1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е, в уравнения (3.3>7), в которых д/д~ = О): Х~Хр~,р~аа — Хр. "ар~а)+ '-'— а ~в ч (ляа йхз) р>н> + Е (Лр)аз =- О. (3.45) Удобство данной процедуры расчета силы является двойным. Во-первых, единственная подстановка (3.44) сразу переводит пс- Ц ходные уравнения в уравнения цля стационарных величин р а. Во-вторых, в качестве исходных исш>льзуготся уравнения, имеющие простые релаксацпоппые члены. Ивпь>й впд релаксацпонных членов для уравнений (3.43) приведен в тз 3.4 и 3.5.
й 3.3. Усредненная сила в пространственно-неоднородном световом поле При выводе основной формулы для усредненной силы в з 3.2 световое поле предполагалось заданным в виде разложения по плоским волнам с дискретными волновыми векторами Л;. Тем самым, предполагалось, что световое поле. осциллируя в пространственных масштабах )„= 2л/>"„зангы>ает неогранпченпьш объел> и в этом смысле является пространственно-однородным.
Реальное световое поле всегда локализовано в конечной области пространства, размеры которой сравнимы плп превышают д>пп>ьг составляющих поле волн. Нетрудно видеть, что конечность области локализации поля а >>й> позволяет представить усредненную силу в виде суммы двух частей.
Действительно, в разложении пространственно-неоцнородного поля по плоским волнам присутствуют волновые 50 векторы двух типов. Осцнлляциям поля на длинах волн Х; соотвстстзу)от волновые векторы lг; = 2п7).о а изменению поля в макроскопическом масштабе а соответствуют волновые векторы х = 2л/а « )ч. В связи с этим изменение импульса атома в пространственно-неоднородном поле складывается из импульсов г))г), соответствующих «оптическим» волновым векторам )гь и импульсов Ьх, соответствующих волновым векторам х, которые возникают при разложении поля в области размером порядка а. Это означает, что в пространственно-неоднородном поле сила складывается из двух частей.
Практически вопрос о радиационной с)гле в прострапственнопеоднородном поле возникает в том случае, когда рассматривается движение атома в поле, образованном световыми лучами. Имея и виду этот слу)ай, рассмотрим для определеяности поле, образованное пересечением лучей, имеющих неоднородные амплитуды и фазы: ч~р )()гг — хл)) ) )Ф) )г) 1 %г — )1лг — хзг) )Фз)г) Е= —, г,Ех(г)е + —,~ Ез (г)е Е=, г,Е л 2 гь» в (3.46) Для расчета силы, действующей на атом в поле (3.46), вели)т„)г) чины Ел(г)е удобно разложить ш> плоским волнам; )гг)г) )хг Ек(г) е = ~аЕв»,е х 11оле (3.46) после данного разложения сводится к виду (3.15). В связи с этим для расчета силы молгпо воспользоваться результатамп предыдущих параграфов. Примем, для определенности, в качестве исходных соотношения, основанные на матрице плотности в представлении Вигнера. С учетом разложения поля по плоским волнам в соотношениях (3.24), (3.25) следует сделать замены )г к+ х.
После даяной замены формула (3.25) для кэант<шомеханпческого аналога силы будет иметь вид (Р) = — 1В,'Э($~+ х) 2',1а,)х(1) Х )г,х а» гхг )~г„~~ ( ),1,1 +,. (3.47) Здесь величины 1' ~в" (1) определяются формулами (3.17), (ЗЛ8), в которых сделаны замены Ев — х Ег+х. Причем теперь во внимание, что в (3.47) волновые векторы х малы по сравнению с волнгшымп векторамп к. Ч'огда в квантовомехаппческом аналоге силы можно выделить две части. Одна нз них включает »оптические» волновые векторы 1г, вторая — волновые векторы х, возникшие прп разложении пространственнонеодпородпого ноля по плоским волнам.
51 Благодаря тому же условию из-под знака интеграла можно вынести медленно меняющуюся экспоненту ехр(ггмг), После этого выражение для <г'> примет внд (Р> = — !Ю Х )г )г" Г (!) е!"'1 е!в"р а (, р) д 1 В,х а(! — ! В ~л~н~ ~а~~ ху„зо" (1) е!" ) е! 'раа (г, р) дг др + (.з. (3.48) Юх аа Учтем теперь, что разложению поля по плоским волнам соответствует разложение матричных элементов взапмо;(ействпя: хра, ~РЙ вЂ” !(оа ааа)! ' в!ь!'! %~ хв ! х !хо х Тот)(а кваптовомехаппчесгл!й аналог силы может быть переппсап в окончательном вице: <Г> =- — !й У„1с )'!!"„'з(г, () ~ е!юрва(г, р) г1га!р— в ав ч дг" (г, !) (' — й ~ ~«~ .
) е! 'р)!а(г, р) г)гг)р + 1,з, (3.4()) в аа П данной формуле коорднпата г, не входнщая под знак интеграла, описывает классическое движение атома в области Лг = = а » ),ь Квантовомехаппческие координаты г и р, находящиеся под знаком интеграла, описывают волновой пакет атома. Уравнения (3.24) после указанных процедур опять сводятся к виду (3.24), где, однако, вместо величин 1 „„(!) стоят величины Р„„(г, !).
рв а Дальпейп!ая процедура рас*гета силы полностью аналогична цроцедуре х 3.2. Для псключе!шя пз матрицы плотности явной зависимости от времени и координаты следует сделать замены впца (3.35): -в, -в !(ав хан)! — юв!" (ва (!' () = Ра«((г) е — !(а!,— ааа]!о!тв!о! р(! (г, Е) =- раа(г) е После учета соотпоп!е!гпй (3.28) — (3Л1), опрецеля!ощих переход к полукласспческой матрице плотности, кзантовомеханнческпй аналог силы переходит и радиационную силу, состояп(ую пз двух частей.
Соотззтствснпо усреднеяпая сила сводится к виду 1" = Ры + 1гол. Здесь первая часть силы обусловлена пзменеппем пмпульса атома вдоль нормалей к волновым фронтам лучей: г.,=~(ь~ ' )~о (о,г-[;)1,,!.!)= 'Ъ ("о) ~ в а "и а(! — )г + " ~л~ 1п! (йа(!Ев (го) Раа (го)), (3.50) о /ав Эту часть усредненной силы будем нааывать силой светового давления. Вторая часть усрсднслной силы определена соотношениями Иск= ~~ ~Ее(р,э(г„) — (йг Ел (г,)) = г г Ве(р~... (г ) —,(<1,„~;Еь(г„))). (3.51а) В записи, нодооиой (3,30б), эта часть силы имеет эид Еол =,У~ Ве ~ Г ((д) "Еа (гч)) 1 =- ~ Ве (Г (О!) "Еь (г„))), (3.51б) где оиоратор н =-д/дг„действует только на поло Еь(г„).
Данную вторую часть усродпспной силы, в соответствии с се структурой, ооычпо называют градиентной силой )77, 70~. При а ~ градиентная силн обршцаотся и пуль, а выражение для силы сводится к выра;копиям (3.36). С кваитовомехапической точки зрения сила Р„ ооуслонлеиа измопеш|ем импульса атома нри рассеянии на последнем фотонов с импульсами Ь()г + х), Ъ()г + х'). С классической точки зрснпн градионтпая сила возникает вследствие взаимодействия паксдснного дииольного момента атома с ноодиородным нолем.
С этой точки зрения градиентная сила имеет прямую аналогию с силой, действующей на частицу с ностоякным дипольным момоитом в неоднородном электростатическом поле )1301. Подчеркнем, что выделение усредненной силы из полкой радиационной силы основано здесь иа том н<е предположении, что и в случае поля, составленного из плоских волн. Именно, мы предполагаем, что волновые векторы световых лучей удовлетворяют условиям ))г,— )г,! - Щ, (3.52) исключающитг нрисутствпе и поле лучей с очень близкими нанравлсниями волновых векторов.
При нарушении этого условия о радиационной силе невозможно отделить одни нространственныо гармоники от других. в ЗЛ. Усредненная сила дли двухуровневого атома В большинстве задач теории резонансного светового давлопия огповиой интерес представляет двухуровневая схема атома, дающая простейшую модещ, резонансного взаимодействия атома с излучением. Имоя н шшу практическую важность дани й модели, ниже мы нриведем формулы, рожающие вопрос об усредионной сплс для двухуровневого атома. Одновременно на данном ирнмсре мы конкретизируем процедуру пахоягдския величин р"ш которая в общем виде была рассмотрена в конце э 3.2. бз Будем считать, что световое поле, возбуждающее двухуровневый атом, составлено из плоских волн, распространяющихся вдоль оси з '(Й=йе,) (3.53) Здесь е — единичный вектор поляризации, считающийся одинаковым для всех плоских волн.
Спектр поля будем считать сосредоточенным вблизи частоты ез, атомного перехода. Для двухуровневого атома (рпс. 2.2) уравнения (3.43), жншсанные в приближении вращающейся волны, имеют впд и %з а(ю-п>,!) из, — 1(т~-п,д) 4 — Раа = Д~ ггье Ры — („)'ьо ' Ра, — 2(уран иг ы „Да ь ь чсз цы — пь!) г у, Раз = ~а г зе (Ры — Ры) — гУРаг ь (3.54) Ро+ Р- = 1. Здесь У„равны )'ь = )г~1 = — (да ге) Еь/2гг.
(3,55а) Величина (3.55о) Р„= ы„— ы„ есть расстройка частоты волны относительно частоты атомного перехода. Вероятность спонтанного распада 27 определена ранее в (2.4). Вместо дифференциального уравнения для рп в (3.54) записано зквивалентное ему условие нормировки. Производная по времени в (3.54) равна д д з — = — + т —. лю зг зг' (3.56) В соответствии с процедурой г1ерехода от уравнений (3.43) к уравнениям (3.45) решение уравнений следует искать в виде рядов (3.44): а '(а -за~) Р„=- ~а Ране Р„„=- ~зР, е (3.576) х (3.57а) в которых новые злементы матрицы плотности Рам Раа (а= = 1, 2) не зависят от координаты и времени. Волновые векторы д, х и частоты Л„Л., как можно видеть из (3.54), должны быть составлены из комбинаций волновых векторов Й и расстроек й,. В (3.57а) комбинации должны содержать нечетное число слагаемых, а в (3.57б) — четное число слагаемых, После подстановки (3.57) в (3.54) для новых элементов матрицы плотности полу- 54 чается бесконечная система рскуррентных алгебраических урав- нений тина (3.45): Гарм ~э~ $'дрт„— 1(Ав — хн,) + 21у! р'„= О, ь †в ю-в =в Х В, (,4 — р~,) — ((˄— ~к,) + 'у) р~, = О, Аз в — ч (3.58) где н,— проекция скорости на ось з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
