1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Во всех других случаях матрица плотности есть резко-осциллирующая функция импульса. Для многоуровневого атома условия гладкости импульсного распределения пли, другими словами, условия классичности атомного движения имеют вид (3.40), (3.42). В заключение данного параграфа отметим, что расчеты по теории возмущений позволяют не только установить условия сглаживания импульсного распределения, по и в явном виде найти квантовостатистнческие средние величины, которые управляют эволюцией функции распределения и(р, 1) при условиях (6.11) и 1 » т '.
Действительно, учитывая гладкость функции распределения ю(р, 1), разложим правые части соотношений (6.10) и (6.13) в ряды Тейлора по малым отклонениям й)с от точки р. Введем также производные по времени от функции гп(р, 1), положив и (р, г) — (р) Зз ог ' 101 После этого соотношения (6.10) и (6.13) сведутся к дифференциальным уравнениям в частных производных. При разложении правых частей до второго порядка по Ь)с соотношения (6.10), (6.13) перейдут в уравнения Фоккера — Планка: — — +-2 й 1.,1,о —,, (6.14) тх дрз (6 16а) (6.166) Как можно видеть отсюда, при достаточно малой интенсивности резонансного излучения теорией возмущений можно пользоваться до времен, значительно превышающих время спонтанного распада. Здесь коэффициенты а» совпадают с коэффициентами а», вве- денными ранее в (2.26) (см.
также (6.20) ). Отметим, что функция Л, может записываться как вне зна- ков, так и под знаками производных д/др» поскольку при ис- пользовании теории возмущений изменение импульса атома предполагается малым. В соответствии с физическим смыслом коэффициентов урав- пений Фоккера — Планка, описывающих трансляционное движе- нпе частиц, уравнения (6.14), (6.15) показывают, что эволюция импульсного распределения ю(р, 1) при условнях (6.11) и Г»; ' управляется силой светового давления 2г" т +(12 — йи) и тепзором импульсной диффузии 1, 2,"~ ))и = —, й'-й'у(ап + 6„), 2 " " 7'+(и — Л»,)з' Метод теории возмущений ясно показывает така'е, какие эле- ментарные процессы ответственны за формирование величин Р, п Р» Согласно (6.10), (6.14) отдача вынужденных переходов ответственна за возникновение силы светового давления Г, и тензора направленной диффузии.
Отдача спонтанных распадов, согласно (6.13), (6.15), ответственна за существование тензора анизотроппой диффузии. Отметим наконец, что сравнение левых и правых частей соот- ношений (6.10), (6.13) позволяет установить условия, при кото- рых справедливы приведенные выше асимптотнческие результа- ты теории возмущений: ф « (, 1«) -'(т/а). 4 6.2.
Кинетическое уравнение 6.2 1. Метод Боголюбова. Рассмотренное выше на примере двухуровневого атома сглаживание импульсного распределения соответствует известному выводу Боголюбова (96] об упрощении описания статистических систем с течением времени (см., например [1431) . Применяя вывод Боголюбова к системе уравнений (6.1), можно утверждать, что при условии (6.11) временам 1», ' отвечает кинетический этап эволкщип вигнеровской матрицы плотности.
На агом этапе микроскопические уравнения сводятся к одному кинетическому уравнению для атомной функции 102 распределения кг(г, р, Г), а элементы атомной матрицы плотно- сти становятся функционалами функции распределения. В настоящем параграфе мы применим метод Боголюбова для получения кинетического уравнения для двухуровневого атома, движение которого усреднено по длине волны поля. В качестве исходных будем использовать уравнения (6.5).
Для анализа этих уравнений удобно исключить из них явную зависимость от координаты и времени. Запишем поэтому решения (6.5) в виде, аналогичном (3.57), гдг-гадг Рг4 (г, Р) = с~~ Ргг (г, Р) е Раа (г1 Р) = Х Раа (г Р) е (6.176) х где сг = 1, 2. Для функций раз (г, р) получим уравнения л —,Р. (г, Р) = — г ~' ]г»Рдгг(г, Р— г[дйд) + 4-д=х + г ~л~~ ]"»Ргг (г1 р — 'где) + [г (Лх — кггг) — 27] Р„(г, р), д-»=х — рдг (г, р) = — г ~~~ [г» [о"„(г, р — г,' йй) — р",д (г, р + г/ Ид)]+ + [г (Лд — до,) — У] Рд„(г, Р)„ х —, Р„(г, Р) = г )'„)г»ранге (г, Р + г,г»И)— 4- д=х — )г»Рдгг (г, Р + 4,1 Ь[д) + г (Л- — кггг) Р„(г, Р) + д — »=л + 27) гРа(п) Р",д(г, Р + пййд) г[п.
(6.18) В данных уравнениях правила суммирования такие же, как и в уравнениях (3.58) . Учтем теперь, что при условии (6 11) и условии 1л 7 ' вигперовская матрица плотности является гладкой функцией атомного импульса и поэтому может быть разложена в ряд Тэйлора по степеням импульсов М. Тогда из (6.18) имеем: Л х д . "' д х ггг — Рдг = — г,)', ]г»ргд+ г,~д ]г»рм+ [г(Лл — ног) — 27] Рг, + 4 — д=х д †»=л + 'lдг[д ~~ й]㻠— Ргг — '!д'а ~~ ~йр» а — Ргг + ° ° ., (6 19з) 4 ~~=а д-»=л я, — рд, = — г )' ]г» (о'„— р'.„,'д) + [г (Лд — оо,) — у] рд, + »хх=д + ггггйг )'„И"4 — (Р",, + Рх,) + ..., (6.19б) г да 103 х .'Ю д . %~ э д .. х д Рп = г,~~ гьр1г — ' ~з гьРтн+ '(гхм — кг'.)Ры + д-ь=х + 2'урсг+ г/г'й,)', И' —,' Ргг — '/ггй ~~ И" —,А+ ь-д=з ~г д-А=х р, д'Р.",, + йг/с,'у .'~ ап —" ,+ ..., (6.19в) др[ где коэффициенты аэ определены соотношениегг [118] сгп ] и;.Ф (п) оги, (6.20) Здесь у функций р<~а = Р~а(г, р, т) мы не выписываем аргументы, которые одинаковы для всех индексов д, а, 6.
Напомним, что /сг = ~)с~ = ег,/с. Коэффициенты ак в случае циркулярно поляризованного излучения (а = ~1) равны а = а, = 3/10, сг„= 2/5. (6.21а) Для излучения, линейно поляризованного по оси х (о = О), а,, = 1/5, сс„„= п., = 2/5. (6.216) Уравнения (6.19) относятся к классическому движению атома. В связи с этим на данном этапе можно ввести атомную функцию распределения нг(г, р, т) = р„(г, р, г)+ р„(г, р, т). Элементы вигнеровской матрицы плотности рга в соответствии с методом Боголгобова следует считать функционалами функции распределения Раз (г Р1 г) = Раз (г1 Р~ пг (" Р г)). Явный вид функциональной зависимости может быть сразу установлен из структуры уравнений (6.19). Данные уравнения содержат линейные комбинации функции распределения ю н всех ее производных по импульсам рь Поэтому в самом общем виде функциональная зависимость (6.23а) может быть представлена в виде бесконечного ряда ЫР= Нйзю + гг/сю//аа д + др, (6.
23б) где величины Х1~а являются функциями кроекцни импульса р.. дт Ниже мы определим данные функции и установим вид кинетического уравнения, рассматривая систему уравнений (6.19) в возрастающих порядках по степеням импульсов (по степеням производных д/др;) [55]. Во избежание недоразумений отметим сразу, что, обрывая функциональные ряды (6.236) на п-м члене, мы будем рассмат- 104 рината матрицу плотности и соответствующее уравнение для классической функции распределения кд(г, р, г) всегда вплоть до н-го порядка по импульсам фотонов, или, что то же самое, вплоть до п-го порядка по степеням производных б/дрь Для краткости мы будем, однако, говорить, что матрица плотности и уравнение для ю рассматриваются в и-м порядке по степеням импульсов фотонов или степеням производных по импульсу атома.
В связи с использованием такой терминологии всюду в этой и следующих главах фразы типа «уравнение во втором порядке по н» будут означать, что уравнение фактически рассматривается вплоть до второго порядка по п. Данное замечание следует кметь в виду, поскольку применяемый ниже метод Боголюбова отличается от более часто используемого метода теории возмущений.
6.2.2. Нулевое приближение. Уравнен»де сохранения фазовой плотности. В нулевом приближении по импульсам фотонов функциональное соотношение (6.23) имеет вид Раз — Нааю~ (6.24) а функция и согласно определению (6.22) н разложению (6.17) равна ю = Ры + 1» д = ~Х (Рп + Ргд) е (6.25) :с Подставив (6.24) в (6.25), получим важное соотношение для коэффициентов Н„'~с. Н«ФО + Н"д Ь (6.26) Если теперь взять сумму уравнений (6.19а), (6.19в) и учесть соотношения (6.24), (6.26), то в нулевом приближении ло Ь)д для функции распределения получим уравнение сохранения фазовой плотности: (6.27) Для того чтобы найти функции Н~~с вычислим предварительно производные в левых частях (6.19) в пулевом порядке по М. С учетом (6.24) и (6.27) данные производные равны Здесь индекс О указывает порядок производной по отношению к импульсу фотона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
