1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 96
Текст из файла (страница 96)
444 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕИИЯ 1гл. хи1 нацию линейной и квадратичной вязкости си==-а,си!+си!сил с экспериментально подобранными коэффициентами. Поскольку б(ч т! = — р 1(др,'дг), то вязкое давление положительно при сжатии и отрицательно при разрежении вещества. Сильными разрывами являются только ударные волны, поэтому для сглаживания разрывов можно вводить вязкость только при сжатиях.
При (др!д!) (О присутствие псевдовязкости не обязательно и даже уменьшает точность расчета. Поэтому обычно по- лагают — ь1д!че+сл(с(1чп)' при д1ча(О, Ы~ =- (65) О л при Йч и ==- О. Этот вид псевдовязкости независимо предложен рядом авторов (см. (27!). 3. Схема «крест». Это наиболее простая н довольно точная однородная разностная схема счета газодинамики. Ее шаблон приведен иа рис.
96; значения радиусов приписываются узлам сетки, значения скорости — границам пространственных интервалов на полуцелых слоях, а значения плотности, давления и внутренней энергии — серединам интервалов на целых слоях. Построение схемы напоминает акустический лкресть. Для простоты записи выберем равномерные по массе и времени шаги л4 и т и аппроксимируем систему (53)— (56б) следующими разностными уравнениями: л л л l ил Рилли л ти л и„х х илм л ил — ил+ т (кл.1 кл)1лг Я=Р+ си~ гл Ел+тол~ (У+1) т Рл= -ля 1 -,+! ~л4-1 л ! - !1 1; л= Бл+ й (Ил+Ил) ~ 1.
(66а) гл (66б) (66в) и„х Рис. 98, (66г) Эти уравнения записаны в том порядке, который удобен для вычислений. Обсудим разностное выражение для вязкого давления (65). Чтобы выполнить предельный переход от разностной схемы к уравнениям газодинамики, надо сначала устремить т и и! к нулю при фиксированном коэффициеите вязкости, а затем построить серию таких предельных решений для неограниченно уменьшающихся значений ь. Но это очень трудоемко. Поэтому на практике объединяют этн предельные переходы в один об1ций, полагая йл=- = рлр(бг)' и ь,=р„рсбг, хотя законность такой процедуры пе ОДНОМЕРНЫЕ УРЛВНЕНИЯ ГЛЗОДННЛМИКИ 445 доказана (плотность введена в формулу для того, чтобы коэффициенты р» были безразмерны).
Таким образом, вязкое давление (65) принимает вид Шл = РЯР» (О„„— Ол)' — Р,спл (О,, — Пл) ПРИ Олы — О„< О, (67а) шл= О пРи Ели — О„) О. (67б) где с- Р'др!др — скорость звука. Выражение (67) написано для плоского случая; но обычно им пользуются при любой симметрии задачи. Аппроксимация. Из вида шаблона на рис. 98 и симметричного написания схемы (66) нетрудно заметить, что на течениях без сжатий, когда псевдовязкость (67) обращается в нуль, схема лкрест» имеет локальную аппроксимацию 0(т»+и»).
На течениях со сжатиями (в том числе — с ударными волнами) псевдовязкость отлична от нуля. Правда, квадратичный член в (67а) имеет величину 0 (й»); но линейный член имеет величину 0 (»1) и, тем самым, ухудшает порядок аппроксимации. Кроме того, вязкие члены записываются не вполне симметрично по времени. В итоге аппроксимация ухудшается до 0(т+Л). Нахождение разностного решения. Схема (66)— явная; вычисления по ней проводятся следующим образом.
Пусть все величины на исходном слое известны. Тогда из разностного УРавнениЯ импУльса (66а) находим Ол во всех интеРвалах; затем нз второго уравнения (666) определяем г„, а из уравнения (66в) — рл. Последним решается уравнение энергии (66г). Формально оно является неявным алгебраическим уравнением для определения ел (рл, р„) в данном интервале. Но при каждом значении индекса п уравнения (66г) решаются независимо, не образуя связанной системы уравнений, так что разностная схема, по существу, остается явной. Замечание 1.
Уравнение энергии в (66) можно сделать явным, используя в нем только значение д„с исходного слоя: ~1 1'1 Ел Е +К» (68) 'Рл Рл/ Это несколько упрощает расчет, не влияет на устойчивость, но заметно ухудшает точность, так как погрешность аппроксимации становится 0(т+и») даже на гладких течениях. Такой вариант используется редко. Устойчивость схемы можно исследовать методом разделения переменных„линеаризируя схему н замораживая коэффициенты. Громоздкие выкладки приводят к условию устойчивости типа Куранта. Например, на гладких течениях с нулевой вязко- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ~ГЛ.
ХП! стью схема устойчива при Рис. 99 Для идеального газа Б=рУ'7(у — 1) и условие (69) принимает вид ст~ Ьг, где с=3 ур!р есть адиабатическая скорость звука. На течениях с ненулевой вязкостью ограничение на шаг несколько более сильное; при квадратичной вязкости условие устойчивости принимает вид -' — «р~/ д— '/~р+сд+ — "')юг(+В+)гз) ', др ди (70) В =4 (Рорйо)»(д — )/(р+»а+ —.,) (2)сойо/с)», где Ао — скачок скорости на ударной волне. Хотя это исследование не является строгим, тем не менее данное условие устой- чивости хорошо подтверждаетргл; »/ ся на практике. Таким образом, «крест» — условно устойчивая схема.
Отметим любопытное обстоятельство. Для расчета гладких течений вязкость не нужна. А если рассчитать без вязкости ударную волну (выбирая небольшое т!Аг, удовлетворяющее условию (70)), то получим «разболтку», изображенную на рис. 99. Этот расчет устойчив, поскольку амплитуда колебаний не возрастает со временем. Но сходимости к физически правильному решению при т-» О, Ь-»0 нет, так как на разрыве потеряна аппроксимация. Сходи мост ь газодинамической схемы «крест» не доказана. Однако эта схема успешно используется в расчетах примерно с 1950 г.
и проверена на многих трудных задачах с известными точными решениями. При стремлении шагов к нулю наблюдалась сходимость к правильному решению, если шаги удовлетворяли условию устойчивости. 3 а меч ание 2. Схема (66) неконсервативиа; однако ее дисбаланс стремится к нулю при т=сопз1 Л-»0. Замечание 3.
Газодинамические задачи с очень тонкими слоями особенно трудны для расчета. В самом деле, если г„.,= и„, то для вычисления Р„с удовлетворительной точностью по формуле (66в) надо знать радиусы с очень высокой точностью, сравнимой с ошибками округления на ЭВМ. В подобных задачах иногда приходится вести расчет с двойным числом знаков или специально видоизменять разностную схему. одномгрныв уравнения газодинамики 447 4 21 о„=о„+ — г, (д т — я„), д=р+гп; гл гл+ тол1 р„= (у+ 1) лт/(г„'ч+~ — г„' ); гол = РеРл (脄— пл)е пРи о„ы ( и„, иначе гн„= 0; 1 1 "+ 4 ( "тг+ ") " 4 ( "тт+ г г"т" "т + я и глпл(дл-т+дл) — глетплег(йл+йаы)] (71а) (71б) (71в) (71г) (71д) Это — консервативная схема. Первые два уравнения взяты чисто неявными для хорошего подавления «разболтки» счета. Уравнение энергии симметрично по времени; чисто неявным его брать невыгодно, по- гл,олаллл скольку при этом точность расчета зал пл» метно ухудшается.
Вычисление разностного реш е н и я здесь 'существенно сложней, чем гз,л,а„д, для явной схемы (66). Аналогично задачам акустики (з 1, п. 3, замечание 1) можно показать, что применять метод Рис. 100 последовательных приближений для решения всей цепочки уравнений (7!а) — (71д) невыгодно: итерации сходятся при выполнении условия ст(Лг, что лишает неявную схему всех ее преимуществ. Поэтому систему (71) линеаризируют и, как в задачах акустики, преобразуют к форме, решаемой прогонкой. Рассмотрим ход решения в случае разных режимов газодинамических течений, для простоты ограничиваясь плоским случаем (и=0). Изотермический случай. Если температура вещества постоянна *), то давление р=р(Т, р) зависит только от плотности. Прн этом уравнение энергии (56) становится излишним, ") Это приближение справедливо в случае очень высоких температур, когда тепловые потоки настолько велики, что практически мгновенно выравнивают температуру во всех точках пространства.
4. Неявная консервативная схема. Есть ряд задач, в которых локальная скорость звука в некоторых участках много больше скорости наиболее важных физических процессов. В таких задачах условие Куранта слишком сильно ограничивает шаг и выгоднее использовать абсолютно устойчивые схемы. Составим неявную схему. Припишем все сеточные величины целым слоям по времени и выберем шаблон, изображенный на рис. 100.
Аппроксимируем консервативную систему (53) — (56а) следующими разностными уравнениями; 448 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл. хн! решаемую прогонкой. Пренебрегая пока вязкостью (т. е. полагая у=р), организуем вычисления следующим образом. Выберем в качестве нулевого приближения О„"' = Ол, р„'" = рл, дп"' = рл. (75) Затем определим из уравнений (74) значения бо, а по ним при помощи уравнений (71в), (71б) найдем "(и+!) тл рп — "(! ..!) (и+!)' тп+! л о('+" = о„"+ бо„ "(и+П "(и+П )'л — — ('и+ тОл (76) Это позволяет вычислить ди~ ) =р (р('+ )) и выполнить следующую итерацию. Сходимость итерационного процесса (74), (76) исследована в [34]. Этот процесс является ньютоновским; поэтому он сходится, если начальное приближение [75) недалеко отстоит от корня, т. е. если шаг т не слишком велик.
Это приводит к некоторому ограничению на т; однако, как показано в [34], такое ограничение несравненно слабее, чем условие Куранта. Имеются примеры успешных численных расчетов задач с тонкими слоями, в которых шаг т в !О' раз превышал значение, допускаемое локальным критерием Куранта (69). поскольку система (53) — (55) при заданной зависимости р(р) полностью определяет решение.
Соответственно в численном расчете следует ограничиться уравнениями (71а) — (71г). Положим оп=о(')+бе„. Подставляя это выражение в уравнение (71а) и линеаризнруя это уравнение относительно приращений всех величин на новом слое, получим Из уравнений (71в) и (71б) найдем вариации брл = — т (бтл, — бтл)((тл,, — тп)', бт„= т бол. (73) Подставляя их в (72), получим для определения бо линейную систему с трехдиагональной матрицей: хл — )бол-т (1+ил-!+)(п) боп+хлбоп ! = "Ш т Г" (!) "Шт (74) ! т )(ай (') кллл „(, „(,) ) ~- —.) )О, , т„'+) ! — т(') др,'п одноме)ч)ые велвнения глзодинлмики 449 Включение вязкости (71г) можно провести двумя способами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
