1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 25
Текст из файла (страница 25)
7ЛЛ. Приближения нулевого, первого и второго порядков по импульсу фотона. В нулевом приближении по импульсу фотона пз (7.2а) следует уравнение сохранения фазовой плотности — +т — — О, дм дм (7.4) В первом порядке по М для функции распределения из (7.2а) следует уравнение Лиувилля (7.5) где сила светового давления равна Р. = МТР-ЮТСЯ+ С+(П вЂ” ) и.) */7'1-'.
(7.6)' Производные в левых частях (7.2б) — (7.2в) в первом порядке по 7й, согласно (6.34) равны (Ь =и, с, г) дй дй дй Гдю д~е)Ы) О дю + т т + т т дт дг дю (ОГ дг~ др Учитывая данные соотношения, функции Н, =(У„С„Ях мож- 1 1 1 ! по найти из уравнений (7.2б) — (7.2в), записанных в первом порядке по уз)с: 8т ( Нт Со8о у'К вЂ” 2а'Сх — у ((2 — )гпг) С* '= 2дз — 27' (Я')' (Й вЂ” )сох) Ях + УС,' = — 2дСабо.
Для получения уравнения для зп во втором порядке по 67с достаточно подставить в (7.2а) функцию г в первом порядке по М, а функцию и — в нулевом порядке. Тогда окончательно получим уравнение Фоккера — Планка [98, 55, 101): ди дю д У д' — + т — = — — (Г,ш) + Ъ вЂ”, (т)нш). дг дг др х,юеы д з (7.8) г=х,г,х рз Здесь сила светового давления г', имеет впд (7.6).
Тензор диффузии определен соотношениями 155, 1011 )9" = 1 аЧс' 6 н = 2 71+6+(() — й.й)'/у'Хн' 2н = оси + бп (1 + ") ((и — йо,) з/уз — 3) С И (1+а+( — .)'/у')' Элементы тензора т«приведены в табл. 7.1. Таблица 76 Компоненты Хы безразмерного тензора диффузии длн цнриулнрно (и) и линейно (и) полвризованпого (по осп х) излучении, распространнющегосн вдоль оси з 112 Выражение для силы светового давлеяия в случае плоской бегущей волны подробно проаналиаировано ранее, в К 2.3 и 41.
Структура тензора диффузии обсуждалась в з 2.4. В связи с выводом точного выражения для тензора диффузии специального внимания заслуживает наличие в формуле (7.9) члена б,к(, который имеет отличную от других членов зависимость от проекции скорости н,. С формальной точки зрения этот член возникает из-за неравенства нулю производных (7.7). Иначе говоря, появление этого члена может быть интерпретировано как следствие изменения элементов матрицы плотности 6 = и, с, г, обусловленное изменением функции распределения ю за счет действия силы светового давления. Со статистической точки зрения, наличие члена 6.з( — это прямое следствие корреляций процессов вынунсденного рассеяния фотонов, благодаря которым статистика числа фотонов, рассеянных атомом при вынужденных переходах, оказывается отличной от пуассоновской [117, 144, 1451.
Данное обстоятельство может быть непосредственно установлено из уравнения (7.9) и соотношений (2.14), (2.24). Будем для простоты считать атомное распределение пространственно-однородным и имеющим достаточно узкое импульсное распределение вдоль оси г, чтобы имело смысл говорить о среднем импульсе <р,> и ширине импульсного распределения (<(Лр,) >) ". ' Рассмотрим теперь интервал времени М, удовлетворяющий условиям (2.11). Пря данных условиях из (2.14), (2.24) можно записать соотношения < р > < р > И ~ < Ж > Ь ) < Л ~ > < (Лр,) '> — < (Лр,) '>„= Ь'й'< (ЛУ,) '> + а„<У,>. (7 10)' Здесь У, и У, — числа фотонов, рассеянных атомом соответственно при вынужденных и спонтанных переходах за интервал времени М.
С другой стороны, яз уравнения (7.8) после взятия первых двух моментов распределения в(р,) следуют соотношения <р,> — <р,>, = Р(<и,>), <(Лр,)'> — <(Лр,)'> = 2Р„(<э,>). (7 11)' Сравнивая эти соотношения, можно записать связь между дисперсией и средним значением числа фотонов Хь рассеянных при вынужденных переходах <(ЛУ)'> = <Х~>(1+с().
Если теперь в качестве меры отклонения от статистики Пуассона ввести параметр Манделя <> (146$ то параметр (> оказывается совпадающим с величиной бй < (лл'.,)=> — <м,.> <.'; > (7.12) ПЗ 5 7.2. Кинетическое уравнение для атомов в лазерном луче Рассмотренная выше плоская монохроматическая волна является простейшей формой светового поля лазера, на которой могут быть в «чистом» виде выявлены процессы, ответственные за изменение импульса атома. Вместе с тем, данная модель не описывает экспериментальные ситуации, в которых существенна угловая расходимость и немонотроматпчность лазерного излучения.
Ниже мы рассмотрим, к каким модификациям коэффициентов уравнения Фоккера — Планка приводит учет данных факторов. 7.2Л. 1"ауссовский световой луч. Начнем с анализа угловой расходимости излучения. Для определенности положим, что лазерное излучение представлено основной поперечной модой ТЕМ„ (рис. 7.1). Атом будем по-прежнему считать двухуровневьззг, а лазерный луч — линейно или циркулярно поляризованным. Выбирая оси квантования атома, как указано в 3 4.1, поле луча запишем в виде о е-Р (»«е~(»+о!»«)™~ к с о о « (7Л6) (7Л7) д« вЂ” минилгальныйг размер каустики д, = '/, (Ь)/я) "'. (7Л8)' Точка г, является точкой пересечения волнового фронта луча с осью г (рпс. 7Л).
Волновой фронт гауссовского луча определен уравнением 2»/ь (7.19) 1 + 1,,» о глс параметр Ь иоснт пазванне ннваряанта лазерного излучения. 115 З.[есь о = 0 (е, = е,) для линейно поляризованного излучения, а = ~1 — для циркулярно поляризованного нзлуче- р (х» + вт) н» линдрпческая координата 1 Г,е, поперек оси луча. Запись поля в виде т г» (7.16) является более об- 2 щей, чем запись, использовавшаяся в З 4.3. Соотно- Рнс. 7.1 Сеченое лазерного луча моды жение (7 1 6) у гн гывает ТЕМю плоскостью, пРоходЯщей чеРез ось г, н составляющие радиационной силы Г.
изменение не только амп- Йрнвая т — линия постоянной внтенснвнолитуды, но и фазы поля стн луча; кривая г — волновой фронт луча поперек оси луча 11481. В (7Л6) параметр д определяет масштаб изменения поля по сечению луча д = до (1 + 4г„/Ь»)п», Данный параметр определяет угловую расходимость луча, а его значение зависит от геометрии резонатора лазера и от параметров фокусирующих злемептов (зеркал, линз н т. п.). Отметим, что в (7.16) опущена медленно меняющаяся фаза ~", = — агстя(2з/Ь), несущественная при Ь » )..
Для нахождения уравнения Фоккера — Планка для световой волны (7.16) с плавно меняющимися амплитудой и фазой положим предварительно, что волна задана в общем виде Е = ", едЕ, (г)ек'-" '"'э ""' + к.с., (7.20) где Е,(г) п Чэ(г) являэотся плавпымп функциями двумерного век- тора г, меняющегося в плоскости х, у. Тогда походные микро- скопические уравнения, как следует пз (6.5), могут быль запи- саны в виде 1 — рзе= ) Уе о ( Кд +хг — иО р„э)х — к.с. — 2эур,, о ж зе,) о ( кэ ~зх~-иээг (рээ р-- ) "х руры -$- 2эу~с!э,(ээ) р,.(г, р+ пМа)йэ, (7.21) где использованы обозначения (6.8): р,„д = раз (г, р + '1,»г (й + х), Г), т = О, .+-1.
Здесь волновые векторы х перпендикулярны оси г, величины Е являются фурье-образами функция Г = 'г'(г) = — э(Е,(г)емМЭ,'2й = [ У„еэ""э(х. Следуя методу 1 6.3, разложим данные уравнения в ряды по степеням импульсов й(й + х). В результате получим уравнения др «~т др др + — й,,д — ек'-' — о'э — '- + ...
— к.с., э' — „рэ, — гедд*-щэ(рээ — р,э) — эур,— 1 — р = у*о-кь — о'эр + 21 р„+ —,йэйу*е-кд' — "" = + дэ ээ гэ ~ -"- 2 з ~ до к др, Х' ар„ + + Й ~,~ — Е- Н!'™ Э =" +... — К. С. + Л'-РУ,дд П П вЂ”,з +...; дг. Э д дд-.' (7. 22) где гь рэ — компоненты векторов г и р ()=х, у; э'=х, у, з). 116 Подставим теперь в уравнения выражение для поля в виде (7.16), заменим недиагональные элементы матрицы плотности, р„- рг, ехр [ — 11гг + 1(й + рЧЬдг) г), и введем блоховские функции (7.1). Уравнения для блоховсьих функций имеют вид дю дг Лю ч' д г 2г — = — йг/сд — ' +: д г — ~ С вЂ”: з) + гп г г,гю г Ч г др,'-.' — = 2лз+ 27(го — и) + ..., ди ж дг 1 '(гг рог г ~юг Г о 8 — Ус + дг / 2г '~юю 1 диг — = 2ли — уз+ ~Й вЂ” йо, — — ~в Г.о )с — Мд — + ..., д7 ачг; ' '/ д75 (7.23) где д — зависящая от координаты атома частота Раби: югг ~ Ю) Ю Е-Рггг Ид' 1д (7.24) (2Л! ю Вывод кинетического уравнения из уравнений (7.23) полностью аналогичен изложенному в $ 7.1.
Результатом является уравнение Фоккера — Планка, которое во втором порядке по импульсу отдачи есть г7юг д~и д чсг д 7, + ч — = — — (Рдо) — ~~~ — (Ргчо) + ~~ — г(гггги), (7.25) дР, г г адесь поперечные компоненты радиационной силы равны (551 Ч г ю (! ю, (Р гг. —,". Х,Р,) ~г )-; ю ) (~ю ) Рг/Ю~ (7.26) Продольная компонента Г, радиационной силы и тензор диффузии определены соотношениями (7.6), (7.9), в которых член гг — 7го, заменен на величину П й -"' 'Ч иг г ~,д Г.О'.
ь7 . г В выражениях (7.26) поперечные компоненты радиационной силы содержат две части. Первая из них обусловлена измене- 117 пнем амплитуды луча поперек оси ю Эта часть определяет проекции градиентной силы (4.43). Вторая часть определяет проекции силы светового давления, направленной по волновому вектору луча, на оси 7 =х, у.
Последнее непосредственно видно нз того факта, что зта часть силы отличается от силы Г, наличием множителя 2зг;/Ьд*й, который есть угол между нормалью к волновому фронту луча и осью г. Продольная компонента Г, радиационной силы совпадает с величиной всей силы светового давления, поскольку отличие волнового фронта луча от плоского предполагается малым. В формулах для сил и тензора диффузии произведения г,г, определяют доплеровские сдвиги частоты, связанные с движением атома поперек оси луча. 7.2.2. Световой луч с конечной шириной спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
