1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Учитывая данпьш результат, пз (6.19) полудд. чим уравнения для Низ: т' Р»Н«»О — Х Е„*Н«»0» — ИЛ, — кк,) +217) Н д = О А †» д †«=» т, и (Нзд Н"") ((д дс ) ~ »у)НД = О. (6 29) а, х=д 105 Приведенные уравнения вместе с уравнением (6.26) полностью определяют величины Н„д. Тем самым, задача установления и функциональной зависимости (6.24) оказывается полностью решенной. Таким образом, в нулевом приближении по импульсам фотонов (по параметру е = Н/Ьу « 1) впгнеровская матрица плотности разбивается на произведение атомной функции распределения ю(г, р, г) и матрицы Нч,~з, - описывающей стационарное внутреннее состояние атома.
Матрица Н~~д, естественно, идентична использовавшейся в гл. 3 матрице плотности р~д. По этой причине уравнения (6.26), (6.29) совпадают с уравнениями (3.58). 6.2.3. Первое приближение. Уравнение Лнувплля. В первом порядке во импульсам фотонов функциональная зависимость (6.23) имеет вид (6.30) з1 Н' получим урав- Учитывая снова соотношение (6.25), для пеняя Н",,'+ Н';! = О. Возьмем теперь сумму (6.19а) и (6.19в) и оставим в правых частях уравнений (6И9) только первые производные по импульсу р. Тогда с учетом (6.26), (6.31) п при использовании для элемента рзч его значения из (6.24), для функции распределеь ння получим уравнение Лиувилля: дм дм д — + ч — = — — (р,и~).
дг дг др Величина Г, здесь имеет смысл усредненной силы (снлы светового давления): Г, = — 2Ь ~~э~ 1ш ($'~Н",",). (6.33) в Выражение для Г, совпадает с соотношением (3.60), полученным ранее пз теоремы Эревфеста. Для того чтобы найти уравнения для коэффициентов Н";з, вычислим производные в левых частях (6.19) в первом порядке по Иг. Используя соотношения (6.30), (6.32), нолучнм = — Н„д ~ —. (Р,гд)) = — Н„дР, —.. (6.34) чз/ д ~ДО дз ди дрг Если теперь подставить (6.34) в уравнения (6 19) и отделить члены первого порядка по ла, то для коэффициентов Н„, той получим алгебраические уравнения Ъ'~,Нп — ~~ $'ьНд~ — ((йх ь-д=з д-ь=з — е„)гьН~, + г,1д А-д=х Е» (П;,' — Н;.',) — [(йд — дг,) (здесь е„= ЙИ, = ~ 1) — кп,) + 2гу) Нд,, '— удНдд Н~~~~р ~ьй д — д=л + ду] НД вЂ” д7,еь7ьбд л = = — Нд,г',~%ЛО, (6.35) которые должны решаться совместно с уравнениями (6.31). Отметим, что при получении уравнений (6.35) функции Ндз могут считаться пе зависящими от р„поскольку их дифференцирование по р, дает поправки порядка е х 1 к уравнениям (6.29).
Уравнение Лиувилля (6.32) и уравнения (6.31), (6.35) полностью определяют вигнеровскую матрицу плотности в первом порядке по гпт. Согласно этим уравнениям в первом порядке по Хй динамика атома определяется действием силы светового давления (6.33), а полное состояние атома определено функциональными соотношениями (6.30) . 6.2.4. Второе и высшие приближения.
Уравнение Фоккера— Планка. Если продолжить боголюбовский анализ микроскопических уравнений, то во втором порядке по Ьй для функции распределения получим уравнение Фоккера — Планка. Действительно, возьмем сумму уравнений (6 19а), (6.19в) и оставим в этих уравнениях члены до второго порядка по Ьк. Для функций р.,~, которые входят в правые части уравнений уже в первом порядке по Уй, воспользуемся выражением (6.30).
Тогда после отбрасывания поправки к силе, имеющей порядок е «1, получим уравнение Фоккера — Планка: дм дм д — + ч — = — — (Ки~) + ~ —, (Нпи'). д (6.36) дд дг дг ~ дд з д д=э:,уг д д Здесь сила Г, определена соотношением (6.33). Коэффициенты Но определяют тензор импульсной диффузии: Нп = Р )'вупнНй 2ййддбп 2д)ш (~ хНьг). (6.37) Тензор импульсной диффузии в полном соответствии с качественными соображениями 1 2.4 и результатами, полученными в 3 6.1 на основе теории возмущения, состоит из двух частей. Первая часть тензора диффузии определяет ушпрепне импульсного распределения за счет флуктуаций направления спонтанного испускания фотонов. Вторая часть тензора диффузии определяет уширенне импульсного распределения вдоль волновых векторов К вследствие флуктуаций числа фотонов, рассеянных прп вынужденных переходах.
Продолжая процесс последовательного определения кпнетнческого уравнения в возрастающих порядках по степеням йй мож- 107 по видеть, что уравнением для функции ю является бесконечное уравнение Фоккера — Планка (1+ т+ и ) 1) (6.38) д8 дг э йэ гю згп коэффициенты которого определяют все квантовостатнстические средние, от которых зависит эволюция функции распределения атома. Элементы вигнеровской матрицы плотности оказываются представленными в виде бесконечных рядов по производным импульса вида (6.23) . Отметим, что приведенный вывод кинетического уравнения остается в силе и для любого многоуровневого атома. В связи с этим не зависимо от структуры атомных уровней и структуры резонансного светового поля при условиях (3.40), (3.42) атомная функция распределения всегда удовлетворяет уравнению типа (6.38). Отметим еще два обстоятельства, которые следует иметь в виду при использовании уравнения (6.38).
Во-первых, кинетическое уравнение не содержит информации оо отдельном атоме и поэтому одинаково применимо как к одному атому, так н к ансамблю одинаковых атомов. Физически это объясняется тем, что при временах, болыпих по сравнению с временами спонтанных распадов, всякая информация об индивидуальных начальных состояниях атомов полностью исчезает.
Во-вторых, прн ршпеннн кинетического уравнения, как правило, оказывается достаточным ограничиться вторым приближением по импульсам фотонов. Это связано с тем, что первые два члена правой части (6,38) учитывают изменение среднего импульса н ширины пмпульсного распределения атома, а члены более высоких порядков определяют средние величины, не наблюдаемые в обычных экспериментах.
4 6.3. Кинетическое уравнение в случае пространственно-неоднородных волн Е„(г) = ) Ею,е""сЬ. (6.39) 108 Выше, прн выводе кинетического уравнения световое поле считалось составленным нз плоских волн с «оптнческнмн» волповымн векторами й = ю,/с.
Рассмотрим, как изменится уравнение, если поле составлено из световых волн, имеющих пространственно-пеоднородныо амплитуды. Световое поле будем считать заданным соотношением (3.46), в котором амплитуда каждой волны Е„=Е,(г) является функцией координаты г. Масштаб а изменения амплитуд предполагается большим по сравнению с длинзмн волн Л = 2лЯ: а» Л. Волновые фронты неоднородных волн для простоты будем считать плоскими. Для того чтобы учесть роль неоднородности поля, воспользуемся разложением амплитуды каждой волны в ряд по плоским волнам: После данного разложения в уравнениях (6.5) следует сделать замены вида 'г'срс,(г, р — с,',Иг) — ~ 'г'с,,ем'рсс (г, р — с,',йй — ',с,йз) с(в, где г „, = — (с)з,е) Е,,ад. (6.40) Уравнения для элементов матрицы плотности р~з будут отличаться от уравнений (6 18) заменами вида )'„рсс (г, р — сс',сс)с) — ~ 'г'с,,е""рсс (г, р — сс,сс(г — с,с.,йе) с(з.
При получении уравнений вида (6 19) разложение элементов матрицы плотности вблизи точки р будет иметь вид Р, (6.41) Если далее воспользоваться формулой рд (г) = ) Ъ'|,,ес"'Йз, то система уравнений для величин р~~сз будет отличаться от системы (6.19) заменами Р,— г'„(г) и дополнительными членами в правых частях уравнений. К правой часта уравнения (6.19а) и уравнения (6.19в) добавится член (6.42) который имеет первый порядок по волновому вектору г — 1са. С учетом (6.42) в усредненном уравнении Фоккера — Планка (6.36) появится дополнительньпс член, содержащий компоненты градиентной силы.
Этот член имеет первый порядок по «импульсу» Ыа и модифицирует уже уравнение Лиувилля, которое принимает вид дм дм д д — + т — = — — (Р,сд) — — (Гоасд) дс дг дд * др (6.43) где градиентная сила равна гав = сз~ Ве (сгсзН.,", С7 Ес,(г)). (6.44) Сила г'ож естественно, совпадает с ранее найденной из теоремы Эренфеста градиентной силой (3.61). Продольная сила Р, (сила светового давления) по-прежнему определена соотношением (633), в котором следует сделать замену Е,— Е„(г). Такие же замены следует сделать и в остальных коэффициентах усреднен- 109 ного уравнения Фоккера — Планка, соответствующего неоднородному световому полю.
В заключение настоящего параграфа отметим, что представленный вывод кинетического уравнения для случая волн с неоднородными амплитудами может быть также обобщен на случай волн, у которых пеодяороднымп являются и амплитуда и фаза. Здесь мы не будем останавливаться на таком достаточно очевидном обобщении. Один из примеров волны с изменяющейся в пространстве амплитудой н фазой рассмотрен ниже, в э 7.2. ГЛАВЛ з ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ В БЕГУЩЕЙ СВЕТОВОЙ ВОЛНЕ В предыдущей главе было показано, что при рассмотрении действия резонансного светового давления на атомы основной интерес представляет кинетическое описание атомного движения.
В этой и последующих главах мы применим метод кинетического уравнения для анализа движения двухуровневых атомов в нескольких типах световых полей, которые наиболее просто реализуются с помощью лазеров. Непосредственно в данной главе рассматривается цвви~ение атомов в бегущей волне непрерывного лазерного излучения. Последний параграф главы посвящен изложению исследований монохроматизации скоростного распределения атомных пучков давлением резонансного лазерного излучения. 5 7.Е Кинетическое уравнение для атомов в плоской волне Анализ кинетического уравнения для атомов, взаимодействующих с бегущей волной лазерного излучения, удобно начать со случая плоской волны. Будем считать, что поле плоской волны задано соотпошением (4Л).
Микроскопические уравнения для двухуровневого атома, находящегося в поле плоской волны, определены формулами (6.7). Рассмотрим, следуя процедуре предыдущей главы, переход от микроскопических уравнений к кинетическому уравнению. С этой целью прежде всего разложим входящие в уразпения (6.7) элементы матрицы плотности в ряды по степеням Ы, йй,. Далее удобно ввести действительные блоховские функции ю=р ~+рте и=рп — рм, с=рп+рм, з=~(р~~ — рп) (71) Уравнения для блоховских функций имеют вид (ннже вместо 7г~ будем пользоваться эквивалентной величиной й') зз ~~ "("' з) 1 .зз си др, 2 '~~~ " эг~ 24 э 3 д~,, ~;„ 1 ~1 гт (7.
2а) ио дг 1 аа дг и — = — 2уг + 27 (ю — и) — — дЧ:гав 4 рг + ~ 1~|~7 )' ип + ..., (7.2б) — (Й вЂ” Йд,) г — ус, (7. 2в) дг дм 1 ди а — = 2би + ((г — кг,) с — уг — Ыд —. + — л'й'д— дР~ 4 дрг (7.2г) (7.3б) а функции Н'= С', С', 5' согласно (7.2б) — (7.2г) удовлетворяют алгебраическим уравнениям о'+ С' = $ (47 — Ь )бч+ дно = О 2д'б +(47 — йо,)дС' — 7'Я'=О. Ш Здесь суммирование осуществляется по индексу 1=х, р, г, коэф- фициенты аз выписаны в (6.2(). Уравнение для ю в целях дальнейшего анализа выписано до третьего порядка по Ыг, а остальные уравнения — до второго порядка.
Уравнение (7.2в) является точным. Учтем теперь, что при условиях (6.И) и 1Л'7 ' функции 6=и,с,г являются функционалами функции распределения и. Явный вид функциональных зависимостей следует из структуры уравнений (7.2) др~ 4г Здесь козффициенты перед неизвестными функциями У', П„ 1 С„... введены в целях более компактной записи окончатель- ного уравнения. Ниже мы используем уравнения (7.2)' и соотношения (7.3)' для получения уравнения Фоккера — Планка до третьего поряд- ка по импульсу фотона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
