1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Для этого делают большое число измерении А! = гп, разбивают их на г групп по и измерений в каждой и среднее значение в каждой группе х рассматривают как единичное измерение. Тогда проверка выполняется по формулам (!3) — (!5), где вместо п надо подставить г. Разумеется, такую тщательную проверку проводят не в каждой измеряемой точке, а лишь во время отработки методики эксперимента. 3 а м е ч а н и е 4. Аналогично проверяют любые естественнонаучные гипотезы. Производят большое число экспериментов н выясняют, нет лн среди них событий, маловероятных с точки зрения этой гипотезы.
Если найдутся такие события, то гипотезу отвергают, если нет — условно принимают. ((Ро и) ~ , )зо $' л (16) где коэффициенты Стьюдента !(Р„и) данпся таблицей 23. Из таблицы 23 видно, что при и = 2 доверительный интервал чересчур велик, так что следует производить не менее 3 — 4 измерений. При дальнейшем увеличении п коэффициенты Стьюдента убывают слабо и доверительный интервал з„ сужается почти пропорционально п-из, т.
е. довольно медленно. Поэтому обычно считают нецелесообразным брать л -> 5 — 10, так как возрастающая трудоемкость эксперимента не оправдывается достигаемой точностью. Выбор и. За счет увеличения числа измерений п можно неограниченно уменьшать доверительный интервал. Однако систематическая ошибка йо при этом не уменьшается, так что суммарная ошибка все равно будет больше !)а. Поэтому целесообразно выбрать п так, чтобы ширина доверительного интервала составляла 50 — 100;4 !)е. Дальнейшее увеличение числа измерений бессмысленно. Чтобы найти удовлетворяющее этому требованию и, надо отдельные точки измерить достаточное число раз, вычислить стандарт з, убедиться в нормальности распределения т)„и на основании критерия Стьюдента (9) подобрать такое а, чтобы выполнялось неравенство ГЛ.
ХР1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 489 П р имер 2, Отношение систематической Ошибки к стандарту выборки оказалось рь/в=0,8, и принята доверительная вероятность р, = 0,95. Возьмем соответствующий столбец таблицы 23 н будем перебирать по очереди п= 2„ 3, ..., пока не получим 1(р„ п)ф' и( 0,8; этому условию удовлетворяет и = 9.
О б н а р у ж е н и е г р у б ы х о ш и б о к. Отличить грубую ошибку от случайной не всегда легко. Если число измерений мало, то широк доверительный интервал и даже значительные отклонения от среднегб в него укладываются. Если же и велико, то возрастает вероятность того, что хотя бы одно измерение сильно отклонится от среднего случайно, т. е. на законном основании. Пусть сделано и измерений и вычислены среднее х и стандарт в. Чтобы с вероятностью р, ии одно из этих измерений ие отличалось от М$ более чем на. Некоторое б, каждое измерение должно оставаться в указанных пределах с вероятностью ~Гр,, т.
е. должно выполняться условие р',~х; — МЕ! 8)=..~ р. (17) Предполагая, что $ имеет нормальное распределение, сравнивая (17) с критерием Стьюдента (9) и учитывая, что величина з вычислена по всей выборке, а применяется к отклонению единичного измерения, получим 6 = г,у'рт, ~г) в. (18) Вместо неизвестной величины М$ мы вынуждены подставлять в (17) величину х, иглеющую доверительный интервал р = = 1(р„п) ЕД' и.
Сравним неравенства ,,х,— Мй',(б, ~х — МС~~Р; поскольку они носят вероятностный характер, то к ним надо применять не неравенство треугольника, а суммирование квадратов, что дает (х; — х~(Р бь+$'. (19) Подставляя сюда найденные б и р, можно сделать следующий вывод: Если для всех измеренных величин выполняется оценка ! хс — х ~ =-з ~~'(ъГрт и)+ —. Р(рь п))и, (20) то нет оснований считать одну из них грубо ошибочной. Если какое-либо измерение не укладывается в пределы (20), то его можно считать грубо ошибочным и отбрасывать. Общепринятых критериев для выбора вероятности рт нет; естественно полагать р„== р,. 490 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА !Гл.
хч Пр имер 3. Пусть проведено п=10 измерений и выбрано р,=р,-0,9. Тогда р!!л=0,99 и вычисления по формуле (20) при помощи таблицы 23 дают ~х; — х~«=З,Зз. Если при той же вероятности р, взять п = 100, то получим условие ~ х, — х ~ ~ 4,8з. 3. Сравнение величин. Сначала рассмотрим задачу сравнения величины х, измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину х можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее х по и измерениям.
Надо узнать, выполняется ли соотношение ЬЦ- а. В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную: а) по известной величине х найти константу а, которую М$ превосходит с заданной вероятностью р„; б) найти вероятность р, того, что М$)а, где а — заданная константа. Очевидно, если х с. а, то вероятность того, что М$ ~а, меньше '/о. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что «х~эа и ро)«/о. Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по п измерениям определены Х и его стандарт з„: л л х = !! —,~~ хь з'; = „— ((„ив !) ~ (х! — «)'. (21) о ! Число измерений будем считать не очень малым, так что х есть случайная величина с нормальным распределением.
Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности р, выполняется условие р(йй$--~- (р„)з.)=- (+р,). (22) Полагая р,='/о(1+р,), перепишем это выражение в следующем виде: р(М$~а) =-ро, а.— х — /(2ро — 1, п)зл, (23) где 1(р„п) — заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью р, превышает МБ. Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом: / (2р, — 1, и) = "—, р (М$ =- а) = р,. (24) зл Это значит, что надо вычислить 1 по известным значениям а, х, зл, выбрать в таблице 23 строку с данным.
п и найти по величине/ соответствующее значение р,. Оно определяет искомую вероятность р,=!/о(1+Р!). гл. хч! СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА ! х= — „- ~1 х;, 1 у=я- Х уу (25) у= ! Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) при- ближенно определяются несмещенными оценками: 1 з,'„= „„, ~~! (х! — х)', з' Р—— , ~)„(уà — у)', (28) к=! !=! Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х н у также независимы, так что при вычислении е их математи- ческие ожидания вычитаются, а дисперсии складываются: т=М~=М) — М$=у — х, 0е=вх =з„',+з'„„. (27) (28а) Две случайные величины.
ЧЕСТО требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину— например, увеличивает ли (и насколько) прочносТь металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла х и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти г=у — х. Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через $ и Ч. Величина исследуемого эффекта равна Мь = Мт1 — М$, и требуется определить, выполняется ли условие Мь» а.
Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины ь с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом: а) по результатам измерении х; и ут найти константу а, которую МЬ !!ревосходит с заданной вероятностью рь (т. е: оценить величину исследуемого эффекта); б) определить вероятность р, того, что Мь»а, где а — желательная величина эффекта; при а=О это означает, что надо определить вероятность, с которой Мт1» М$. Для решения этих задач надо вычислить г и дисперсию этой величины.
Рассмотрим два способа их нахождения. Независимые измерения. Измерим величину х в н экспериментах, а величину у — в т экспериментах, независимых от первых п экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам: 492 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЬРАЬОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 1гл. ху Несколько более точная оценка дисперсии такова: и П3 1 и=!,. „(-„'е —.'!~~ ! — ! -~ ! (е, )1. (еее! /=- ! != — ! Таким образом, 2 и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24). Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из и экспериментов одновременно измеряют х и у.
Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки. При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение е,=у! — х! одной случайной величины ь, которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21) — (24), где вместо х надо всюду подставить г.
Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют $ и т1, не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы. Пр имер. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» вЂ” гимнастика, фигурное катание и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
