1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Лагранжева форма записи. Одномерные уравнения газодинамики являются хорошим приближением для описания ряда интересных задач: плоского течения сжимаемого газа в трубе, взрыва сферического или длинного цилиндрического заряда в газе, кумулятивных эффектов в мишенях при управляемом термоядерном синтезе (в последней задаче существенна также теплопроводность и другие эффекты) и т. д. Мы рассмотрим простые, но эффективные разностные схемы решения уравнений газодинамики без теплопроводности *). Уравнения газодинамики могут записываться в различных формах — эйлеровой н лагранжевой. В эйлеровой форме производные по времени выражают изменение величин в данной точке пространства, а в лагранжевой — изменение характеристик данной материальной точки.
Эти производные связаны соотношением (ф = Я) + (и ). Если нас интересуют параметры потока в заданной пространственной области (течение газа в трубе), то естественно выбрать эйлеровы координаты. Если нам нужно исследовать поведение некоторой массы вещества, то целесообразно применение лагранжевых координат. Особенно выгодны лагранжевы координаты для задач в слоистых средах, потому что они позволяют легко следить за границами раздела различных сред. Большинство одномерных задач относится ко второму типу (в многомерном случае это не так).
Поэтому здесь мы рассмотрим только уравнения газодинамики в лагранжевых координатах. *) Уравнения газодинамики н исследование простейших газодинамических течений приведены, например, в (11, 19), а более подробное изложение методов решения — в (27, 28, 34). 44О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл. хпг Сначала запишем их в такой форме, когда производная по вре- мени лагранжева, а пространственные координаты — обычные: + рб)утт=О, ор (47) дэ р — + дгаг) Р = О, дт Р т + Р г(1ч тг = 0; (49) (48) здесь р — плотность, тг — скорость, р — давление и е(р, р) — внутренняя энергия единицы массы, зависимость которой от давления и плотности считается известной. Уравнение (48) выражает закон сохранения импульса и во всех численных расчетах используется именно в такой форме.
Уравнение изменения энергии (49) обычно удобнее преобразовать. Если подставить в него Йуе, определенную из уравнения (47), то получим особенно простую форму записи: — 'уе+)т-'-('-) =О дт вг , р г (50а) Если умножить уравнение (48) на о и прибавить к уравнению (49), то получим другую форму — закон сохранения полной энергии: р лг( + о'о )+п)ч(Ро) =0 (50б) В том, что указанные уравнения являются законами сохранения, нетрудно убедиться. Например, проинтегрируем (боб) по объему д)г, занятому некоторой массой вещества, второй интеграл преобразуем к поверхностному, а в первом интеграле заменим р о)г на г)т, после чего производную по времени можно вынести за знак интеграла.
Тогда получим — ~ (е+-- оэ) г)т+ с~ рв гВ=О. Здесь первый интеграл есть полная (внутрещгяя и кинетическая) энергия данной массы газа; второй равен работе в единицу времени сил давления на поверхности, ограничивающей данную массу газа. Действительно, это закон сохранения энергии. Одномерные задачи бывают трех типов: с плоской, цилиндрической или сферической симметрией. Введем показатель симметрии у, равный для этих случаев соответственно О, 1 или 2. Масса слоя толщиной г(» в этих случаях равна (рис.
97) г(пт = рг' г(г (51) Уравнение неразрывности (47) выражает закон сохранения массы. Его тоже обычно преобразуют, но уже после приведения урав- нений к одномерной записи. 441 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ с точностью до численного множителя, равного 1, 2п или 4п. При помощи соотноп1ения (51) введем массовую координату данной материальной точки: с т(г) =~ р(9)$'с(9. (52) О (53) Уравнение неразрывности (47), выражаРис.
97. ющее закон сохранения массы, заменим имеющим тот же смысл соотношением (51), записывая следующим образом: д „„а У+1 дт р (54) В уравнениях импульса (48) и энергии (50б) перейдем к производной по массовой координате, то есть в одномерных выражениях д игад = —, дг Йу=г-' — (г' ...) дг заменим дг на дт при помощи соотношения (51), и получим дй „дР др + г~с-1 =О (55) — 1е+ — О') + — (г'Ор) = О. дГ~ 2 ) дт (56а) Уравнение энергии можно взять также в форме (50а): (56б) Система (53) — (56) является лагранжевой формой записи уравне- ний одномерной газодинамики.
В большинстве численных расче- тов используется эта именно форма. По закону сохранения вещества массовая координата материальной точки не меняется со временем; поэтому такая координата позволяет легко следить за каждой частицей вещества и, в частности, за границей раздела слоев. Преобразуем уравнения газодинамики в одномерном случае к лагранжевой форме. В качестве первого уравнения возьмем определенье скорости: дс — = О.
дг 'Рл 442 гнпвгволнчвскив тгхвнвния 1гл. хги 2. Псевдовязкость. Уравнения (53) — (56) составляют гиперболическую квазилинейную систему. Из курса газодинамики известно, что среди ее решений есть сильные разрывы — ударные волны. В главе 1Х мы видели, что для разностного расчета таких решений надо изменять уравнения, вводя в них специально подобранные днссипативные члены. В газодинамнке такие члены удается найти из физических соображений. Дело в том, что уравнение газодинамики сравнительно грубо описывают поведение газа. Эти уравнения выводятся из кинетического уравнения Больцмана для функции рас« пределения молекул. Если при выводе учесть эффекты диффузии молекул, то в уравнениях газодинамики появятся так называемые вязкие члены.
Например, уравнение импульса (48) примет вид (см. 1191) р -;- = — дгас1 р+т) Лп+~йгас) с)1ч п, ~) -8 т) О, (57) дэ 1 где т1 и Ь являются коэффициентами физической вязкости. Учет физической вязкости приводит к изменению качественного характера решения: плоские ударные волны превращаются в аналитические решения, в которых скачки сглажены и имеют эффективную ширину порядка длины свободного пробега молекул. Качественно это легко понять на примере плоского течения, где уравнение (57) принимает форму 1 д7 (1+ -)дхт дх ' да Уо др (58) напоминающую уравнение теплопроводности; видно, что вязкий член должен сглаживать разрывы решения.
Обычно в численных расчетах довольствуются только вторым вязким членом в уравнении (57) и считают коэффициент с" ,слабо меняющимся. Тогда этот член можно объединить с давлением: — ягас( р+ ь ягас) 61ч и -- — ягас1 (р — ь с)1ч е), (59) и рассматривать величину спс = — ь с(1ч и (60) 81 (т-' 1) и 8 (6!) как вязкое давление. При этом в уравнение энергии вместо обычного давления также ставят величину р+сп„называя ее полным давлением. Вязкость са, называется линейной. Она приводит к «размазыванию» ударной волны со скачком скорости бо на интервал ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ 443 где у — показатель политропы вещества.
Физический коэффициент вязкости очень мал и дает ничтожно малое сглаживание. Для расчетов по разностным схемам необходимо сглаживание на несколько интервалов сетки. Поэтому в численных расчетах величину Ь приходится увеличивать на много порядков по сравнению с ее физическим значением. Для численных расчетов необходимо введение вязкости лишь в окрестности ударных волн, Но вязкий член в (69) присутствует во всех точках пространства. Поскольку в численных расчетах коэффициент ь выбирается много больше физического коэффициента, то наличие псевдовязкостн, помимо положительного эффекта — сглаживания разрывов, — приводит к отрицательному— внесению заметной погрешности.
Чтобы уменьшить эту погрешность, Нейман и Рихтмайер [72) предложили выбирать коэффициент псевдовязкости большим в окрестности скачков скорости бо н малым в зонах гладких течений, где скорости соседних точек близки. Для этого они положили ь=с,(т((ч (62) где ьв — коэффициент, небольшой по величине. Такая псевдовязкость называется квадратичной, потому что она приводит к вязкому давлению: таз = — Ьа (5!йп Й!ч е1) (Й!ч т1)а. Переписывая (62) в виде ь ьо(бо/бг) и подставляя в (61), нетрудно убедиться, что квадратичная псевдовязкость сглаживает скачок бо любой интенсивности на один и тот же интервал: бг 1у —. аьо У (у+1)р (64) Обычно коэффициент псевдовязкости ье выбирают так, чтобы бг равнялось 2 — 3 шагам разпостной сетки.
Линейная вязкость приводит к монотонным (нли почти монотонным) разностным решениям, так как ей соответствуют аналитические точные решения, которые хорошо аппроксимнруются разностными схемами; зато фронты скачков при этом сильно сглажены. Квадратичная вязкость приводит к более крутым фронтам; но ей соответствуют точные решения с разрывами первой или второй производной, поэтому разностное решение немонотонно вблизи слабых и сильных разрывов. Нередко используют комби- В главе Х, 5 2 было проведено строгое исследование квадратичной псевдо- вязкости иа примере простейшего квазилинейного уравнения (10.44); при этом для зоны сглаживания сильного разрыва было получено выражение (10.51)— (10,о2), сходное с (64).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
