1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Тем самым, теоретическое обосноварие постановок и методов решения одномерных задач непосредственно обобщается на случай многих измерений. Наоборот, в дифференциальных уравнениях переход от одной переменной к нескольким, т. е. от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных, является принципиальным усложнением, приводит к новым постановкам задач и требует новых методов для их обоснования. Далее мы ограничимся рассмотрениелл одномерного уравнения (1) и некоторых его частных случаев.
Л и н е й н ы е з а д а ч и. Лучше всего изучены уравнения, в которые неизвестная функция и(х) входит линейно (см. [231). Их можно записать в виде и (х) — 1. ~ К (х, $) и ($) г$ = )'(х), а = х =' Ь. (6) а Это уравнение называют уравнением Фредгольма второго рода: ядро К(х, $) этого уравнения определено на квадрате аа-.х~ Ь, аа= $-.а Ь.
Если ядро К (х, е) отлично от нуля только на треугольнике а=-$ ~х~Ь (т. е, К(х, $) =О при х($), то уравнение (б) 454 ИНТЕГРАЛЫ!ЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х!Ч переходит в уравнение Вольв!ерра второго рода: к и (х) — А ~ К (х, е) и (а) е$ = ) (х), а ~ х ( Ь. (7) а Это уравнение теоретически исследовать или численно решить много проще, чем уравнение Фредгольма. Если в уравнениях (6) и (7) отбросить член и(х), оставив только и (а) под знаком интеграла, то получим уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода.
Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленныьш и будут рассмотрены в ~ 2. Для уравнений второго рода задачи корректно поставлены; остановимся на этих задачах. Для однородного уравнения Фредгольма второго рода (6) ставится задача на собственные значения: в и(х) =А') К(х, ~) и $) д$, а=-х==Ь.
(8) а Требуется найти такие значения параметра А= — Ц, прп которых уравнение (8) имеет нетривиальные решения и = ср! (х); !в называют собственными значениями ядра К (х, $), а сг! (х) — собственными функциями. Если ядро вещественное и симметричное, К(х, е) =К(с, х) = = К*(х, $), то оно имеет по меньшей мере одно собственное значение, Все собственные значения такого ядра вещественны, а его собственные функции ортогональны друг другу. Заметим, однако, что система собственных функций !р!(х) может быть неполной и даже конечной. Неоднор,одное уравнение Фредгольма (6) при значении параметра 7., не равном ни одному из собственных значений ).! ядра, имеет решение и (х), притом единственное, Если ядро К(х, $) и правая часть г" (х) непрерывны вместе со своими р-ми производными, то решение также р раз непрерывно дифференцируемо.
В этом легко убедиться, продифференцировав (6) р раз: и! ! (х) = ре! (х) + ), ~ "К (" '-' и (~) д~. а При сделанных предположениях правая часть этого равенства непрерывно зависит от х, что доказывает наше утверждение. Для симметричного ядра решение неоднородного уравнения (6) представляется в виде разложения Шмидта: в и (х) = Р (х) + У вЂ” !р! (х) ~ ) (Е) гр; ф с$; (9) !)! а 455 зп КОРРЕКТНО ПОСТАВЛГНИЫЕ ЗАДАЧИ если ядро К(х, с) и правая часть 1" (х) интегрируемы с квадратом, то этот ряд сходится абсолютно и равномерно.
В данном случае из формулы (9) непосредственно видно, что при А ~Х; решение и(х) существует, единственно и непрерывно зависит от 7(х), что означает корректность задачи (6). Пусть параметр ), равен одному из собственных значений Х! ядра К(х, ",). Тогда неоднородное уравнение Фредгольма (6) при произвольной правой части 1(х), вообще говоря, не имеет решения, Однако при некоторых правых частях 7(х) оно может иметь решение, притом не единственное (соответствующие примеры будут рассмотрены в п. 4). Таким образом, при ),=)ч в классе непрерывных пли даже достаточно гладких правых частей )!(х) задача (6) является .некорректно поставленной.
Уравнение Вол ьтер р а не имеет собственных значений: если в уравнении (7) положить г(х)=0, то оно будет иметь только тривиальное решение и (х) = О. Поэтому неоднородное уравнение (7) всегда имеет решение, притом единственное. 2. Разиостяый метод. Это простейший численный метод, позволяющий получать решение одномерных задач с хорошей точностью, а двумерных — с удовлетворительной. Он рассчитан на применение ЭВМ, хотя оценки с небольшим числом узлов сетки можно производить вручную.
Рассмогрим одномерное нелинейное уравнение (1). Возьмем на [а, Ь] какую-нибудь квадратную формулу, например линейную формулу с узлами х„ и весами с„: (10) (нелинейные квадратурные формулы почти никогда не используются). Введем в квадрате [а.= х== Ь, а -.=$ =-. Ь] сетку х„$, где х„и $,„являются узлами формулы (10). Заменяя интеграл в уравнении (1) суммой (10), получим систему алгебраических уравнений для определения приближенных значений в узлах у„=и(х„): 5, 'с К(х„, х,„, у„) =у(х„, у„), 1«п=йг. (11) Эту систему целесообразно решать методом Ньютона.
На вопрос о сходимости у„к и(х„) при заданном типе квадратурной формулы и Л- оо в настолько об!цей постановке трудно ответить. Рассмотрим линейные задачи. Для них обоснование сходи- мости (при использовании линейных квадратурных формул). фактически содержится в теории Фредгольма.
Это обоснование громоздко и здесь не приводится (см„например, [23]). 1ГЛ. Х!Ч ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Однородное уравне ние Фредгольма (8) линейно, по~тому для него система (11) также линейна. Запйшем ее в следующем виде: Ф 1 '~ С К«тут= — у«1~п~М К«т=К(х«х ) (12) Х Система (12) представляет собой задачу на определение собственных значений матрицы К' порядка М с элементами К„' =- Кт от.
Эта матрица имеет М собственных значений А)">, 1( ~1== М, которые являются приближением к первым собственным значениям Х, ядра К(х, $). Разностное решение (12) вычисляют методами, описанными в главе У1. Матрица К' является, вообще говоря, плотно запотненной и неэрмитовой; поэтому фактически вычислить разностное решение удается только при небольших М: 50. Получить в этом случае .хорошую точность можно лишь для нескольких первых собственных значений, причем ядро и правая часть должны быть достаточно гладкими и не быстропеременны)АН. 3 а м е ч а н и е 1. Пусть ядро, правая часть и искомое решение достаточно гладки и квадратурная формула (10) имеет на них аппроксимацию О (й"). Поскольку алгоритм сходится, то он устойчив.
Задача (8) — линейная, поэтому из аппроксимации и устойчивости следует сходимость со скоростью 0(йл). Сходимость можно исследовать численно, проводя расчеты на последовательности сгущающихся сеток и устанавливая стремление у„и некоторой предельной функции при й-т0. Неоднородное ура вне н ие Фредгол ьм а (б) приводит к линейной неоднородной алгебраической системе у„— Х У, 'стК„„у =1„, 1-=Л==М, 1„=1(х«). (13) Разностное решение 'легко вычисляется методом исключения Гаусса; на ЭВМ типа БЭСт(-б скорость и оперативная память позволяют использовать в расчете до М вЂ” 150 узлов. Таким образом, в этой задаче нетрудно получить более высокую точность расчета, чем в задаче на собственные значения. Линейная система (13) имеет единственное решение, если ).
~ ~ 1.1Аэ, Но Л1АЧ =- )т, причем при большом М разница между ними невелика. Следовательно, описанный алгоритм хорошо обусловлен, если параметр Х не лежи~ в малой окрестности одного из соботвенных значений Х, ядра. Если ) — Ц, то система (13) становится плохо обусловленной. При некоторых числах узлов М возможен сбой алгоритма: если слу- КОРРЕКТНО ПОСТЛВЛЕННЫЕ ЗДЦАЧИ эп чайно значение Л,'."1 близко подходит к Л, то разностное решение у„на этой сетке может сильно отличаться от и (х). Обычно нам неизвестны собственные значения ядра..
Поэтому для обнаружения и исключения последнего случая все расчеты надо проводить па последовательности сгущающихся сеток. Если прп сгущении сетки д„сходится к некоторой предельной функции и,(х), то эта функция есть искомое решение (см. замечание 1). Если расчет на одной из сеток выпадает из общей закономерности, то имело место случайное совпадение Л Л)ач. Если на всех сетках у„не стремится к пределу при)т-ьО, то Л Ль Уравнейие Вол ьтерр а (7) получают из уравнения Фредгольма (б), полагая К(х, а) =0 при х(~. Алгебраическая система (13) становится при этом треугольной: и уи — Л,У', стКпл~ут =)л~ 1: Н=-У, (! 4) л~=! и решается обратным ходом метода Гаусса всего за з7а№ действий.
Поэтому здесь объем вычислений остается умеренным даже при У-1000, что позволяет проводить расчеты с очень высокой точностью. Выбор квадрат урной формулы. Большинство задач приходится решать, используя сравнительно небольшое число узлов Лг. Поэтому для получения хорошей точности целесообразно выбирать квадратурные формулы высокого порядка точности, разумеется, если К(к, 1) и )(х) имеют достаточное число непрерывных производных. Обычно наилучшие результаты для достаточно гладких решений дают квадратурные формулы Гаусса или Гаусса — Кристоффеля; при числе узлов )е их порядок точности р=2й. Можно также использовать простейшую формулу трапеций, последовательно сгущая сетки вдвое от У,=2 до Уз=2" и уточняя решение способом Рунге; это также дает результат с порядком точности р= 2)с *), но требует использования существенно большего числа узлов, чем в формулах Гаусса.
Нередко ядро К (х, $) или правая часть 7(х) недостаточно гладки и даже имеют разрывы. Наиболее типичен разрыв ядра или его производных при х=$ (на диагонали квадрата а==х ~Ь, ак'$ =-= Ь); встречаются особенности и на других линиях в плоскости (х, с). В этих случаях использовать формулы Гаусса нецелесообразно. Удобнее построить специальную сетку х„так, чтобы особые линии пересекали линии сетки х =--х„только в узлах *) Каждая лишняя сетка позволяет повысить порядок точности на 2, поскольку погрешность формулы трапеций разлагается по четным степеням шага л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
