1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Границы эиергетяческпх зоп при П = 0 определяются собствепнымп значениями а„. Ь„уравнения Матье (рис. 10.4). Последовательно возрастающим граничным собственным значениям а„Ь„а„Ь,.... соответствуют значения модуля квазивектора 1Л'! =О, Л/2, /, ЗА/2, ... Пример закона дисперсии 176 энергетических зон Еа = ~ьМ~/2М Ее = йаХ'/2М+ й42, а для другой системы зон Ег = наЛ'а/2М вЂ” Ы, Ее = йаХа/2М.
Из расчетов энергетического спектра следует, что прп ОФО ширины разрешенных энергетических аон сраапимы с пшрпнами запрещенных зон. Известно. что ширины запрещенных зон опрецелнют частоты колебаний частицы н потенциальных ямах перио- дического потенциала. В свою ~ ое-г аа а,- очередь, шпрппы разрешен28-~. ' ных зон определяют вероятности туннелирования частицы между соседнпмп потен/ циальными ямами периоди- ческого потенциала. Совпа13 / ! / денне порядков данных величии означает, что в поле стоячей волны при 12 за 0 не существует локализованных состояний атомов. Физиче- 1', !!, Г скп данное обстоятельство очевидно пз совпадения 4 периодичности собственных 7/, функций изх (3) с лериодпч -8-, — 8 ностыо потенциала й!', соз йз.
На длине периодичности собРнс. 16.3. Структура Раарешенных онер ственпых функций! аз гетическнх зон (слева) н законы дисперсии !! = Ь(д//Й) лая атома в стоя- всегда есть один минимум чей волне нрн параметрах 4хг,/Л = и олин максимум потен= 6 =6,5 н 4лГ)//! =/= — 1,6 цпала. По этой причине лю- бой волновой пакет атома, вообще говоря, с равной всроятностью находится как внутри. так и вне любой потенциальной ямы периодического потенциала. 10.2.4. Случай точного резонанса. По сравнению с рассмотренным вьпне общим случаем значительно более простым для анализа является случай точного резонанса П =О.
Прп И=О простое преобразование переменных из="и, = и и .о <7 !ь !2 Рис. 10.4. Зависит<ость структуры р.<эрешепныт энергетических эон от энергии нэаниодейстаия а случае точного резонанса О = О. Нормирои,!нные сойстнснныс аначения энергии раины Ь = 2~!Ц22, нормирована,!н энергия аэаиподейстаия Н = = 2ЛРа)а Рас. 10.5. Структура раэреспенпых энергетических эон (слепа) и закон ди персии 2 = Ь(Л"22,) дли ураанеиия М,<тье ()0.25) при 0 = 2<2<)'4Я = =6,6 тут существовать локализованные состояния атомов. С точки зрения пространственной зависимости волновых функций наличие локализованных атомных состояний объясняется тем, что при <) =0 собственные функции и„' (г) иа<еют период Лг =а/2, н два раза меньпшй псрвода потенциала И', соя йг.
Другими словамп, и.! функций и2,„(г) оказывается возможным образовать волновой пакет, локализованный внутри какой-либо одной потенциальной нпь! периодического потенциала. Хотя случай точного резонанса прсдстаиляетсн заманчивым <шя экспериментальных исследований, практически ои никогда не может быть реализован.
Этп связано с тем, что данный случай 177 Е=Е(тьл) для уравнения Матье приведен на рис. 10.5. Штриховой кривой на рис. 10.5 показан закон дисперсии для свободного атома. Принципиальным отличием случая точного резонанса О = 0 является быстрое сужение разрешенных энергетических аон прп увеличении энергии взаимодействия атома с полем волны (см.
рпс. 10.4). Данное сужение разрешенных зон означает, что при больших значениях частоты 20 Рабп '<2<»т< внутри отдельных потенциальных ям периодического потенциала мо<а является особылг. Прк любом сколь угодно малом, по ненулевом значении расстройки ьз ~ 0 поведеппе атома и стоячей волне описывается ие уравнениями Матье (10.23), а общими уравпениями (!0.20).
Оттгетптг что наряду с приведенным вьнпе анализом точных решений уравнений (!О.!7) н многочисленных работах !73, 74, 87, 97, 100, 1!1, !125 рассматрпвалпсь приближенные решения, основанные па пспользовашш коицешгии аффективного потевцпала. В фншмепологических подходах такого рода действие стоячей волны па атом оппсывалогь взаимодействием атома с двумя зффектпвпыни потенциалами, каждый из которых соотьетствует одному из двух ниутреинпх состояипй атохга. Стропш анализ ус:швий, прп которых возможно введепие зффсктпниых потенциалов, представлен в !!12].
вч 10.3. Дифракцпя атомов иа стоячей волне В общем случае П ~ 0 ршпеппе пестацпопарпой задачи рассеяния волнового пакета атома па стоячей световой вг>лпе является чрезвычайно сложной задачой пследствие сложности функций (10.22) и ело'кпой структуры зопиого зпергетического спектра. По зтим прп швам и литературе достаточно подробно исследовано решение псстацяопарпых уравнений (10.17) только для особого случая точного резонанса ( !09, 110, 107). Естествеипым способом решения уравнений (!0.17) является шреход и импульсному представлешпо т„(з, !) = ~ 6„'(р, !) е"ь "г)р. После очевидных замен Ь,„= Ь„ехр(-~- !Й!!2), позволягощих исключить из уравиеппй явную зависимость от времеви, уравнения (10, !7) сводятся к уравпешгям для атпшитуд вероятностей ! — ' = ~ —,, ' + —,) 6,.
— 1,(6,(Р + й)г, !) + 6,(р — б)г, !)), ! И = ( 07 — — )6 !1а(!6,(р+ й)г !) + 6„(р — 6)г, !)1. (10.27) ш !5 случае П =0 уравнения (!0.27) .юмепой переменных (10.28) Ьт~й, =6 сводятся к двум независимым уравнениям: ! — '=,~ Ь ..+- Ге[6 ° (р+ Ы, Е) + Ь (р — 36, !)]. (10.29) 10.3.1. Аналитическое решение для амплитуд вероятностей. Приведем рошенпе уравнений (!0.29) следуя ъштоду Кука и Берпхардта (107). Уравнения (10.29) имеют очевидные решепия 178 в анде плоских волн: Ь'ь(р, 1) = ехр ( — — ' Е',1+ >ра(~~~ (10.30) После подстановки данных решешш в уравнения пз последних следуют законы дисперсии: Е'- = г +-26)>,соа/з.
(10.31) Общие решения уравнений (10,29) могут быть записаны в виде суперпозиция плоских волн: Ь (р, 1) = ~ а~ехр( — )Е'1(Ь+ (ра,>Ь) г(г, (1О. 32) Соотношенпя (10.32) могут рассматриваться как преобразованпн Фурье. Обратное нреобразоваппо Фурье, записанное прн >=0, позволяет определить козффициепты а, через начальные амплптуды вероятпостен; а'ь =-(2яй) ' ~ Ь (р, 0)е >ем"с1р. (10.33) Если теперь подставить (П).33) в (10.32), то общие решения нрпнима>от удобпьй для расчетов впд: 6 (р, 1) =- ( С (р — р', !)Ь ~ (»', 0)г11>'.
(10 34) Здесь пропагаторы С (р, 1) определены соотпошеппяьщ 6 ° (р, >) = (2лй) ' ~ ехр( — — Е'1++) >1а. (10.35) 6[ля вычнсленпя пропагаторов достаточно подставпть в (10.35) дпснерспоиные соотношения и воспользоваться рвало>пеняем зкгпонепты по фуш;цням 1>веселя '>в> во ~чЗ~ ( .)»з ( ) >пе После вычисления интегралов общие решения уравнений (10,29) принимают окончательный впд 6,, (р, 1) = ~ (~>)"У»(2('„Р)ехр ~ — — "ЙЬ1~6 (».+- нЬЛ, О), П (1О.
ЗГ>) где й = А'Ь'/2ЛХ. 10.3.2. Плотность импульсного распределения. Согласно (10.30) характер зволюцпн плотности пмпульсного распределсппя завп- 179 спт от начальной ширины импульсного распределения атома. Если при т = 0 атом имел точно определенный импульс р„, то с течением времени плотность импульсного распределения симметрично упшряется относительно импульса р„. Характерное время упшреппя импульсного распределения определяется величиной, ооратпой частоте 1'аби.
За это время 1'э ' атом получает приращение импульса гтр = ~ЬЛ. Пусть, напрпмор, при 1=0 атом имел импульс р,=О и находился и состоянии ~дХ Тогда плотность импульсного распределения определена соотношением 11671 Ж (р, т) = ) Ь„(р, т) ~т + ) Ь, (р, г) ~т = ~~Э„У'„(2(г 1) 6 (р — пЬЬ). (10.37) Вероятность того, что в момент времени 1 атом имеет импульс р = пЬЬ, есть (10.38) У( ) = У,, (2Р 1). Тппп шый впд распределения (10.?8) показан на рпс. 10.0. С увеличением ~п~ от пуля до Л'= 2Г,г функция 1 немонотонно возрастает. При п) Ж значения вероятностей 7(п) быстро падают. Характерная шириэс, па импульсного распределения в момент времени 1 определена соотношением ((р'>) "' ж ЛЬЙ = 2 г',гЬЬ. (10.30) Коли в начальньш момент Рпг, 10.6.
Импульсное распределение" времени атом имел конеч1=1(Их!) дчя зим = ао в 2ЛК/Л = пую пгирину импульсногорас- 4 И~ . Сплевпгаз ырпэая — результат предславля ар то ~ рои ьвэзивлагсвческого расчета фупвиви и, е; еле вв 1( ). (П: „: йоты (ЫО)), УшиРениЯ импУльсное Рас- и пределение еще и осциллирует с характерным временем ЫВ. Такие более медленные осцилляции обусловлены согласно (10.36) интерференцией амплитуд вероятностей, отвечающих разлвчным значениям импульса. Таким образом, на примере рассмотренного выше случая точного резонанса можно сделать вывод, что основной особенностью когереитного рассеяния атомов является ооразование дифракционпой картины атомной плот~ости. В этом отношении когерентное рассеяние атомов подобно рассеянию электронов на стоячей свезовой поппе.
В связи с этим когерептное рассеяние атомов на стоячей световой волне иногда называют атомным аналогом эффекта 1'апицы — Дпрака 1871, 180 Отметим и заклю ~сине, что когерентное рассеяние атомов на стоячей волив наблюдалось в [113, 1141. Экспериментально полученная картина рассеяния находится в качественном согласии с изложенной выше теорией. г.алга ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АТОМНЫЕ НОНЫ В ПОЛЕ ЛАЗЕРНОГО ПЗЛУЧГНИЯ До сих иор нами рассматривалось движение в резонансных световых полях свободных атомных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
