1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 22
Текст из файла (страница 22)
3.2, а, поляризацию поля будем считать линейной (о = О), а в случае схемы, изображенной на рис. 3.2, б — круговой (а = ~1) . Ось квантования для циркулярно поляризованного поля выберем совпадающей с осью з, а для линейно поляризованного поля — совпадающей с осью л. С учетом данных замечаний уравнения (6 1) в случае двухуровневого атома примут вид с у р„(г, р) =,«~ ~' е* " ' " р„(г, р + '!сй)г)— — ~ $'~де 1А™ Р (г, Р— с! Иг) — 2сУР (г, Р)с ь ис ы* — со„с с — рс, (г, р) = г, рде (р„(г, р — с7,Яг)— — р„(г, р + с/ссс)с) — сур„(г, р)„ с дс Рсс (г Р) = И~ рье «Рсс (г Р + Ссяя) — ~ 1'ье ' " р„(г, р + с/,Яс) + 2су ~ Ф (и) р„(г, р + пдссе) Йзс (6.5) где использовано обозначение д д д — = — + т —.
дС дС дг (6.6) Здесь параметры У„и й„имеют тот же смысл, что и в уравнепиях (3.54). Вероятность спонтанного испускания 27 определена соотношением (2.4). Модули волновых векторов и = (се, совпадают с величиной сс, = со,/с. Напомним, что поскольку в случае линейно поляризованного излучения в качестве оси кванто- 9? вания выбирается ось х, то при о=О в функции Ф,(п) угол 9 есть угол между векторами и и е„. 6 1.2. Два типа эволюции атомной матрицы плотности. Для решения вопроса о характере эволюции атомной матрицы плотности ниже мы воспользуемся анализом микроскопических уравнений на основе теории возмущений.
Чтобы не усложнять излон<ение громоздкими формулами, ограничимся исследованиями уравнений для двухуровневого атома, взаимодействузощего с плоской бегущей волной (4.1). Данные уравнения удобно записать, предварительно исключив из пих явную зависимость от координаты и времени заменой недпагональных элементов матрицы плотности: р„(г, р, г) — р„(г, р, г) е'"* "'. После такой замены микроскопические уравнения для поля (4.1), согласно (6.5), примут вид о . г — з — ю о ~, Ры = Ж ~Ры — Рт! — 2УРи — ры = 1д (ры — озэ ) + 1(й — Йг, + 17) о',„ Рй 1К (Ры Рг~ ) + 27~ Фа(п) оз (г Р + пике)г(п (6 7) Здесь для сокращения записи использованы обозначения Раз = Раз(г~ р + /зИ)г г)~ 1 = О~ ~ 1.
(6.8) Параметры д и й определены в (3.3). Ниже нас будет интересовать зависимость от времени импульсного распределения матрицы плотности. В связи с этим несущественное для дальнейшего анализа пространственное распределение будем считать однородным. При этом производная (6.6) будет иметь смысл обыкновенной производной по времени. Эволюцию импульсного распределения матрицы плотности удобно исследовать, выделяя отдельно изменение импульса за счет отдачи вынужденного поглощения (испускания) и спонтанного испускания. Рассмотрим сначала роль вынужденных переходов в изменении импульса атома.
Для того чтобы пренебречь отдачей, обусловленной спонтанным испусканием, полон~им Ьк, = О. При этом интегральный член прихода в третьем уравнении (6.7) примет значение 2ур",ю Пусть, для определенности, при г = О атом находился в нижнем состоянии ~1) и имел импульсное распределение и>(р). Тогда в нулевом приближении теории возмущений элементы матрицы плотности в любой момент времени 1 имеют стационарные значения, определяемые начальными условиями: Ри ю(Р) Ры — О Рг = О (6.9а) о о В первом приближении элементы р„и р„сохраняют свои на- 98 чальные значения, а недиагональный элемент рам согласно второму уравнению (6.7), равен „,(Р а/еда) (1 е 'а') (6.96) ео Здесь е, — это значение функции е„= 7 — /[а — /с(и, + /,пи,)) при н = О, и, =/а/с/М вЂ” скорость отдачи.
Во втором приближении теории возмущений из суммы первого и третьего уравнений (6.7) следует зависимость от времени импульсного распределения: и'(р г) = Рй + Раа = = ш(р) + д'ш(р — й)г) ((1+ е,'(е ' — 1)] е ', + к. с,)— — наш(р) ([г + ее',(е ' — 1)] е~,'+ к. с.). (6.9в) Соотношение (6.9в) показывает, что отдача, обусловленная вынужденными переходами атома, изменяет распределение импульсов вдоль волнового вектора )г = /се, излучения с характерным временем т, определяемым обратной величиной константы спонтанной релаксации 7: т = (Ке е ) ' = 7 '. ю<я-ба>2,ГГ Для того чтобы понять, к какому юбю виду релаксирует распределение проекций импульсов р„вынишем из (6.9в) функцию распределения ш(р, г) при 1»т '. Рнс.
6Л. Произвольно ааданш(р, 1) = ш(р) (1 — /.е, Я+ нос начальное импульсное раср ) / „е (6 10) пределенне двухуровневого атома, находившегося прн Здесь введена лоренцевская функция е = 0 в нижнем сосгояннн (г>, п оек ин имп льса, = Ми,; н добавка к нмпульсному распределепню, воаннка|ощая прн воабужденнн атома в верхнее т'+ (П вЂ” В (~, —,— г/аао„))' состояние (2> Из выражения (6.10) можно уже видеть, что характер изменения импульсного распределения за счет отдачи вынужденных переходов зависит от соотношения между шириной Лр, = М7//с лоренцевской функции Л„и аначением импульса фотона и/с (рис.
6.1). Если импульс фотона сравним или превышает Лрм то любое начальное распределение при г» 7 ' превращается в резко осциллирующую функцию импульса рм Напротив, при условии й/с « М7//с (6.11) любое сколь угодно резкое начальное распределение сглаживается при г» т Рассмотрим теперь роль спонтанных переходов в изменении импульса атома. С этой целью пренебрежем изменением импульса за счет вынужденных переходов, положив в элементах матрицы плотности (6.8) Ьк = О. В качестве начальных условий будем опять использовать условия (6.9а). Тогда в первом приближении теории возмущений недиагональный элемент р,", будет определен соотношением (6.96), в котором следует положить Ьй = О, и, = О.
Во втором приближении диагональный элемент « р„= г/»ю(р) Т (1 -~- е ~т~ — е» вЂ” е ~ ) (6.12а) определяет импульсное распределение. возникшее за счет отдачи спонтанных распадов: и (р, г) = ю (р) + 2у ( ( Ф,(п) (р„(р + пМ«) — р'» (р)] дп А. (6Л2б) Характерное время релаксации распределения (6.12б) совпадает с обратной величиной константы спонтанного распада: т = ( '. При г » ( ' импульсное распределение (6.12б) определяется выражением ш (р, 1) = ш(р) + Т»уГ ( Фа(п) (ш (р + пЬЬ ) — ю(р)! «1п.
(6.13) Из последнего выражения можно видеть, что отдача, связанная со спонтанным непускание»О при временах Г » ( ' сглаживает импульсное распределение вдоль любого направления и. Данное утверждение подтверждается также расчетами формы импульсного распределения. Мандель 11421 исследовал скорость сглаживания импульсного распределения за счет отдачи спонтанных распадов путем расчета импульсного распределения после спонтанного испускания атомом одного, двух и трех фотонов. В рассмотренной нм модельной задаче считалось, что каждому спонтанному распаду предшествует мгновенное возбуждение атома в верхнее состояние.
При 1 = О атом предполагался находящимся и нижнем состоянии и имеющим скорость ч = О и б-образное импульсное распределение: ю(р)= б(р). Результаты последовательного вычисления интеграла типа содержащегося в (6.13), проведенные в [142$ показаны на рис. 6.2. Как видно нз рисунка, после первого цикла «поглощение+ спонтанное непускание» импульсное распределение вдоль вектора й локализовано в интерза ~е О ( р, ~ 2ЬЬ. Это связано с тем, что после поглощения фотона атом считался имеющим импульс р, = Ьк, а спонтанное испускание изменяет импульс в интервале — Ьй ~ Лр, ( ЬЬ.
Импульсное распределение поперек вектора )«(вдоль осп 1= х, у) после первого цикла «поглощение+ + спонтанное игпугкэпве» локализовано в интервале — Ьй ( рч ( <ЬЬ. Из рассмотрения рисунка можно сделать вывод, что поперечное импульсное распределение становится гладким после испускания атомом всего лишь одного фотопа. Продольное им- 100 пульсное распределение значительно сглаживается после спонтанного испускания трех фотонов.
Любопытно также отметить, что после спонтанного испускания всего трех фотонов продольное импульсное распределение оказывается близким к гауссовскому. Последнее показано на рис. 6.2 штриховой линией. Рис. бтй 11ипульсное распределение атома после спонтанного испускания одного (р~). двух (р,) и трех (рз) фотонов. Атом возбуждается циркулярно поляризованной волной, рвспрострзпяющейся в пзпрзвлеини +г. (Из работы [142) ) од о о 2 3 =,глгс ";,'ма Таким ооразом, резюмируя изложенные выше результаты, можно утнерждать, «гто для двухуровневого атома при выполнении условия (6.11) и условия 1» "( ' атомная матрица плотности всегда является гладкой функцией импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
