1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 29
Текст из файла (страница 29)
дг (27 + 1пйп,) Нп + 28 (Я~~ — Г + Я~и- ) = аЛг~' (у+ Гпйп,) С,', + ОБ,' — 1д(6Г, — 6„,) + пС" (у + 1пйдГ) тд — ЙСд — 2«' (Нд',, + Н„«,) = дЯ' (8.9) где (см. (4,31)) 2тйпл йл 1+ 2не 0' 8.1.2. Анализ рекуррентпой системы уравнешш. В связи с тем, что бесконечная система уравнений (8.9) является неоднородной, ее решение пе может быть записано в сколь-нибудь компактной аналитической форме.
Можно, однако, заметить, что в системе (8.9) содержатся неоднородные члены двух типов. «1лепы О типа аН„остаются конечными при сколь угодно больших амплитудах волн. Члены типа 1дб„о напротив, неограниченно растут с увеличением амплитуд волн. По этим причинам решение системы (8.9) целесообразно представить в виде двух частей: Н~ =Йз+ай~, (8.10) 132 С учетом данных значений производных пз (8.46) — (8.4г) сле- дуют уравнения для И„: удовлетворя)ощих двум системам уравнений — системе (2у + !пЛв,) ЕУ,', + 2л(Я,',, + В,'..е!) = О, (у + !про,) С'„+ (В,', = — гу (Ь„л — бп,— ) э (у+ !пйв,)Я,', — Л)С,', = 2д(Р,', ! + Р,',+,) (8.11) и системе (2у + йоЛп,) ьт;, + 2И (В -! + В»-н) = Л» (у + !У .) С,', + Ы,', = С",„ а (у -)- !пЛв)В,', — г)С' — о~(К~-!+ К !-ю! = ои.
(8.12) (8.13) у„— Р„(у„, + у„.,) = Вб„, + В*б„ где у„= Г~„для четного и и у„= Ь'„для нечетного и, 1 ! В=— (у —,'- !Лту)е+О-' ' (8.14) а Р„определена ранее, в (4.21). Заметим теперь, что вследствие эрмптовости у Уи = У-н в (8.13) достаточно рассмотреть п = О, 1, 2, ... Введем для и ~ О множители д соотпоптенпями вида (4.22) у„.~~ = д„уп. (885) Для и ~ 2 пз (8.13) получим формулу г!„ дп — ~ ! — Й„ч„ совпадающую с (4.23). т(ногократпое использование данной формулы позволяет заппсать д, в виде бесконечной дроби: ы, д~ = ! -'- !+...
где велпчппы р„оп в (4,25). Выпишем теперь уравнение (8.!3) для п = О, 1 с учетом соотношения у, = д,у,: ус — Р~ (у-~ + у~) = О, у~ Р~ (у0+ д~у~) = В (8 16) !ЗЗ Здесь прп большик зпачеппяк у главной является первая часть решения, определяемая величиной Нч Для этой части, следуя ! методу Стенхольма и Лэмба !132). оказывается возможным на!!тн аналитическое решение. Вторая часть решения, определямая системой (8.12), может быть найдена только численным анализом.
Для решения системы (8.11) удобно выраанть Сс из второго уравнения и записать первое и третье уравнения в виде одного рекуррентного уравнения, Рошая систему (8.16)', получим — 1и А Ре = е = 1 —,— '2кеР' (8.17) 1 о ссс 111 т Сс= — . у, т+саеа ' ' т+ ССсе, 2Л(7+ Ые,)е 11т(С 1ж А св + Е(т+ се',) 1+2НЕ(С 1+Се', 8.1.3.
Уравнессие Фоккера — Планка. Во втором порядке по импульсу фотона из (8.4а) следует уравнение Фоккера — Планка для атомной функции распределения: дм дм д аС1 д' — + т — = — — (Р,сд) -1- г — (Пс,.сс ). дс д,= дс, ° ~~ —,, П' (8Л9) с=а,се* Здесь сила светового давления по-прежнему имеет вид (4.31)', а тензор диффузии определен соотношением Пп = с/ей%'обхсс (1 — Ссе) — 23)с'~бас 1ш С',. (8. 20а) Величина К, вследствие совпадения уравнений (8.7) с уравнениями (4Л7), совпадает с величиной ин определенной (4.28).
1 Величина С„согласно результатам предыдущего параграфа, имеет вид С~с = С', + аСс„ где С, 'определено в (8Л8)', а Сс может быть найдена численным решением системы уравнений (8.12). В окончательной форме компоненты тензора импульсной диффузии можно записать в виде а Х)сс = Эсс + 6„)7„, а 1 йа„а 2де Р 2 ~с "1+2пеР ' 4 1сзс(х(с1 В!ю А 2Н (С + 1 2де О ~ с~г ( -11О) где 11 Х = 1+сс г (8.21) 134 где величина А определена в (4.32), а с',с — бесконечная дробь (4.29). Первая нз функций у„— функция у, равна у, = д,р„где д,— бесконечная дробь (4.24); все остальные функции у могут быть получены из рекуррентных соотношений (8Л5) и из соотношений эрмитовостн.
Необходимый для расчета теязора диффузии коэффициент Здесь тензор диффузии, как и раньше, состоит из двух частей. Первый член Р; определяет анпзотропную диффузию, обусловленную флуктуациями направления спонтанно пспущенных фотонов. Второй член Р:, определяет направленную диффузию, обусловленную флуктуацпями числа вынужденно рассеянных фотонов. В качестве примера па рис. 8.1, а показана завцснмость л-конг с понепты тензора диффузии Ргг = Р:г+ Рг, от проекции скоростп и,. Для сравнения на рпс. 8.1.б показана завпснмость от ггг,г., г -д з с-з -.
с: г с, ггг( — с -г О 2 " го/- Рпс. 88. Продольная компонента тепзора пмпульсной днффузнн (а) н сила светового дазленпя (б) для поля (4.0) как функцпп проекцпп скорости с,. Расстройка 11 = — ЗВ параметр насыщеггия С = 1 Рпс. 8.2. Компонента гз~г тснзора аннзотроппой днффузнп (1) и компонента Йгг теггзора направленной диффузии с (2) как функцпп проекцкп скорости о, для П= — Зт, С=16 и, силы светового давления ро Кривые получены численным вычислением по формулам (8.20б), (4.31). Две составные части тензора диффузии (анизотропная и направленная) показаны на рис. 8.2. Из приведенных данных видны вклады в тензор диффузии многорезонансных процессов.
При малых интенсивностях тензор диффузии, так же как и сила светового давления, содержит два резонанса (см. рис. 8.1), обусловленные однорезонанснымн процессами. Максимумы резонансов располохсены вблизи резонансных скоростей -~-Пг')с. Прп больших интенсивностях и тензоре диффузии появляется многорезонансная структура (см.
рнс. 8.2). Подробное обсуясдепие многорезонансных процессов было дано ранее, в з 4.2. В случае больших пнтепсппностей встречных волн тензор диффузии суп(ественно упрощается. Тепзор анпзотроппой 135 диффузии уширяется п достигает максимального значения Рп = '7гйгйгуагг. В тензоре направленной диффузии преобладающим становится первьш член, пропорциональный интенсивности 1~ С. В результате в тепзоре диффузии главным членом становится компонента Р г йггйгу 1 -,'- (Ь „'у) г (8.22) 1 ! (7а — ! чг з (у+ гг".) ! гг (у —; ггз,) — Я (8.23) Здесь величина р„определена в (1.25).
1'ешпв с учетом дшгпых членов нео:гпородпуго систему (8.12). полу пгы имеющая лоренцевскую зависимость от проекции скорости и,. 8.1А. Приближение скоростных уравнений. Полученные вьппе точные соотношения для силы светового давления п тепзора импульсной диффузии могут быть значительно упрощены в пргголижеггпп скоростных уравнений. Данное приближение, как отмечалось в з 4.2, учитывает только однорезопансные процессы взапыодействпя атома с плоскигш волпаып, составляющими стоячую волну (4.9). Критерием применимости приближения скоростных уравнений для атомной матрицы плотности является условие слабого насыщения атомного перехода. Формула для силы светового давления в яр!!блин!енин скоростных уравнений была приведена ранее (сы. (4Лбг)). Для того чтооы нанти в данном приближении вид тензора импульсной диффузии, следует решить системы уравнений (811), (8.12), в которых отличны от нуля только элементы с ппдексамп и = О, ~1.
о Прп этом входящие и систему (8.12) неоднородные члены Н„ должны быть получены в результате решения системы (8.7), в которой также отличными от нуля должны сгптаться члены с ппдексамп >г = О, ~1. Если прп получении тензора диффузии в приближении скоростных уравнений исходить из точного соотпогпеппя (8.20б), то в последнем следует положить (? = р, п подставить вместо Сг' его зпа юние, полученное пз системы (812), в которой отличны от нуля значения элементов с индексами и = О, н:1. Поступая любым пз указанных способов, выпил!ем необходимые для расчета неоднородные члены уравнений (812): 6(б +б,)+46'Г. б, 1+6(7. +й,) 6(б — б )з(1 — 4(Ь +й ) — З6б б 1+ з, ' + ', (8.24) !1+6(б —,' У ))з(1.
+Ь. -г-46Л Ь ) где лорепцпаны ь', определены в (4.85). В формулах (8.24) лорепцпаны Ь отвечают взапмодействшо атома с каждой пз двух бегущих волн. Если один пз лоренцпанов положить разным нулю, то соотношения (8.24) перейдут в соотношения (7.9), определяющие тепзор диффузии для одной плоской бегущей волны.
в 8.2. Рассеяние атомов на стоячей волне дл лз; л, л" .1 о, ' ' -1- — '(Р,и) = — ',(0,дг), гп ' ш дн, * ал," (8.25) где ю= и~(г, г„1). Согласно данному уравнению рассеяние атомов обусловливается действием опты светового давления (4.31) и упшроннем импульсного распределения за счет диффузии, определяемой коэффициентом диффузии П„из (8.20). Практически время рассеяния атомов всегда мало пз-за небольшого диаметра световых лучей. По этой причппс представляет интерес рассеяние атомов в не слишком слабом поле, когда атомы эффективно взаимодействуют с излучением. Прп увеличении интенсивности встречных бегущих волн сила енотово~о давления, как было показано вьпне, не мон'ет превьпнать определенного значения.
а коэффициент диффузии П, возрастает пропорционально интенсивности. В связи с этим можно выделить две качественно разных картины рассеяния. 137 Полученное выше уравнение Фоккера — Планка (8Л9) может быть применено к разлпчпьш задачам теории ре,юпансного светового давления, в которых используется световое поле в виде встречных бегущих воли. Нин~е в качестве одного пз важных примеров мы рассмотрим вопрос о рассеянии атомов на стоячей полне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
