1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(3.18) ). 1!аличке в соотношениях (3.21) — (3.27) импульса фотона И~ отражает кваитовомеханический характер изменения импульса атома. >Уравнения (3.21), (3.26) ири ив = 0 описывают зволюцшо ниутреипего состояния атома. Отсюда следует, что переход от кваптовомехаиического аналога силы (Р> и радиационной силе Г имеет иолуклассический характер. Дли иолу ~опия отличкой от нуля силы траисляцпоииое движение атоьи должно считаться классическим, а ииутреииее состояние атома — кваитонаииым.
Соотвотствеппо иолуклассическому характеру перехода от (1г> и Г сама сила Г является полукласси пекой вели ппнш — классической ио отиошеиию к транс:шциоипому состояниями и кваптовомехаипческои по отношеиию и внутреннему состоящие атома. Подчеркнем, что !задиациош~ан сила является классической величиной также ио отиои~ению к световому пилю, которое везде вы~но считалось классическим. Таким образом, пз приведенных рассуждений ел<дует, что для нахождения радиационной силы и соотпошепиях (3.24) — (3.27) следует устремить к пулю импульс фотона Нс, а матрицы плотности следует с штать фуш,днями классических переменных центра масс атома. 5 кажем в связи с зтпм формулы перехода от матриц плотности, зависящих от кваптовомехаиических переменных г и р, и полуклассп вским матрицам илотпости, являющимся фуикциямп классических переменных г и р.
3.2.1. Переход к классическому двия:еишо атома. Для классических перемепиых г и р формуль~ (3.23) сводятся к формулам преобразонапия Фурье: Р(г, р) =. (2я) ' ~ р" (р) е'""г!и, Р" (р) =- ~ Р (г, р) е и'"пг. (3. 28) Здесь классическая переменная и является пределом кнаитовомехапической велпчииы ц/Ь ((г)/Л)„„, — и, для Л~ — О), фигурировавшей в (3.23). Из зтпх же формул (3.23) следует соответствие между матрицами плотности р(г, р), р(р, р ), являющимися фупкцпямп кваитовомехапическнх перемепиых, и полуклассическими матрицами плотности р(г, р), Р (р), являющиьшся фупкцпямп классических переменных г, р. Прп Ь 0 р(г, р+ йц) — ~ Р(г, р), Р(Р + йпг Р + йпг) + Р (Р). (3.2!!) Непосредственно для расчета радиациопиой силы следует воспользоваться полуклассической матрицей плотности, иормировап- 45 пой на один атом в бесконечном объеме.
11 представлении Ьпгпе- ра полукласснческая матрица плотности имеет вид (3.30) р(г, р) = р(т) 6(г — г„) 6(р — р„). Н п»пульспом представлении нормированная на очип атом полу- классическая матрица плотности определяется соотношением Р (р) = Р(т) с 6(Р Ро)~ (3.31) гдг г„п р„= Л!т„— координата п импульс центра масс атома. Приведенные соотношения позволяют сразу выписать общую 4)ормулу для Радиационной силы.
Рассмотрим, для определенности, импульсное представление. При Ь- О входящий в (3.27) элемент матрицы плотности есть Ра„(р — й)г, р) = РВ,„(1) е ~6(р — р,). С учетом этого соотношения квантовомехапическпй аналог силы (3.27) при Ь- О сводится к радиационной силе Г = — — 16 ~ )г ~~ Ъ~,"„В (У) ос~ (1) е " + С я. (3.32) ь иа гж в соответствии с (3.26) элементы Р„.(1) сводятся и сумме Ра (1) = ~ Ра~ (1) ел р (1пго) а 3.2.2. Усредненная радиационная сила.
Согласно (3.32) радиационная сила в общем случае состоит из постоянного в пространстве члена г = — 16 чР)г ~~ 'г'",„(1) Ра„а(1) + 1. (3.33) аа и пз членов, которые осцнллируют с пространственными периодами, определяемыми комбинациялги волновых векторов поля (3.15). 1)елпчины Ра,„(1), определяющие пространственно-однородный член радиационной силы и всю радиационную силу (3.32), согласно (3.26), удовлетворяют уравнениям Раз (1) пторча (1) П дальнейпгем всюду мы будем анализировать поля, для которых осцнллпрующие члены полной радиационной силы (3.32) имеют пространственные периоды порядка длин составляющих поле волн.
Кроме того, нас будет интересовать движение атомов в пространственных масштабах, превышающих длины волн, По этим причинам везде ниже мы будем рассматривать только пространственно-однородный член радиационной силы. Этот член силы ниже мы будем называть усредненной силой. Для усреднеп- ав пой силы мы сохраняем то же обозначение !', что и для всей радиационной силы ('й:)2).
В полном виде радиационная сила будет выписана в Приложении для нескольких сословных типов световых ссоле)й Для того чтобы сделать дальнейшие заключения о соотношениях длн усредненной силы, учтем в явном виде резонансный характер взаимодействия атома с полем. Для этого подставим вместо величин 1'~в.(7) пх выражения (3.17). После этих подгтаповок оказывается удобным ввести новые лытрпцы р", связанные с матрицами рч (с) таким образом, чтобы в выражениях (3.33), (3.34) не содержалось явной зависимости от времени. В частности, для элементов матриц, входящих в (3.33), следует сделать замены рз„(!) =- р~„„е ( а в 1("а "ал]~ р~~ (с) = (ьс„е (3.35) Отметим, что в соответствии с принятым в (3.17) условием неотрпцательпостп частот ьлл,, величина р~м отличив от нуля при в ол л ~ (), а величина р~са отлична от пуля при сел,.
~ О. После указанных замен п учета соотпонсеппй эрмптовостп (Г.",)'=1-,,„", (р"„.)'= р„-~,", для усредненной силы могут бьстс выписаны окопчательпыс формулы Г =- ~~д~ )с~~д~ !пл (йааЕв о,"„а) = — ~э~ 1с ~~э~ !ьч (с)„аЕао~а). (ЗЛба) ка аа Выражения для усредненной силы можно также записать в следующей форме: Г = ~ 1с!пл ((с)) "Ест) = — ~й !пз ((с);л вЕв). (3. Збс)) Здесь величины (й)*" = Зр (йр '") — амплитуды пространственны.с гармоник наведенного резонансным полем дппольного момента атома.
Матрица <с1> составлена пз элементов (3.19). Уравнения для элементов матрицы нлотпостп после указанных замен прппплсасот впд раз = с ~~~ [~м 1 инрна ~~ряъ* ! л/4~ + ! в + + с' (Л~д — пт„) р„"а + (Йр),"а. (ЗЛ7) Здесь прп подстановке вместо и комбинаций волновых векторов а 1с величины слка пробегают значения, определяемые комбинациями частот ьлв и ел„,. 47 Уравнения (ЗЛ7) описывают эволюцию внутреннего состояния атома, центр масс которого имеет постоянную скорость т,, 1'елаксационные члены в (ЗЛ7) благодаря неизменности трансляционного состояния определяют изменение внутреннего состояния атома за счет спонтанных распадов. <нормально данные члены сводятся и произведениям релаксационных констант т,„на элементы матрицы р,"„ю Связь уравнений (3.37) с радиационной силой осуществляется уравнением движения центра масс атома: (3Л8) о Л1 — о =Г.
ьв 1!одчеркпом, что элементы матрицы плотности рэв и, следов вательно, усредненная сила зависят от скорости атома только через доплеровские сдвиги пх„. Полная радиационная сила (3.32), ест<отвеяно, зависит также от координаты атома г,. !!сходя пз приведенных замечаний п соотноп<ення (ЗЛ8), рассмотрим условия применимости формул (ЗЛО). 3.2.3. Основные ограничения.
Согласно проведенному выше анализу результатом перехода к классическому. двинсению атома является постоянство скорости т„в уравнениях (3.37). С другой стороны, скорость т, должна меняться в соответствии с соотношением (ЗЛ8). В связи с этим для корректности представленш<го вывода необходимо потребовать, чтобы характерное время изменения элементов матрицы плотности было значительно меныпе времени изменения скорости атома за счет действия сплы Г.
Элементы р~з релаксируют к стационарным значениям за характерные времена, определяемые временами спонтанных распа— 1 дов т,р у,з. Характерные времена изменения скорости атома могут быть найдены из соображений, близких к тем, которые использовались при получении оценки (2.10). Именно, изменение скорости, согласно (3.37), отразится на элементах матрицы плотности, когда Ьп„ достигнет значений порядка <хи, ж 7„и/й,. Сила, изменяющая скорость, согласно (3.36), имеет порядок <' = Ьй,7,м Отсюда для характерных времен изменения скорости п„следует оценка, обобщающая оценку (2.10): (ЗЛО) где <<1< = й'Л,<<2М вЂ” энергия отдачи, соответствующая фотону с волновым вектором й<.
Положив теперь т„<( т„получим основное условие, прп котором имеет смысл понятие радиационной силы: (3,40) 77~ ~~ й7ап Второе, дополнительное к (3.40), условие следует из того факта, что классический импульс атома должен значительно пре- 48 вышать импульсы фотонов. Пусть, например, при г=0 атом имел яулевой импульс. Тогда спустя время 8 импульс атома должен удовлетворять соотношению р„= М „= й1з7„,г » йй„ (3.41) Отсзода слодует, что время 1, при котором имеет смысл понятие радиационной силы, ограничено условием (3.42) 1)) уав ° Соответственно этому условию радиационная сила оказывается определенной сгациопарпымп значениями элементов матрицы плотности, т.
г. решеппямп уравнений (3.37) прп д/де = О. Ъ слозия (3.40), (3.42), как указывалось в гл. 2, имеют смысл условий классичности атомного движения. Такая интерпретация условий становится особенно наглядной, если записать соотношение для де-бройлевской длины волны атома Хз. Прн условиях (3.40), (3.42) длина волны Хэ оказывается значительно меяыпей длин световых волн Ап ).з =ЪУ10 « Х, = 2пЯь т. е.
движение атома действительно близко к классическому. Подчеркнем здесь также, что выделение пространственно-однородного члена из полной радиационной силы может быть проведено достаточно последовательным образом только в том случае, когда модули разностей волновых векторов составляющих поле волн сравнимы с самими волновыми векторамп. В этом случае все гармоники радиационной силы (3.32) осциллируют в пространственных масштабах, сравнимых с длиной волны поля. В общем случае, когда поле содержит волны с близкими волновьв|и векторамп, выделение пространственно-однородной силы теряет смысл из-за наличия в радиационной силе гармоник, осцнллирующпх в бользпих пространственных масштабах. Пиже мы будем рассматривать световые поля, для которых указанное условие всегда выполнено.
Усредненную силу для таких полей, следуя сложившейся терминологии, мы будем называть силой светового давления. 3.2.4. Расчет усредненной силы на основе вигнеровской матрицы плотности. '1'аким образом, окончательная процедура расчета усредненной силы для поля (3.15) (силы светового давления) может быть сформулирована следующим образом. Для нахождения силы следует рассмотреть времена 1 из (3.42), найти стационарные решешзя уравнений (3.37) и воспользоваться одной из формул (3.36).
Отметим, что при практических расчетах усредненной силы наиболее удобным является использование вигнеровской матрицы плотности. В качестве исходных в этом случае должны быть 49 взяты уравнении (3.24) при М = Π— +г — )рг(г,р)= >>л аг / = ~~Э~ енм ~ ~ )>,"„, (С) р„а (г, р) — ~~Э~ о, (>', р) Г>» (/) -)- >,з, ~ .+ в г + > (йр)~в, (3. 43) Далее в этп уравнения следует подставить матрицу плотности в виде (3.30) н проинтегрировать уравнения по координате и импульсу волш>вого пакета атома. В результате будут получены уравнения, отличающиеся от походных заменами г г„, р- р„ (г- г„), Решение получившихся уравнений целого»брав»о сразу записать в виде 1! >а>„— ю,>а> р„а(т) =- ~ р,„ре (3.44) Ц где величины р„а не зависят от времени и координаты. Тогда после подстаповш> (3.44) уравнения прямо перейдут в уравнения для стационарных величин р",» (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
