1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Покажем, что задача (33) неустойчива по правой части и, тем самым, некорректна. Для этого рассмотрим высокочастотное возмущение с конечной амплитудой би Д) = ехр (1гое), оэ ,=~ 1. Еьгу соответствует возмущение правой части ь ь 61 (х) =~К(х, 4) би(е) с$= ~К(х, Е) ег"ЕЕ$. а а Интегрируя по частям, получим ь 67(х) = —,. ег"З К(х, с)1 — —. ~ ' ег"е.гЦ=О( — ). (35) а Это означает, что для достаточно больших частот величина з 6(~1 = — 0 (1!го) оказывается сколь угодно малой.
Следовательно, су- ществуют такие сколь угодно малые возмущения правой части 61 (х), которым соответствуют большие возмущения решения би Я), т. е. задача (33) неустойчива. Для уравнения Вольтерра (34) справедливы те же рассужде- ния. Напомним, что в главе П1 мы уже сталкивались с некор- ректностью задачи численного дифференцирования функции 1(х); эта задача сводится к решению уравнения к ~ и (с) г( $ = у (х), (36) а т. е. является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода, с ядром К(х, с) = 1 (при 3 ~х), Кроме того, задачи (33), (34) имеют решение не при любых непрерывных правых частях 1" (х).
Так, задача (36) имеет реше- ние только для днфференцируемых 1(х). Другим примером слу- жит уравнение (33) с вырожденным ядром; подставляя в это урав- нение выражение для ядра (25), получим гг ь ~~ ~„А„(х) =((х), ()„=- $В„(6) и Я) Я. ( 37) а =. г а Это равенство выполнимо для таких 1(х), которые представимы в виде линейной комбинации функций А„(х); для других правых частей задача (ЗЗ) не имеет решения. В обоих этих примерах, даже если при некоторой 1(х) =1(х) существует решение, имеются такие малые изменения правой части бу(х), при которых решение ие существует.
*) При с(а эта трапеция превращается в два треугольника. интегглльные угла!!Ения ггл. хгч Очевидно, непосредственно решзть некорректные задачи при неточно заданной правой части бессмысленно. Если Г (х) задана с погрешностью бг'(х), то соответствующее решение ив(8) или не существует, или отличается от искомого решения й($) на величину би Я), которая может быть большой. Даже если г(х) задана точно, но отыскание решения выполняется численными методами, то неизбежно вносятся погрешности метода и округления. Это снова приводит к большой погрешности решения би Я). Регул я риз ир ующий алгоритм. Пусть требуется найти решение и Я) некорректно поставленной задачи: Аг"х, и($)!=)'(х), и($) яУ, ((х) е—: .г".
(38) Здесь А — некоторый оператор, не обязательно интегральный, а У н г — нормированные пространства. Предполагается, что для произвольной ((х) епР решение задачи (38) может не существовать; однако имеются некоторые ( (х) еп р, для которых существуют решения й($) ~ У. Ранее, изучая разрывные решения квазилинейных уравнений, мы вводили в исследуемое уравнение дополнительные члены, изменяющие свойства решений в нужную нам сторону.
Попробуем и здесь изменить уравнение (38), введя в него дополнительные члены с малым положительным параметром регуляризации сг. Символически запишем измененную задачу: А,(х, и, (с)) =)'(х), а ее решение обозначим через и„($).
Определение. Оггератор А, низе!лают регуляризируюгцим, если а) задача (39) является корректно поставленной в классе правых чаев!ей г" при любом (не слиигком болыиом) сг) 0 и б) существуют такие функции сг(6) и 6(е), чпю если ~~~ — '( ~)е=-.б(е), то г! имам — и 1!и = е. Замечание. Функции а(6) и 6(е) зависят также от Г(х). Таким образом, если найден регуляризирующий оператор А„ то задача (39) имеет решение при любых ((х) енР, в том числе отличающихся от г (х) на любого вида погрешность 6) (х); эта задача устойчива, так что ее можно решать обычными численнымн методами.
При правильно подобранном параметре а ее решение и,($) достаточно мало отличается от нужного нам решения и($) исходной задачи (38). Для одной и той же задачи можно построить много различных регуляризирующих алгоритмов. Кроме того, при заданном пространстве г разные алгоритмы могут давать решения и,(с), принадлежащим различным пространствам У. Различают регуля- 465 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 521 рпзацию слабую (У есть гильбертово пространство), сильную (чебышевское пространство) н р-го порядка гладкости (пространство С( > *)). Можно формально прсвратпть задачу (38) в корректно поставленную, если ограничиться рассмогрепнем правых частей г' (х), пркнадлежашнх некоторочу более узкому классу Гз.
Например, для задачи чнсленного днфференцнрованнн (Зб) в качестве Га возьмем пРостРанство С'гп Малость ()б)( означает, что с з шах ~бр (к) ~ невелик; поэтому такой варнацнн правой части соответствует малая вариация( би (ь) ~)с Однако такой подход не конструктивен. Зачастую Г(х) содержит заметную погрешность, например, она мозкет быть экспериментально определяемой ведичнной, Поэтому постановки большинства прикладных задач таковы, что в качестве г приходятся выбирать чебышевское нлн даже гильбертово пространство, причем решение и(З) необходима получнгь в чебышевском пространстве.
2. Варнационный метод регуляризации. Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода (ЗЗ), Будем считать, что его ядро непрерывно и таково, что в случае ) (х) =0 уравнение имеет только тривиальное решение и(ц) =О. Тогда при любой правой части 1(х) енР решение либо единственное, либо не существует; тем самым, интегральный оператор б А (х, и 5)1 = ~ К (х, с) и (й) Щ (40) а отображает (г' в г" взаимно однозначно. Исходную задачу (33) можно записать в вариационной форме: ~ (А(х, и (сь)) — ~(х))з с(х= ппп, (41) где оператор А определен формулой (40). Рассмотрим измененную задачу: М [а, )" (х), и ($)1= ~ (А (х,,и (ьс)] — )'(х))з с(х+ оська(и (Я = ппп, (42а) с где так называемый тштоноаский стабилизатор п-го порядка ьз„ равен б а (42б) а весовые функции рб ($) непрерывны и неотрицательны, причем *) Это пространство функций и ($), а ец $ ~ Ь, непрерывных н ограниченных вместе со своими р-мв пронзводнымн, прячем 1н() > —— шах () ой ~ и' ~, „, с(ю = „, ) и'Р'( 1.
466 [ГЛ. Х!Н ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ р„(с) )О (если нет специальных оснований для их выбора, то обычно полагают рс(с) = 1). Введем в множестве функций 0 норму !1 и 1~и =- 11„[и]; нолучен~ое пространство называют пространством Соболева К Множество правых частей г будем считать гильбертовым пространством. Докажем методамн функционального анализа, что алгоритм (42) является регуляризирующим (другое доказательство см.
в п. 3). Теорема 1. Задача (42) имеет решение и„ф) при любых [(х) евг" и а> О. До к азат ел ь ство. При а~ Офункционал М [а, г, и) ограничен снизу. Тем самым, при данных а н [(х) он имеет точную нижнюю грань. Выберем некоторую минимизирующую последовагельиость ис (ь), с = О, 1, 2, ..., так, что 1цп Мс = Л, М; = М [а, [, ис), М = [п( М [а, (, сс]. сс и Упорядочим эту последовательность так, чтобы Мс не возрастали.
Тогда Йс [ссс) == М, .==- -„- М, = сопз1. ! [ (43) Таким образом, последовательность ис (с) принадлежит множеству и($), для которых ь)с [и) = сопз1. Такое множество является компактом в (с'. Поэтому из последовательности и;(ь) можно выделить подпоследовательность и, [со (1), сходящуюся по норме к некоторой и, ($) ев(с. В силу непрерывности функционал М [а, 1, и) на этой функции и„(с) достигает своей точной нижней грани. Тем самым, и„(сы) ~(с' есть решение задачи (42), что доказывает теорему.
Теорема 2. Алгоритм (42) является регуляризируюи[ссм для задачи (41). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем следующие обозначения: и ($) — решение исходной задачи (41) с правой частью Г (х); й„($)— решение измененной задачи (42) с приближенной правой частью [(х); введем также функцию [„(х) =А [х, и„ф)]. Поскольку функционал М [а, г', и) достигает минимума на й„, то М [а, 1, й,) - М [а, (, и). Отсюда, используя определение функционала (42а), получим аос[й„]= М [а, ~, йс)к-М [а, [, и)= л = ~ (А [х, и) — ((х))с с(х+аь1„[и] = ~ (1(х) — 1(х)[сс с(х+ с с + а[с„[и] = 11 г — 1 Я, + асс„[и]. (44) 467 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ Пусть приближенные правые части удовлетворяют условию 11 ) — 17 11е, -= С ) и, С = сопз(.
(45) Тогда из (44) следует Й„[й,] .= С'+ О„= сопз(, Й„= — Й„[й]. (46) Значит, решения й„принадлежат компактному множеству У, функций из У. Заметим, что й также принадлежит У,. Множество г„функций [„(х) есть образ множества У, при отображении А. Интегральный оператор А непрерывен и таков (по предположению), что обратное отображение единственно.
Поэтому обратное отображение гв в компактное множество У„ при помощи нерегуляризованного оператора А непрерывно Р в 11 11о. Следовательно, по заданному е)0 всегда найдется такое р(е), что если 117„— ) 11:: [) (е), то 11й„— и 11 ='е. Заметим, что 11 [ — )г 112 =. 1 ([„у)2 дх.= 1 (А [х й„] ))е с(х «.„ с с «Я[а, [, йс] .-а(С'+Й„). Отсюда с учетом (45) следует 11 [ — [ 11 — 11 [„— [11 + 11[ — [11 ~ ]си~ ~,С+ 1 Сз+ Й„, (47) Выберем сс так, чтобы выполнялось «,(с,,и=1~ сс',с,.1'с*«я.)1 (48) Тогда правая часть неравенства (47) будет меньше 1) (е), откуда следует 11 й, — и 11 =- е. Таким образом, по заданному е нашлись такое а,(е) и такое 6 (я) = С 1 'а, что если сс ==: и„(е) и 11 [ — [ 11 «Ь (и), то 11 й, — и 11 ..- е, что и требовалось доказать. Сл едет в не.
Задача (42) корректно поставлена. В самом деле, подставим в теорему 2 всюду вместо А регуляризирующий алгоритм (42). Тогда малость 11 й„— и 11 означает, что регуляризованное решение й„непрерывно зависит от [. Замечание 1. Теоремы 1 и 2 справедливы не только для линейных интегральных операторов (40), но вообще для непрерывного оператора А, при котором решение задачи А [и] =[ единственно (если существует).
Соответственно от стабилизатора (2 достаточно требовать, чтобы множество функций и, для которых ь) [и] = соне(, было компактно в У. Замечание 2. Сходимость в пространстве ))7~' означает, что и-я производная сходится срсднеквадратично, а сама функция И1ПЕГРЛЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х1У и ее производные вплоть до (и — 1)-й — равномерно.
Таким образом, использование стабилизатора (42б) обеспечивает слабую рсгуляризацню при и=О, сильную при и=-1 и (и — 1)-го порядка гладкости при и) 1. Выбор а. В ряде прикладных задач известно, что правая часть имеет характерную погрешность [[1 — 1[[ — 6. Если при этом выбрать а настолько малым, что нарушится критерий (45), то устойчивость расчета станет недостаточной, так что регуляризованное решение й, будет заметно «разболтанным». Если а настолько велико, что не соблюден критерий (48), то регуляризованное решение й, чрезмерно сглажено, что также нежелательно; например, если точное решение 17, имеет узкие максимумы (тнпа резонансных пиков в физических задачах), то у й„они лсогут отсутствовать или иметь существенно меньшую высоту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
