о этой ирнчиис иижс мы будем считать, что взаимодействук>- щий с лазерным излучением иои находится и параболической потенциальной яме. Лазерное излучение, резонансное ннутреннему иоишм>у мореходу, будем иолагать имеющим иид плоской бегущей полны: К = '/,су >о>ь>-'"'+ к, с, ордииат и с»»ответств»»и с типом поляризации полны.
В случае циркулярно поляризованной волны ось а атомной системы координат будем считать совпадающей с волповым вектором 1с. В случае лиисйио поляризованного излучсиия ось х атомной системы координат будем считать совпадая»щей с вектором е поляризации вол вы (11. 11) . Оиродслив указанным оора.юм атомную систему координат. из уравипшй (6.!) после стандартной запевы псдиагоиальиыт злемситов (см. (!» 7) ): Рп — Р„елР(К(йг — е»!)1 моп'ио получить уравнения !411 — р,, (г, р) = — ! '» ~ р, ! г, р — —,, й)т~ — р,, ! г, р — —, 1» )г) ~— ш — 2ур,,(г, р), л .
( / / — р,,(г, р) =- !д р»„~г, р — —,й)с~ — р.„(г, р -1- —,, 1!й)~— »и — 17 — Е (Й вЂ” )сг)) р.„(г, р), »! 1 »и — ры(г,р)=!д р, г,р+ —,, Мс — р, г,р+ —,, !»1г)-!- + 27 ) с(и Ф (и) р „(г, р + и Ь / „). (! 1. 14) Здесь ироизво;пшя г!/с/1 оиродслсиа соотпошснпем (11.!3). Функция Ф(п) в случае линейно поляризоваппого ~гзлучсцпя равна Ф(п) = —,!1 — (ие,)а), 3 в случае циркулярно по:иц~иовапиого пзлучевия Ф(и) = — „. 11 + (ие,)т). 3 Остальные обозначения в уравнениям (!1.14) — такие же, как в уравпсииик (6.7). Подчеркнем, что ныиисапиые уравнения отлпипотсн от урависпий (6.7) учетом гармоническим колебаяий цоптра масс частицы и ирои:ишльиым паправлеппсм волнового век'~ орн 1с.
Уравнения (11.1'!)»и»л»шсзьи»»ншсывают зволюцпю виутреписы» состояния и состоянии цеизра масс локализованного попа, гаити»дсйсю»ун»ипчо с !»ск»папспым излу писем (11.11). В предста ьшяющик интерес;»ксиеритп птальиык ситуацпяк уравнения (!!.1»») могут быть сведены к кипетпческому уравнен»по Фоккера — 1!лапка для функции распределения п.(г, р, 1). Ниже устаиошюиы условия такого сведении и получено кинетическое уравнение. 1!.2.2. 1Сппетичсгкос уравнение. !»удем считать ныполиеииыми условия классичности атомного двяжспяя (3.40), (3.42).
Р» этом слу ие. как было исодиократпо показапо выше, правые части 1вв уравнений вии.ут быть разложены в ряды по степеням импульса фотона й«, Если воспользоваться блоковскими функциями, определенными в (7.1), то микроскопические уравнения примут вид < .< в «и — = — 2дв + 27 (<а — и) +..., «< «г — —.— — (Й вЂ” 1«) в — ус, л< ' <и ли. — =.
оп + (Й вЂ” 1<т) с — ) в — уй<)г — + <и ар (11.15) Здесь пз-за исс<шпадсиия попкой и лабораторной систем координат тшюор аь является педиа<опальным: ап = ) Ф(и) п,и<<)и. П микроскоиическик уравненная, записзниык в форме (11.15), <и<по учтено, что релаксация импульсного распределения на велишну импульса фотона Ъй является быстрым процессом по сравпсшио с изменением импульсного распределения за счет силы светового давления.
Оставшаяся в уравнениях информация об зволюиип внутреннего состояния иона может быть исключена, если предположить, что изменение состояния центра в<асс иона иод действием внешней потенциальной силы является адиабатически медленным по сравнению с релаксацией внутреннего состояния иона, т. е. если считать выполненным условие и / а (11. 16) Данное соотношение с учетом связи г ж и7 ' между коордш<атой и скоростью иона за время 7 ' и с учетом карактерного масштаба изменония скорости иод действием потенциальной силы сводится к услошпо (11.17) т,<< 7.
<1<певческий смысл соотношении (11.17) состоит в том, что ири даииои условии п<пепциальиви сила незначительно смежает центр масс за время релаксации внутреннего состояния попа. Другими словами, при условии (11.17) изменение координаты иона в потенциальной яме пропскодит адиабатически медленно по сравнению с изменением внутреннего состояния иона. С несколько иной точки зрении условие (11.17) мо'кет быть интерпретир<жано как условие классичности колебательного:шижеиия нона.
Последнее очевидно из тгк фактов. что величина <<< определяет уровни знергии в потенциальной име, а Ь7определяетминимальповозиожиую кинетическую зпсргпю иона (см. $ 5.4 и соотношение (5.52) ). 187 Прн условиях (ЗАО), (3.32), (11.17) функции й = и, с, а следует считать функцноналамн функции распределения и.
(г, р, 1). Явный вид функциональных зависимостей аналогичен (7.3): й =- Н"н7 + !7)гИг — + ... др (11.18) Иснользуя (1!.!8), можно найти из (!!,15) замкнутое урав77ешгв для и>, следуя ироцсдуре гл. 7. По втором порядке ио импульсу фотона (ио параметру е = Н(й7) и в нервом порядке но тl( кине- тическое уравиешн имеет вид уравнения Фоккера — Плащ а: Л~г Л '%~ 'Л ° '7 хат 7т — + х — — ~а т,г,— = — — (Ги) + хм (07г). (11.!О) Ш Вг, . ' ' ~7г, с7р . дв.ар. г 7 ь7 й 7 Ядса силн светового,(ввлсиин имсот тпг же внд, что и длн своовдиого атома, в;юимодсйствующшо с плоской световой волной (см.
3 7Л): ~= !7й) С ! .!. С -,'- (1) — 1~) !т" ' 1ен:юр диффузии определен соот77о~иениими 1 С 7)С = "й)1.-'С (а — (, -', (гхи + с„;г„,(1 + ь7)), т о ч 1 ф бо — —, (ее,) (ее,), о = (), а7 = 3 1 ,— и бм + — „(с7,е;) (сае,), н = -(- 1, [(11 — lг~) 7'у — 3) С (1 ч- С - (() — )Н) ~'т~! (!1.20) (11. 21) (11. 22) Величины е„, есть проекции е.рншчиого вектора ел =)г/!г иа оси лабораторной системы координат х, у, г. ь 11.3. Теория радиационного охлаждения ионов !!ривгдсшв7с выше урашииит <!7оккс(7а — Планка но:шолнот в деталях описать ироцесс охлаждения локализованного иона плоской световой ш7лиой, частота которой смещена в красную сторону относительно частоты ионного перехода.
Ниже мы обсудим процесс охлаждении, разбив его на два этапа. На нервом этапе результатом охлаждения нвлнетсн систематическое уменынснио с течением времени томиературы и пространственной ширины ионного расиределсння. На этом этапе основной вклад в эволюцию функции распределения даст сила светового давления. На втором этапе скоростиш7 дш(7ф7узия компенсирует сужение скоростного расирсделсинн зв счет силы светового давлении. П розультвто в конце второго этапа охлаждения устанавливается стационарное максвелл-бвльцмаиовское распределение с новой. более низкой температурой. 138 11.3.1. Первоначальный этап охлаждения. !!а нервом этапо охлаждения эволюция функции распределения ?в(г, р, Г) может быть установлена из ура гитен??я Лиувилля (уравпения (11,19) без диффузионного члена).
!'ешепие уравнения Лиувнлля может быть получено методом характеристик. Основной величиной, определяющей охлаждение иона па первом этапе, является скорость уменыиення средней энергии — = — М вЂ” ~з4в(~ ) + г. (г,) ~?(е> т, л? т и з а? (11. 23) Здесь под средними понимаются значения, усредненные по функ- ции распределения: (()) = ~ () (г, ч, Г)?в (?', т, !) г(г Ит.
!)ы шсление (11.23) с помощью уравнении Лиувилля дает результат Н(Е) ~ См(т,?? Тогда с учетом малости скоростного интервала изменения силы, '((1+ С) "'И « р = (2йвТIМ) "', получим 141! Н (Е) 6 1 ! ()~в и? )' ~ 1~!7? ! -, ;С)нз~:„е' р( ?, ) ' (11.26) Согласно данной оценке х?аксимзльнзн скорость охлаждения достигается при рвсгтройке 1! = — !гй?'! 2. 189 т. е. изменение средней энергии иа первом этапе охлан'депия определяется работой силы светового давления. Прп 4! <0 работа силы светового давления является отрицательной.
Это легко видно из того, что основной вклад в интеграл (11.24) дают скорости, для которых Мт ж О. Из соотношения (11.24) также следует, что иаиболыиая скорость охлаждения достигается, когда волновой вектор 1с не совпадает пи с одной из осей системы координат. Оптимальным для быстрого охлаждении является случай, когда волновой вектор составляет одинаковые углы с осями системы координат: 1с = А (~е, ~ е„ ~ е,). Оценка скорости охлаждения может быть получена подстановкой в (11.24) начального максвелловского распределения. Положим для упрощения оценки йт = йн,.
и подставим в (11.24) одномерное распределение л' (и.,) =,( Уи н) - е 1" '? . В этом случае ('— '"")„,в,=(ймт '-. (!1.27) т, е, пои тернет энерппо порядка Ъ7 за время порядка 7 '. В терминал температуры оценка скорости оклаждения будет таков: НТ/й ° (10' — 10') К/с прн С = 1. Характерное время первого этапа оклаждепия ирп начальной температуре Т = 300 Е и скорости оллаждеиия (1!.27) имеет порядок (при С = 1) т = 7 '(/г,Т/37) 10 ' — 10 " с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
