1626435886-1cce6bde8b5ee3bdaa35d7367a651ad8 (844327), страница 11
Текст из файла (страница 11)
40 здесь угловые скобки подразумевают усреднение с помопнпо атомной матрицы плотности. После записи соотношения (3.5) основной задачей является проведение и последнем кваптовостатистичсского усреднения. Ииже мы выполним такое усреднение, используя атомную матрицу в координатном, импульсном и внгщ ренском представлениях. Одновременно выпишем необходимыс при вычислениях кваптовомехаоического аналога силы уравнения дли атомной матрицы плотности.
Прн этом ограничимся явной записью только упгпамической части уравнений, которая определяется атомным гамильтонианом (3.4). Для кваптовостатнстической части уравнений, определяемой оператором спонтанной релаксации Л, для целей настоящего параграфа достаточно использовать неявную символическую запись в виде Вр. Явный впд релаксационных членов в классическом пределе Ь- О, переход и которому необходим для вычисления радиационной силы, будет приведен в следующих параграфах па основе нмшощихся в литературе формул (см., например [88, 95, 981). ЗЛ.2.
Координатное, импульсное и внгнеровское представления. Будем исходить нз атомной матрицы плотности в координатном представлении р =р(гь, г'$ ), явлиющейся функцией совокупности координат $, описывающих внутренние движения атома, п координаты г, описывающей движение центра масс атома. В шредипгеровской формулировке квантовой механики атомная матрица плотности р(гВ, г В ) удовлстворнет уравиенщо движения уг (Н ~ )Р+' где Чт„(й) =- ф,„Д) е (3. 11) Ъравнония двшкоппя для элементов матрицы плотности р(г,г'), согласно (3.6), имеют впд , д А 1 — р„а(г, г') + —,, (Ь вЂ” Л') роз(г, г') = = 2л~ Ран(Г) рва(г~ Г') 2л~ рат(Г, Г') 1 та (Г') + ! (Лр)аа~ (3.12) где матричные элементы оператора дппольного взаимодействия равны Р.
(Г) = 1 Ч' ($) У (Г 1) Ч"н ДМ. (о 13) 11вантовомеканический аналог силы с учетом разложения (3.10) сводится к выражению (Г) = — бар() (п)т(г))р(г, г)с(г), (3.14) 1~(г) — матрица, составленпан пз коэффициентов К„„(г). Для того чтобы продвинуться дальше в вычислении квиптономеханического аналога радиационной силы, следует в явном виде учесть обмен импульсом между атомом и классическим световым полем Е. Запишем в связи с этим классическое световое иоле в виде разложения по плоским волнам: и (:5. 15) Здесь поле предполагается занимающим бесконечный объем.
Суммирование в (:).15) осущсствлнстся по дискретным волновым векторам й = й,. ') Далее всюду речь будет идти только об атомной матрице плотно- сти. !!озтому для краткости здесь и ниже мы опускаем термин чатомнаяа. 41 Усреднение соотношения (3.5) с помощью матрицы плотности ') р(гб, г'и') сводится к вычислению интеграла [1261: (Г) = — 1~ ~ ~~ —,' У (4)) р (гф, г'ф')), Иф с(г. (:!.0) Используя уравнение (3.6), удобно перейти к матрице плотности р(г,г ), составленной пз коэффициентов разложеннл матрицы плотности р(гб, г'и') по зависящим от времени собственным функциям Ч"„(и) гамильтоппана Н, [1261: р(гб, г'Ъ')= Х р В(г, Г') Ч"о(б) Ч'В(Ъ'), (3.
10) ов В силу действительности поля Е коэффициенты разложения (3.15) удовлетворяют соотношениям Ев = Ех. С учетом дакпого разложения матрица дппольпого взаимодействия (3.13) принимает вид суммы ~-и() = Х ."и(!)""'+ ~р.—.в(!) с-'"', (3.!6) <1„, — мат!шчпгий э:пмспт оператора дппольиого момспта атома: й..
= ~ч'.*в) йа) ф.айв. (3.10) Величины н„определены соотношениями юг,, =(е„— е )/Ь. И соответствии с тем обстоятельством, что иоле (3.15) предполагается ваходящимся в резопансе с квантовыми переходами атома, в матрице дипольпого взаимодействия (3.16) достаточно учесть только резонансные члены, т. е. члены, для которых )<ея — ючи)<(ююеэев Для того чтобы исключить из (3.16) перезопапспые члспы (эта процедура для классических световых полей носит название «приблингеиие вращающейся волны» (127)), киже мы будем считать, что и (3.!7) величины ы,„„.
се„,, иеотрицательпы. Влагодаря этому условию в матрице (3.16) будут автоматически учитываться только резонансные члспы. Соответственно, величины ю „, ые будут иметь смысл частот атомных переходов. Учитывая представлепие (3.!6), кваптовомехакический аналог силы может быть пореписап в ниде (1г) =. — !6 ~,)с8р() Г" (!) р(г, г) еьтМг] + !.в., (3.'О) где 1' '(!) — матрица коэффициентов 1'~в(!), а матрица р(г, г) в составлена из величии р г(г, г).
Здесь аббревиатура 1. в. (!пчегве и!яп) использована для обозпнчопия второго члена в (3.20), отлпчаюи!сгося от первого щепа заменой к ив — )г. !!ижо мы будем неоднократно попользовать денисе обозначение, всегда определяя его равепстеом /()г)+ ь 5. = 7()г)+ ! ( — )г). где коэффициенты суммы равны Здесь матричные элементы взаимодействия определены по независящим от времеви собственным функциям ф;(В) гампльтоппана !1„(с) (3.18) Введем тенорь осноипыо для дальнейшего анализа матрицу плотности в представлении Внгнора р(г, р) н матрицу плотности в импульсном представлспнн р(р, р') У!28, 120). Связь продставлснпя Впгнера с координатным представлением осуществляется с помощью формул Р(г, р) =(2лУ!) ' ~р(г+ —,, гог — —,', в) о '""'"г)в, р(г г') = ~ р ~ —,, (г у- г'), р) е" ' Ув'ьг)р, (3.
1) Свнзь координатного п пмнульсного представлений дается формуламн р(р, р') =- (2лУ!) з ~ р(г, г') о '~"' " ь 'г!гпг', р (г, г') = (2л)г) ' ) р (р, р') е" " " " ' ИР г(р'. Представление Впгнсра и импульсное представление связаны фор- мулами р(г,!) =(2пУ!) '~р(р+ ~ Ч,р — ~ Ч)с'""'~УЧ, р(р, р') = ) р(г, —,, (р + р')) о ' ~ " 'г(г. (3. 23) з равнснпя для злсмептов матрпцы плотности и представления Внгпера следуют из (3.12) после преобразований (3.16) и (3.21) ! д / 1 — + т — ) Р„В(г, Р) = г е ( ~ )',в(У) Рву; ( г, Р— —,, Иг)— — Ъ р„,,(г, р + —,, УУ(г) $',,Г (У)) + В з. + ! (Лр),щ (3.24) т (Г) = — й~)т У,Р у;(У)~о' рв„(г,р) г)гг)р+ !.в.
(3.25) З равнения дчя злементов матрицы плотности в пвшульсном предстввлонин следуют нз (3.12) с учстом (3.16) н (3.22): ,з — „, рщ,(р р')+ вд,„р в(У> 1-)= = ~' У',2, )'! в (У) рн, (р — У ), р')— — Х Рзт(р, ))' + й)Г) ръа (У)~ + !. В. + Х (Лр)аа. (3.26) l 43 где т = р/М вЂ” квантовомеааничсская ноременная атомной скорости. !1рп усрсдпенип с помощью внгнеровской матрицы плотности кваптовоььвланпческий аналог силы (3.20) сводится к выражению 1(наюютоиомекаиическию1! аналог силы (3.20), выражепиый через матрицу плотности р(р, р ), имеет иид (Г) =- — ! Л ~~э„к ~~.
Рьа (С) ) рюю„(р — Л 1!, р) ю!р + !. а. р ' (3.27) (югметиа!. ч!о иоскольку даик!сине атома считается исрелятииисггким, то и ирпиедеииыт аьюиюе соотпоиюсиияк нолиопые векторы юпоскпк юи!'юи имеюот о,юпо и тп ке зна'и'иие о:щбораториой системе и и систезп шп;оя атома. !!о:!той причине пе:юде иыюпе соотношение ) )ю) = оюь'с эквивалентно соотиошщиио !1ю! = го,ю/с. где юю„! есть частота атомного иерекода, которому резонансна волна с волковым вектором )ю. Другими словами, в иерелятивистском (ио скююрююсти атоюи!) ириозижеиии ие сущестеует различия между модулем имиульса фотоиа Л ) )ю ! = — Тиюьс и моду:и и иииульса юм юа и! Лью„,'г.
Данное замечаиюи. и частности, еле!уст уиююынатю, когда в ре;шнапсе с каким-либо атомным и!рекодом иаьодятся несколько !шли с разными иолиоными кекторами )ю, и частотами ою, = 11г,)с. 1! этом случае в иерелятинястскик соотиошеиияк (3.24) — (3.27) импульсы Лю)ю, могут ра:юличаться только по иаиравлеииям, поскольку для и!!!гуле!! имиульсоа имеет место соотношение Ь)1ю,)= — Люю„„/г. Ьиалогичиым образом, когда в приведенным иерелятивистскит соотиошеиияч учитыаается резоиаис одиой аолиы (с нолиовюгы! вектором )г и юастотой юоь) с двумя разиымя атомными нерекодами (и!и!он!ими частоть! юоищ, юоаюГ,) модуль имиульса фотона а!ожет считаться разным люобой из трек величии: Ьюююьюс, Люсю„,а,/с, Люв,,а,(с.
Соотиоиюеиия (3.24) — (3.27) и том случае, когда изоестиы явные выражения для релаксациоинык оиераторон 1У, достаточиь! ;юля иатождеиия кваитопоющкаиического аналога радиационной силы <Г>. 3:ась мь! однако ие будем останавливаться иа ясследощиши этой вели шпы. !!то сшшаио с тем, что в дейстаительюшсти ире.'юстааляет питер! с ие соосткеиио аеличниа (1'), а только ее;ищ пчиюе и пределе Ь вЂ” О, оирс,илякнцее радиациоииуюо силу. (,оотиоюпеиия для радиющиоииой силы и ус:ииюия ил применимости будут юиюлу и иь! и следуюощем параграфе.
3.2. Осююоаиьюе соотношения для радиационной силы 11 гпопи"!стили с югбиюим ираки том юк1н золя от к!и!и ююююююююи таки ишкик ! отиоиичюнй к и:шсси иском,шя !ищу и иин из калиток!о!елани кского аналога силы ЮГЭ классической силы с' в соотиопюеиияк (3.23!) — (3.27) следует устремить к пулю постояииуюо Планка Ь. 1Л.! указанным состиошеияй. однако, аидио, что для иолучеиия иетрниинльиого результата (Гчь ю!) следует устремить к и~'.'юа! то:и ко иостоиииуа! Л. из!!'ми!!у!о ю! сыра:кеиие;ю:и! им пульса фотона Ию. Пююгтюиюииуюю! Л.
сош р кашу!оса в ураниеиият для матрицы плотпости (эь2(!). (3.26) и и!де множит!ля Ь ', ие:нза устремить к нулю, поскольку в этом случае обращается 41 в нуль матрица плотности, ~то приводит к результату Р = О. Постоянная Тц входящая в выражения для (Р> и качестве мпожителя, должна Г>ыть оставлена без измепепин по той причине, ~в что член и) „в(!), определяющий дипольиое взаимодействие атома с классическим полехь пе содержит постоянной Л (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
