1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Вдобавок непосредственно проверить выполнение критериев (45) и (48) не удается, поскольку функция р (н) неизвестна (и, вообще говоря, зависит от С и 1). Поэтому оптимальный выбор параметра рсгуляризации а является сложной проблемой. Обычно на практике проводят расчеты с несколькими значениями параметра, составляющими геометрическую прогрессию (например, а = 10-', 10 ', 10 ', 10-4, 10 в). Из полученных результатов выбирают наилучший либо визуальным контролем, либо по какому-нибудь правдоподобному критерию. Примером такого критерия является требование, чтобы невязка, полученная при подстановке найденного й„в исходное уравнение, была сравнима с погрешностью правой части: сл 1 1/2 г 6, г=(~~ (А [х, йо(9)] — ) (х))вс[х~ .
(49) с Очевидно, воспроизводить правую часть с точностью много выше 6 бессмысленно; поэтому, если в расчете получено г мб, то следует увеличить а. Наоборот, погрешность много больше 6 недопустима, так что если г.. 6, то надо уменьшить а. Визуальный контроль заключается в том, что выбирают наименьшее значение а, при котором еще не наблюдается заметной «разболтки» регуляризованного решения й„. В ы б о р и. При чрезмерно большом и регуляризованное решение сильно сглаживается.
Значение и = 0 обеспечивает лишь среднеквадратичную сходимость й (9) к и(Ч). Поэтому наиболее часто используют и = 1. Помимо варнационного способа регул яризации существует ряд других: метод подбора, метод квазиобращенля, методы с использованием преобразований Лапласа и Мсллнна и т. д. Они рассмотрены в [391 и цитированных там работах.
469 некоРРактныв зАдАчи $2] 3. Уравнение Эйлера. Учитывая явный вид (40) оператора А, перепишем задачу (42) следуюин»ы образом: л ь Ь г» 12 ОЬ,У, ~ р»(6)1и'"'($)121(6+~ах~~ К(х, а) и Я)ь(6 — Г(х)) =ппп. (50) »=О а с а Составим для этой вариационной задачи уравнение Эйлера. Для этого приравняем нулю вариацию левой части по и(6)1 л Ь и ~~ ') р1г(6) ион (6) би1»> Я) Щ+ »=О а О Ь ,ь + ) ь(х(') К (х, 2)) и (П) 112) — 7 (х)~ $ К (х, 6) би ($) ь($ = О. (51) с [а а Интегралы, стоящие под знаком суммы, вычислим последовательным интегрированием по частям: ~ р» ($) ион ($) биоп ($) ЬЦ = а »-1 ь=ь ( — 1)' би " - ' - "> ($) †„ьг '(р» ($) и'"' (6)1 + г = О 4 = а ь + ( — 1)» ) би (6) — „.— »- 1р» (Е) и'»1 (6)1 Щ.
(52) а Подставляя (52) в (51) и меняя порядок суммирования в двойной сумме по краевым вариациям, найдем л л »=Ь и,~'„би1"' (Ы,~ ( — 1)'-', Ь й и1" (ВН + г=1 »=г о=а и ь +сь ~~ ( — 1)» ~ би ($) — [р»($) и~»1 $))Л$+ »=О а О Ь ь +$ 1(х$ К(х, 11) и(й) ь(п $ К(х, Ц) би (6) ь(6= с а а = ~ 1' (х) ь(х ~ К (х, $) би (6) 1(6.
с а Полагая в этом выражении б-функцию в качестве вариации би($), получим искомое уравнение Эйлера; оно будет интегро-дифференциальным1 л ь 1 ( — 1)' —,( % но(6)1+~О(б, 2))и(Ч)ь(н=б»а, и Р Ь, ».= о а (53а) 470 СГЛ. ХСЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ядром и правой частью с,с(5, тс) =- ~ К (х, $) К (х, тс) с(х, Ф (~) = ~ К (х, $) ~ (х) с(х (53б) и краевыми условиями с(,[и(а)1=д,[и(Ь)1=.0, 1с--.г~п; сус[и1= ст' ( — 1)' — (р„иС'1).
А=с (53в) Заметим, что ядро Я(а, т1) определено на квадрате [а, 5; а, о1, симметрично и непрерывно, а правая' часть Ф ф непрерывна. Формулировка задачи (42) в виде уравнения Эйлера (53) позволяет доказать, не пользуясь аппаратом функционального анализа, что построенный алгоритм является регуляризирующим; при этом для простоты будем полагать ра(а) = — 1. Теорема 1. Задача (53) корректно поставлена при любом сс) О. Доказательство. Сначала рассмотрим простейший случай и=О. При этом исчезают все краевые условия (53в) и производные в уравнении (53а), и задача (53) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода: асс са) + ~ Я ($, П) и (тс) с(тс = Ф Я) (54) а с ядром и правой частью (53б). Пусть )ч, ис(ь) — собственные значения и собственные функции ядра С„с Я, тС).
Поскольку ядро имеет вид (53б), то они удовлетворяют уравнению в а ссс (а) =- » 3 и (с1) с(ч $ К (х, 5) К (х, ч) с(х. а с Умножая обе части уравнения на и;(ь) и интегрируя, получим Ь а (6 12 О - ~ и'; (5) Щ =- йс ~ с(х ~~ К (х, ~) и; Я) дт) . а с а Отсюда видно, что все собственные значения ядра с,с(Е, с1) положительны. Поэтому, согласно теории интегральных уравнений ФРедгольма (см. 3 1, п. 1), при любом сс .
О уравнение (54) имеет решение сс, (а), причем это решение единственно и непрерывно зависит от правой части Ф(5) и, тем самым, от )(х). Таким образом, при и=О задача (53) и эквивалентная ей задача (42) корректны. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ При п~ О задачу (53) также можно свести к интегральному уравнению. Построим функцию Грина 6 (е, т) для дифференциального оператора, стоящего в левой части (53а), прн краевых условиях (53в).
Рассматривая все интегральные члены в (53а) как правую часть дифференциального уравнения, выразим через нпх решение при помощи функции Грина: аи(а)+~ и(П) Й1~6$, т)1е(т, г1) дт=-~ 6(ь~, т)Ф(т)с(т. (55) Таким образом, и ($) удовлетворяет уравнению Фредгольма второго рода, причем его ядро имеет только положительные собственные значения. Следовательно, задача (53) корректна при любом и, если и ~О, что и требовалось доказать, 3 а м е ч а н и е 1. Интегро-дифференциальное, уравнение (53а) содержит производные решения вплоть до порядка 2п.
Поэтому иа (ч) имеет 2п непрерывных производных. Теорема 2. Пусть А[х', и1=г; тогда при п=1 и положительно,и а-э- 0 решение и, (Ц) задачи (53), соответствуюи1ее . правои части 1'(х), равномерно сходится и и ф. Доказательство. При и=-1 решения Н,Я) задачи (53) с любой правой частью являются дважды непрерывно дифференцируемыми. Применяя неравенство Коши — Буняковского, найдем е '$+ь ,,2 твь $-Рь ~и„'(т) ~ с(т1 1=-' ~ с(т ~ ~ и' (т) ~'дт =- $ 1 $ ь «б ~ [иа(т)1~ дт «б 01[иа1. (56) а Рассмотрим множество решений й„(ч), соответствующих одной и той же правой части ((х), но разным значениям параметра и) О.
Полагая 1=( в неравенстве (44), получим (57) -1 [пав «г1» 121=1м [4. Из неравенств (56) и (57) следует $+ь ( и„(ч+ 5) — й„Я) ( -.= ~ ( и„' (т) ( е(т «1' бйт, (58) что означает равностепенную непрерывность множества функций и,ф. Кроме того, согласно определению функционала о, при рь'й =1, (Ь вЂ” а) ппп (й, (й) Г й, [й„1 «Р,, (59) 472 интегРАльные уРАВнения 1гл.
х!ч Из (59), (57) и (42б) вытекает, что щах)й,(~) )а-щ)п(й (5)(+ ~~й„'Д) (г(5 ~)/'Ь вЂ” а + 13' 1)г, )> г — а! а (60) Ю Га 77 ГЯ Га Я 7а Яа т. е. функции й,(з) равномерно ограничены. Теперь предположим, что функции и,(с) не сходятся райномерно к йф при а- О, т. е. для некоторого а~О найдется такая последовательность аа->-0, что ~|и„($) — и Я) ~!с~а. "А Построим на отрезке а=:-~=с Ь последовательность сгущающихся вдвое сеток. Узлы этих сеток образуют счетное множество точек. Перенумсруем эти узлы, как указано на рис.
103. Тогда для отрезка этого множества, состоящего из первых Л> узлов, 5 4 длина интервала между соседними узлами не превышает э а 7 В б = 2 (Ь вЂ” а) /Л7, Из последовательности ограниченных в совокупности функций и,,(сь) можно выбрать подпослеРис. >Оз. довательность, сходящуюся в узле Из этой подпоследовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся в узле 5а, и т. д.
В итоге построим подпоследовательность й„,(5), сходящуюся в каждом узле $! к некоторому пределу й Щ. Выберем сколь угодно малое а) 0 и положих! Л> =18(Ь вЂ” а) х '>с>)ге '. Возьмем настолько мала>е иа(е), .чтобы при сс (с!а(е)' во всех узлах $! с номерами ! =-.: Л' выполнялось неравенство ! йа„(Ы вЂ” й ($!) ~.=-: е/3.
Интервал между соседними узлами настолько мал, что в силу (58) значения й„а(5!) в соседних узлах будут различаться меньп>е, чем на е73. Тогда значения йД!) в соседних узлах с номерами ! =Л> будут различаться меньше чел! на а.
Отсюда, во-первых, следует, что функцию й 1с) можно доопределить во всех точках отрезка а=--$==Ь так, что она будет непрерывной. Во-вторых, подпоследовательность й„$) равномерно сходится к доопределенной функции й(5). Функции й Я) являются решением задачи (42) с правой частью 7(х). Подставляя их в эту задачу и переходя к пределу при аа- О, мы убеждаемся, что' й(с) является решением этой задачи при к=О, т. е. решением задачи (41). Поскольку реше- 4«3 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ ние последней задачи единственно, то й(~) =й($), что противоречит сделанному в ходе доказательства предположению.
Это противоречие доказывает теорему. Теорема 3. Алгорсспслс (4 ) при п=1 обеспечиваесп сильную регуляризацссю. Доказательство. Пусть точной правой части 1(х) соответствуют точное решение и ($) и регулярнзован~ое решение й„(6), а приближенной правой части 1(х) соответствует регуляризованное решение й, (ь). Зададим сколь угодно малое а ) О. По теореме 2 найдется такое а,(е), что !!й„— й!!с=ес2 при а а»(е). Согласно теореме 1 задача (42) корректна, так что при любом заданном а) О найдется такое 6(а), что если !!1 — 1!!~6(а), то !! и„— сс„!!с ~«е/2.
Следовательно, если а ~«с,(е) и !!1 — 1!! «.--6 (а), то !! йа и !!с ~ !! йа йа !!с+ !! йа и !!с ~ е. Это соответствует определению сильной регуляризации (см. п. 1); теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 2. Поясним действие регуляризации простыми рассуждениями. Пусть правая часть Ф(«) получила возмущение Оес:; тогда решение получит возмущение уе'"'. Прибавляя эти возмуссссния в (53а) и оценивая каждое слагаемое по порядку величины, получим Рассмотрим поведение возмущений при больших частотах. Если а=О, то у сер, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
