1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следуя процедуре з 3.2, заменим в уравнениях (4.2) псдпагопальпые элементы матрицы плотности соотношениями вида (3.57) в м. †,ш Р ~ =р'~е (4 Л) где о,, не зависят от координаты и времени. После такой подл стаповки исходные ураиюппя сведутся и системе алгебраических уравнений вида (3.58) д (Р",в — Р'~,) + 21УРвв = О, 1ь' (Р~ ~ — Р ) + 1(11 — й ° + 17) Р ~ = В Ры + Рм = 1 ° Пошив данную сисзгму, находим л (Й вЂ” лг, — гт) Рвм (й — а.й)-' -,'— уз+ зл' (4.6) Если теперь подставить (4Х>) в (:э'.80), то для силы светового давления, действующей на двухуровневый атом в поле плоской бегущей волны, будет получопо выражение 110, 24) 1' =- йдЕв1ш Р~, = Ыс76~1 + 6,+ ((1 — йо,)" —,~ т (4.7) Напомним, что здесь к = йе„причем в соответствии с нереляти- впстскпм рассмотрением считается, что ~)г~ =ы,lс.
Величина 6 имеет смысл параметра насыщения атомного перехода: (4.8) Отметим также, что соотношение (4.7) идентично соотпошгшпо (2.22), полученному раисе из интуитивных соображений. В связи с выводом формулы (4.7) следует подчеркнутгь что для поля одной плоской бегущей волны сила, полученная из соотношения для усредненной силы, совпадает с полной радиационной силой. Совпадение сил, вычисленных по формулам (3.36), (3.32), обусловлено тем, что для поля, содержащего только один волновой вектор к, вся радиационная сила является пространственно-одпородпои, Вторым случаем, когда усредненная сила совпадает со всей радиационной силой, явлнотся случай бегущей волны с неоднородным распределенном амплитуды и (пли) фазы, рассматриваемый ниже в $4.3.
Связь этих двух случаев с более общим случаем поля, состоящего нз двух плоских волн, рассмотрена в Приложении, где по- 60 казано, каким образом полная радиационная сила, состоящая нз пространственно-однородного и осциллирующих членов, при уменьшении угла между волнами сводится к не зависящей от координаты атома силе светового давления (4.7). в 4.2.
Встречные плоские волны Кроме случая одной бегущей волны для применений резонансного светового давления представляет интерес также более сложный случай — взаимодействие атома с двумя встречными волнами. Этот случай представляет интерес, в частности, в связи с задачами радиационного охлаждения атомов в световых полях. Пшке для простоты обе встречные плоские волны будут считаться имеющими ндпу и ту же частоту, амплитуду п полярпзацпю. Суммарпое поле таких волн имеет вид стоячей волны. Примем, что встречные бегущие волны распространяются вдоль оси з (одна в направлении +г, другая в направлении — з).
Кслп волны линейно поляризованы, то направление поляризации будем считать совпадающим с осью х, которую выберем в качестве осп квантования атома. В этом случае атом будет взаимодействовать с волнами по схизме рпс. 3.2,л, а поле стоячей волны будет иметь впд Г = †,, е,Е (е' нз + к.с.) + †, е„Г (е н км + к.с.) = = 2е„Гз созйзсояом.
(4.9а) Если обе быущпе волны циркулярно поляризованы (и плоскости ил), то в качестве оси квантования будем выбирать ось г. В этом случае атом будет взаимодействовать с волнами по схеме рпс. 3.2, б, а поле стоячей волны будет иметь вид (о = ~1) Е == —, (ечГгаем'™ + к. с.) + —, (е„Г1„е '"* "' + к.
с.) = ч '-о в =- Е,созрев(е,о '"' + е,",е""). (4.9б) Лмплитуды Е„плоских волн в (4.9) считаются действительнымп. 4.2.1. Общие соотношении для силы светового давления. Для поля (4.9) походные уравнения для элементов матрицы плотности (3,54) имеют впд 1 — Р„= 2д (Р„о — Р,.е " ' сов! л — 2171).з. ш Н вЂ” Я~ 1 — р„= — 2л (р„— о,,) е сов йг — 1уо„, (4.10) р +р,= — 1, где пспользовашл те же обозначения, что п в (4.2). Согласна $ 3.4 стацнопарные решения (4.10) следует искать в виде рядов (3.57). Поскольку, однако, нз (4.10) ясно, что вре- 61 менная зависимость недпагональных элементов матрицы плотности определяется экспонентами ехр( ~-10г), а диагональные элементы р„(а = 1, 2) не зависят от времени, то удобно сразу сделать замену р„=р„е "', (4.11) где величины р„не зависят от времеви.
После такой замены в уравнениях будет исключена явная зависимость от времени и уравнения примут вид л ~и, — р.„= 20(рг1 р1 ) созйг 2'ургг И 1и, — о.„= 2д (р, — р„) сов йг — (11 + 17) ргм р„+ р, =1. (4.12) Решения (4.12) в соответствии с (3,57) следует искать в виде рядов яй ши р,„= ~з р„е' и=- нь ~ни р„„ = ~~ р„„е (4.13) Для того чтобы упростить расчеты, удобно ввести на данном эта- пе действительные блоховские переменные: (4.15) и = ро — рвп с =р„+р„= 2 Верин з = 1(р„— р„) = 2 1ш рг . (4 14) Используя для блоковских переменных общее обозначение Ь =- = и, с, з, ряды (4.13) мон.но переписать в виде Ь = ~ Ь„е'"', где благодаря действительности Ь имеем Ь „=Ь„.
(4.16) Уравнения (4,12) с учетом разложеш|я (4 13) сводятся к бесконечной системе рекуррептных алгебраических уравнений, являющейся частным случаем системы уравнений (3.58) (27+ 1п)т.)и„= — 2У(з„, +з„„,)+ 275„о (7 + 1л Ьо,) с„= — Пз„, (7+ 1лйи)г„= 2д(я„, + и„,)+ Пс.. (4.17) Выражение для силы светового давлшшя (3.60) с учетом разло- жения (4.13) сводится к следующему: Г = МЕе1ш(рг, — р,) = 2Я<д 1шс,.
(4.18) 62 2а 22-, Ь ' 'т 2Л(т+ Пптй) четное и, (4.21) нечетное п. (у + '""е2) Заметим теперь, что благодаря соотношению (4.10): х „=х„ и уравнении (4.20) достаточно рассмотреть неотрицательные и (я=0, 1, 2, ...). Введем для и ~0 множители д„соотношениями (4.22) т„„= д„х Для й„пз (4.20) получим рекуррентное соотношение ы„ '= т — пч ( -8) / П 61 Полагая в (4.23) и =1, 2, ... для й„получим бесконечную дробь В йэ (4.24) 1+ т й з где чпслктелп равны т + '"1ттг 2т (4.25) причем з п +1, п~ четное и, п1= и.
п, 1п + 1, нечетное п, а параметр насыщения 6 определен в (4.8). (4. 26) Решение рекурре~тной системы уравнений (4.17), необходимоо длн определения коэффициента с„может оыть получено в виде бесконечпык скодящплся дробей. Нпнсе мы приведем процедуру решения, следуя методу, использованному Стенкольмом и Лэмбом (1021 в теории гаэово|о лазера (см. также (115]).
4.2.2. Решение рекуррентной системы уравнений. Для решения рекуррентной системы (4.17) заметим, что переменная и„ отлична от нуля для четных и, а г„— для нечетных и. В связи с этим будем использовать для и„п з„общее обозначение т„: ,т„= и„ четное и, (4.19) з„ печатное и. Далее выразим из второго уравнения (4.17) величину с и запишем первое н третье уравнение (4.17) н виде одного рекуррептпого уравпе1шя для х„; х,. — Р, (х„-, + Х„,1) = бьь (4.20) где коэффициенты В„равны Запишем теперь уравнение (4.20) прп и=0, когда х„=п„: хо + — Ве х, = х (1 + 2йе ()) = 1. зя о Здесь учтено, что согласно (4.22) имеет место равенство .т, = <)„х„. 1'ешеппе уравнения (1.27) определяется формулой хе = и, = [1 + 2 Ве Я ', (4.28) где () — бесконечная сходящаяся дробь: (4.27) Р= Р о ! + Р г 1+ яе !+...
Все остальные переменные х„=и„(и=~2, х1, ...) и х„=г„ (г<="-1, ~3, ...) могут быть получены из реку! рентного соотношения (4.22) и из условия зрмптовости; х — = х . Необходимый для расчета силы светового давления козффпцпент с, равен (4.
20) () с< = — дх .< =, ! ич. о а. (4.30) 4.2.3. Многорезонансная структура силы светового давления. Используя соотношение (4.30), в соответствии с (4Л8) можно написать окончательное выражение для силы светового давления'), действующей па двухуровневый атом в поле стоячей волны [133): Г = — 2л)гу ! -[- 3 не (К (4.31) Здесь А= т+ <)<е, (4.32) а бесконечная дробь <) выписана н (4<.20). Наномш<м, что 1<= =)се„[Ы = ю,lс. Зависимость силы (4.31) от проекц<ш скорости и, приведена на рис. 4.1,а, б. На рпс. 4.2 показана зависимость силы от проекции скорости и, и параметра насьпцения 6. Кривые, представленные па зтпх рисунках, получены численным расчетом выражения (4Л!) па ЗВ[<1. Характерной особенностью зависимости силы (4.31) от проекции скорости и, является ее многорезонансная структура.
Количество резонансов на кривой г'=г"(и,), как видно из рис. 4.1 и 4.2, при любой заданной расстройке (е быстро возрастает с уве- ') Ото<стим, что н работе [133) силой светового давления бь<ла названа сумма, состоящан на (4.3!) н осцнллнрующнх членов, т. е. сила светового давления считалась соннадающен со всей радиационной силой. 64 личением параметра насыщения. Причиной появления данной структуры являются так называемые многорезонансные процессы, подробно исследованные в литературе для случая взаимодействия двухуровневого атома с полем стоячей волны [88, 1341. Рис. 4Л.
Сила светового давления для плоской стоячей волны как функция проекции скорости о, для расстроек П = — 3((а); †1 (б). Параметр насыщения С = 1 (сллошная кривая); 6 = 9 (штриховая кривая). 6 = 25 (пунктир) В случае одной бегущей волны сила светового давления, как было установлено в 9 4Л, содержит один резонанс. Этот реаонанс центрирован при скорости (см. рис.
2.5) ян. - (с со — ш,. Появление данного резонанса обусловлено тем, что взаимодей- 65 ствие движущегося двухуровневого атома с плоской монохроматической волной эффективно только тогда, когда частотная расстройка ьз скомпенсирована доплеровским сдвигом частоты йн,. В стоячей волне, которая является суперпозицией двух бегущих Рис. 4.2. Сила светового давления для плоской стоячей волны как функция проекции скорости и, и параметра насыщения 6.
Расстронка 0 = — 36 параметр насыщения изменяется в области 0 < 6 < 64, область скоростей определена соотношением )Ло,) ~ 7,5у навстречу монохроматических плоских волн, при неболыннх значениях 6, когда обе волны независимо насыщают атомный переход, эффективное взаимодействие атома с полем возможно уже при двух значениях скорости: Мн, = ы — озь В связи с этим при слабом насыщении атомного перехода сила светового давления (4.31) содержит два резонанса. Данные резонансы могут быть названы резонансамн первого порядка. При увеличении параметра насыщения в силе появляются резонансы высших порядков, обусловленные нелинейным взаимодействием атома со встречными волнами. Простейшими нз них являются резонансы второго порядка (рис. 4.3, а).
Эти резонансы возникают, когда поглощение фотонов из одной бегущей волны происходит одновременно с испусканием фотонов в другую бегущую волну. Поскольку частота одной волны в системе покоя атома равна ш шин„а частота другой равна ш е Йи„то в соответствии с законом сохранения энергии (ш ш ян.) — (ш ~ йн,) = 0 резонансы второго порядка центрированы при нулевой скорости (н, = 0). Следующими являются резонансы третьего порядка (рис. 4.3, б) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
