1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Характерные времена этих процессов приведены в (5.4), (5.12). Порядки характерных времен т> и т, совпадают. Данное обстоятельство означает, что совпадают также и порядки левой и правой частей уравнения (7.35), что, на первый взгляд, не позволяет найти аналитическое решение уравнения (7.35). В действительности, однако, нз-за двойного превышения времени т над временем т„правая часть уравнения (7.35) изменяется несколько быстрее левой части. Зто обстоятельство позволяет развить для решения уравнения (7.35) метод последовательных приближений, по существу совпадающий с известным методом Чепмена — Знскога ( (43). 122 Учитывая, что время т, больше врев(они т,, умножим пра- вую часть (7.35) на )о-(, где )( — формальный малый параметр, и представим решение в виде ряда и) = и)(о) + и)(И+ Ю(о) +...
(7.36), каждьш член которого л)(") предполагается содерн(ап(им параметр 1(". После подстановки (7.36) в (7.35) и приравнивания членов с одинаковыми степенями )( получим систему уравнений для членов ряда (7.36): д (ии'(о)) дои(о) + — ',=О, Т ди о ди 1 и (и~и())) дои'( ейо т ) + о ди о о 1 д (ии,(о)) д и.( ей +— Т ди о и Решением первого из уравнений зоаксвелловское распределение и)(о) = (2я7 ) (7.37) является равновесное (7.38) (7.40) ю= е '"' 1+ — „1 — — — —, 1+ — — —,, + ° ° ° ° (7.
42) 123 и...,...„.„р... я.рг.р.....(( ° О -~) . (о) I .(. ои «ои о о * (1 ~"и =()), в соответствии с (7.36) на функции л)оо при п>1 следует на- ложить ограничения: ) иг~'й() = О, ~ вю( ~(Ь = О. (7.39) С учетом данных ограничений решением второго из уравне« ннй (7.37), 1 д(и~о(')) д и~(') 7 и ) и. т ди о является функция — 1 — —" кю'. (7.41) Продолжая процесс последовательного решения уравнений (7.37), для асимптотического скоростного распределения полу- чим ряд 155 — 57о1 Поскольку последовательные члены ряда содержат все более малые числовые множители, то полученное решение находится в полном согласии с предложением о более быстром изменении правой части уравнения (7.35).
При этом сам метод решения показывает, что отличие скоростного распределения от равновесного максвелловского обусловлено изменением средней скорости <и) под действием силы — Ь,((г)). Прямым следствием неравновесности асимптотического скоростного распределения (7.42) является отличие температуры Т от значения Т„ определяемого равновесной функцией распределения зд'". Если вычислить температуру по бесконечному ряду (7.42), то последняя представится геометрической прогрессией и после суммирования даст значение 1 Т= ) изыди= То(1 — — + —,— ...) = —,Т 4 $6 '''! з (7.43) дм ао1 ( $ д(иихф д и 2 ,и~7 ди ~ о з з з з 2 3 2 а Г д и ог Хо д" (оио Эо Хо д(и"и)1 З ~ д„о гт „о З2- ди о о (7.46) Полученный результат можно доказать также непосредствен- но из моментных уравнений.
Запишем из (7.35) уравнение для второго момента, = 2зхо7'о~1 т дт г тт (7.44) о и учтем, что согласно уравнению (7.35) температура должна быть функционалом средней скорости. Тогда уравнение (7.44) после вычисления производной по времени можно переписать в виде дт т ') д (оз — = — 2ет (1 — — 1, т, 1' (7.45) откуда для асимптотического решения имеем Т = '/,Т,. 7.3.2. Вклад членов третьего порядка по импульсу фотона. Выше форма скоростного распределения атомов была найдена на основе решения уравнения Фоккера — Планка второго порядка по М. Поскольку в действительности кинетическое уравнение яв- ляется бесконечным уравнением Фоккера — Планка, то принци- пиальный интерес представляет вопрос о вкладе в форму асим- птотического скоростного распределения членов высшего порядка по Ьи.
Ниже мы рассмотрим решение этого вопроса исходя из кинетического уравнения, годер;нашего члены третьего поряд- ка по Йй. Уравнение Фоккера — Планка до третьего порядка по Ьк было выписано ранее (см. (7.14)). Ограничиваясь в последнем про- странственно-однородным одномерным случаем, запишем это уравнение в виде (7.35) отметим, что в соответствии с принятым в данном параграфе отрицательным направлением распространения волны зваки членов первого и третьего порядков в (7.46) и (7 14) противоположны. Решения уравнения (7.46) естествеппо искать в виде ряда (7.36), члены которого содержат поправки, обусловленные отличием уравнения (7.46) от ранее решенного уравнения (7.35).
Накдем, например, поправку к первому члену ряда (7.36). Для этого первый член запишем в виде ею = ьг + еюм (7.47) 1де ю, — неизвестная функция. Подставив (7.47) в уравнение (7.46), учтем, что левая часть (7.46), взятая по функции нулевого приближения, з соответствии с первым уравнением (7.37) должна считаться равной нулю. Тогда, после вычисления членов в квадратных скобках по функции 1и"' для неизвестной функции получим уравнение и. 1 д(и~и ) 2ииы) ( и' юЮ т д хтю ( Ът(' (7.48) Решая (7.48) с учетом того, что функция ию, удовлетворяет соотношеппям (7.39), окончательно получим [147]: зг (7.49) Посьольку и оэтю' ', го поправка к функции и'" имеет порядок з" «1.
Таким образом, учет в кинетическом уравнении члена третьего порядка по импульсу фотона приводит к малой поправке к асимитотяческому скоростному распределению. Такое же утверждение, естественно, справедливо и для членов более высоких порядков по импульсу фотона. Поэтому можпо утверждать, что благодаря условию з =Л/Ь7 к1 асимптотическое скоростное распределение с высокой степенью точности определяется уравнением Фоккера — Планка второго порядка по М.
4 7.4. Замедление и скоростная монохроматнзацня атомных пучков Явление скоростной мопохроматизации атомов представляет зпачительный интерес в качестве метода получения пучков медлевных моноскоростных атомов. В настоящем параграфе приведены оценкп параметров атомных пучков, которые могут быть получены с помощью данного метода, и рассмотрены результаты экспериментов по получению пучков медлеппых атомов.
7.4 1. Параметры процесса замедления. Для замедления атомвого пучка встречным лазерным излучением необходимо, чтобы излучение находилось в резонансе с атомами, имеющими скорость порядка средней тепловой скорости б: — П=йй. 125 Если частота лазера удовлетворяет атому условию, возможны два основных режима замедления и деформации скоростного распределения.
При небольшой интенсивности излучения, когда 7 (1+ гг) Яг ~ Ю!, (7.50) замедление резонансных атомов сопровождается резкой деформацией начального скоростного распределения. В атом случае спустя характерное время т~ж т, (см. З 5.1) образуется узьай пик моноскоростных атомов, который уширяется за счет диффузии, по мере замедления атомов. При достаточно большой интенсивности излучения, когда 7(1 + д)ггг~ )~я~ (7.51) начальное скоростное распределение сдвигается как целое в область нулевых скоростей.
В случае (7.51) значительной монохроматизацин скоростного распределения не происходит, поскольку характерный интервал деформации скоростного распределения больше или порядка ширины начального скоростного распределения. Рассмотрим основные параметры процесса замедления при условии (7.50). Если из начального скоростного распределения сформировалось узкое квазистационарное распределение, эволюция атомного пучка вдоль оси з описывается уравненпем (7.33), в левую часть которого следует включить член переноса идл/дс. Из уравнения (7.33) с учетом формы скоростного распределения (7.38) можно выписать уравнения для плотности п = ) юй и средней скорости <г> = и '~пзгг(о атомов 156, 57].
В размерных переменных зги уравнения примут ввд — "+ — '(я<и>) = О, д <в> д <г> -"'тРг дв — +<о> ' + — ' — = — унга (<.>), дг дг ,гг„д, — О где Т. =йХ,'(З! — й <о>)/4/гз. Согласно (7.52) в стационарном режиме облучения атомный пучок замедляется до нулевой средней скорости за время (7.53) проходя расстояние 1 = Х( —,.') 1 — ",)' —,',.
Эффективная температура равна Уо = "Хо! 1)14/гв При параметре насышения 126 (7.54) атомов в конце пути замедления <' = 100 время замедления имеет по- рядок 10 ' с, длина замедления составляет около 100 см,значения температуры лежат в области 10 ' — 10 ' К. Отметим, что замедление атомного пучка при условии (7.50)' сопровождается расфокусировкой пучка за счет диффузии. Характерное время диффузионной расфокусировки тз определено соотношением (5.29). 11рн дламетре лазерного луча 271 = 1 см зто время имеет порядок 10 "- с. Точный расчет числа атомов, остающихся внутри лазерного луча, может быть получен численным решением уравнения (7.25). 7.4.2.
Экспериментальные исследования. Таким ооразом, приведенные оценки подтверждают возможность практического использования метода радиационного замедленпя ц мопохроматпзации атомов для получения пучков медленных моноскоростных атомов. Данный метод исследовался экспериментально в случае замедления пучка атомов натрия излучением непрерывного лазера на красителе [49 — 53). Ниже мы остановимся на результатах 5 с=3 1 2 3 згг, 2 Мтц 7=1 77 2 7.-0 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
