1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим теперь как модифицируются сила и тензор диффузии в поле немонохроматического излучения. Для определенности будем исходить из модели плоской волны с диффундирующей фазой. Выбирая оси квантования, как указано в $4.1, поле линейно или циркулярно поляризованной волны запишем в виде (4.1)' (о = О, ~1) Е = —, е Е екь™ ~г~о~ + к. с. 1 — ч 0 (7.27) где амплитуда Е, считается детерминированной величиной, а фаза ~р(~) случайна.
Производную ь(1)=4~/Й будем полагать гауссовским дельта-коррелированным случайным процессом с нулевым средним значением и с функцией корреляции <~(1) ~(1+ т) > = 2~6(т)'. При таких предположениях спектр интенсивности случайного поля (7.27) будет лорекцевскпм с полушкриной р: 1 5 1(и) ~0 л (м ) +а где 7, Е'„. В случае поля (7.27)' микроскопические уравнения для блоховских функций (71)' будут отличаться от уравнений (7.2)' новыми членами.
В уравнении (7.2в)' появится член — гЬ(1)', в уравнении (7.2г) — член сЦ(1). Кроме того, поскольку Ц(1)' является стохастлческой переменной, то и блоховскне функции будут иметь смысл стохастических переменных. Интересуясь средней по ансамблю фаз функцией распределения <ю(г, р, 1) > микроскопические уравнения следует усреднить по стохастической фазе. Такое усреднение может быть проведено с помощью соответствующего уравнения Эйнштейна — Фоккера для условной вероятности перехода (149). После усреднения микроскопические уравнения будут отличаться от уравнений (7.2) двумя новыми членами. В уравнении (7.2в) появится член — ()с, в уравнении (7.2г) — член — рг. Если ввести новую поперечную скорость 118 релаксации Г= 7+ р, то усредненные микроскопические уравнения будут отличаться от уравнений (7.2) заменами 7- Г в уравнениях (7.2в), (7.2г).
Учитывая это обстоятельство, после повторения вывода уравнения Фоккера — Планка, представленного в в 7Л, вместо силы (7.6) получим (150, 151) Е, = йй7С(1 + б+ (а й,,) «~-, (7.28)' Вместо тензора диффузии (7.9) будет получен тензор диффузии 11511 .2 6 7>„. = —, Й-И'у ~ ь,«,,«Хп~ «96+( '«) г уп — — ан + б„(1+ У), «Т — 6 — (2т/à — 1) (й — ии,)~(ГЗ вЂ” (! + 2Г!Г) (7.29) <'+ (~> г) где с =2д«I7Г, л=г)Е,(2Ъ.
Основным отличием силы и тензора диффузии для стохастической волны от тех же величин для идеальной монохроматической волны является наличие в (7.28), (7.29) двух констант, 7 и Г= 7+ р. Этот результат является прямым следствием наличия двух констант релаксации в микроскопических уравнениях для блоховских переменных. Внешнее флуктуирующее поле, естественно, не изменяет скорости спонтанного распада 27, в связи с чем в усредненные уравнения для «диагональных«блоховских переменных <и» и <и> входит только константа 7. Флуктуации поля, однако, увеличивают скорость релаксации дипольного момента атома, в связи с чем в усредненные уравнения для «недпагональныхз блоховских переменных <с> и <г> входит не константа (, а ббльшая константа, Г=7+р.
Эта последняя константа определяет новую ширину ливий поглощения резонансного перехода. Непосредственным следствием увеличения ширины линии поглощения от величины 7 до Г является уширение силы и тензора диффузии в пространстве скоростей в,. Другим следствием стохастнчностн светового поля является упрощение продольной компоненты тензора диффузии. Если для идеальной монохроматической волны г-компонента тензора диффузии имеет резкую структуру вблизи нулевой скорости, то при ширине линии световой волны 9) 7 компонента Р, принимает колоколообразный ввд, стремящийся при р>7 к лоренцевской форме (рнс. 7.2). При этом асимптотическое значение тензора т„оказывается не зависящим от скорости: 2„(г » 7) = но+ 5,ь Упрощение продольной компоненты тензора диффузии находит также отражение в изменении статистики числа фотонов, расИ9 сеянных атомом.
При р — параметр Манделя (т'= !7 стремится к нулю, в связи с чем статистика числа рассеянных фотонов приближается к пуассоновской. Таким образом, увеличение временной пекогерентности (или ширины спектра лазерного излучения) сглаживает кан силу светового давления, так и тевзор диффузии и упрощает характер Г )йтл', -1б -6 О 6 и лнт -32 -!б О 16 ас' а Рис. 7.2. Продольная компонента тензора импульсной диффузии для стохастической волны (7.27) в аавнсимости от проекции скорости о, = с при С =! (а); (О (о).
Кривые 1 и 2 соответствуют Г = 7 и Г = 97. В качестве начала отсчета по оси скоростей выбрано значение йо = Я движения атомов. Приведенное утверждение обосновано анализом простейшего случая плоской бегущей волны с конечной шириной спектра. Естественно ожидать, что подобные результаты могут быть получены и при рассмотрении более сложных световых полей, а также при учете амплитудных флуктуаций поля. $7.3.
Асимптотическое скоростное распределение В $5Л было показано, что зволюция атомного ансамбля в бегущей световой волне сопровождается мовохроматизацией скоростного распределения атомов вдоль направления распространения волны. Причиной монохроматизацип скоростного распределения, как укааывалось в $5.1, является резкая резонансная зависимость силы светового давления (7.6) от проекции скорости и,. Роль силы светового давления в формировании узкого скоростного распределения была рассмотрена ранее, на основе уравнения Лиувилля.
Вклад скоростной диффузии был учтен на основе феноменологического уравнения Ланжевена. В настоящем параграфе представлен строгий анализ формы моноскоростного распределения, образующегося при больших временах взаимодействия атомов с бегущей волной.
Под большими в данном случае понимаются времена (! + С)зм С 77' (7. 30) при которых форма скоростного распределения полностью определяется значениями силы светового давленвя Е, и коэффициента скоростной диффузии С„. Для того чтобы результаты данного 120 параграфа могли быть применены к практически важному случаю замедления атомного пучка встречным лазерным лучом, ниже световая волна считается распространяющейсн в отрицательном направлении осн г.
7.3.!. Форма скоростного распределения. Полон;нм, что световая волна является плоскон, а атомный ансамбль — пространственно однородным. Тогда функция распределения может рассматриваться как зависящая только от проекции скорости о. = о: ш = ш(н, 1). Запишем соответствующее одномерное уравнение Фоккера — Планка (7.8) в безразмерных переменных, выбрав в качестве единиц времени и скорости величины (/го„) ' н 7Я: дм д и — = — (/.ш) + е —, (<ш).
31) Здесь / О [1+ О+(6+ )и]-~ )< = 1 + а„+ [ (6 + и) ' — 3] Л'/6, е = Л/Ь7, 6 = 1>/7. Безразмерная расстройка 6 считается отрицательной, поскольку только при таком выборе знака возможно резонансное взаимодействие со встречной волной атомов, движущихся в направлении +з. При временах (7.30) ширина монохроматизированного скоростного распределения значительно меньше скоростного интервала изменения силы светового давления (см. з 5.1). По этой при'чине силу Ь =Ь(з) можно разложить в ряд по степеням локальной скорости и = н — <и> вблиаи средней скорости <н>: Ь(о) = Ь,— 26 ' (6+ <о>) Л,'и+ (7.32) Поскольку при временах (7.30) сдвиг средяей скорости от на- чального значения <и> = — 6 значителен, Ю+ <н> ~ ~(1+ 6) '", то /„ принимает простой вид: га = С(6+ <о>) г Аналогичным образом может быть разложена величина т. Учтем теперь, что в эволюции асимптотнческого скоростного распределения принципиальную роль играют два первых члена разложения силы и первый член разложения коэффициента диффузии.
Первый член силы обусловливает изменение средней скорости распределения, второй член ответствен за сужение скоростного распределения. Первый член разложения коэффициента диффузии определяет уширение скоростного распределения. Оставляя только данные главные члены разложения силы н ко- 121 эффпциента диффузии, запишем асимптотический вид уравнения (7.31) (39]: дю ди / 1 д(ии') д и' ) — — / — =ОХ/ ~ — + —,. ). >77 О ди О О Г ди (7.33) О ди Здесь 2О = 4 + с4и Т, = — еу,(б + <7»)/2. В уравнении (7.33) в правой части записаны члены, ответственные за формирование скоростного распределения, в левой части стоит член — Е, дю/до, обусловливающий дрейф распределения как целого под действием средней силы — ЕО. Поскольку коэффициенты уравнения являются функциями средней скорости, то решение уравнения (7.33) естественно искать в виде функциональной зависимости от <г»(1): и>(э, 1)= ш(и; <7»(1)).
Для средней скорости после взятия первого момента уравнения (7.3(), можно записать уравнение движения » <г> О. (7.34) С учетом последнего производная по времени в (7.33) равна ди дн д <и> ди> д<,> дО Од<О ) и асимптотическое уравнение можно переписать в виде / ди дм ) / 1 д(и>О) д>и >> (7.35) ~д <О> ди Т ди дии Здесь записаны уже производные по локальной скорости и = э — <7», а не по истинной скорости э, поскольку зависимость от средней скорости <77> учтена при вычислении производной по времени. Представление кинетического уравнения в форме (7.35) прямо отвечает двум процессам эволюции скоростного распределения: формированию стационарной формы распределения вблизи средней скорости и дрейфу распределения как целого со средней скоростью <э>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
