1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 102
Текст из файла (страница 102)
е. возмущения решения велики, и расчет неустойчив. Регуляризации нет. Если а-„'=О, но и=О, то у р,са, т. е. возмус)сенин решения по порядку величины равны возмущениям правой части, и расчет становится устойчивьсм. «1ем больше сс', тем меньше возмущения решения и «разболтка» в численном расчете. Но сдвиги фаз отдельных гармоник приводят к тому, что сходимость будет только среднеквадратичной (слабая регуляризация). Если п=1, то у рсаьс» и возмущения решения для высоких частот малы. Значит, расчет хорошо устойчив и и„($) равномерно сходится к и (с) (сильная регуляризацпя).
При и ) 1 амплитуды у„, настолько быстро убывают при св-с-ж, что обеспечивается равномерная сходимость не только регуляризованного решения, но и его (и†1)-й производной. 4. Некоторые приложения. 1-!екорректные задачи встречаются в практике вычислений довольно часто. К ним относятся, напри- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !Гл. Х!У мер, сглаживание и дифференцирование экспериментально измеренных функций, суммирование рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами, решение плохо обусловленных линейных систем, задачи оптимального управления, аналитическое продолжение функций, линейное программирование (оптимальное планирование), обратные задачи теплопроводности и геологической разведки, восстановление переданного сигнала по принятому при наличии искажений аппаратуры и многие другие, Некоторые из этих задач встречались в предыдуших главах.
Покажем, как они регуляризируются вариационным методом. Для определенности ограничилгся сильной регуляризацисй, полагая и =-1 в формулах (42) или (53). С г л а ж и в а н и е ф у и к ц и и. Пусть функция 1(х), а «х =. Ь, измерена экспериментально и содержит заметную случайную погрешность. Тогда математическая задача имеет вид и (х) =1(х); ее можно записать в каноническом виде А [х, и($)1=-)(х), полагая А [х, и(с)) ==-и(х). Подставляя последнее выражение в измененную задачу (42), составим уравнение Эйлера (53): и ~ — „(рт- -) — ри (х) 1 — и (х) + 1(х) =- О, и' (а) = и' (Ь) .= О. (61) Таким образом, сглаженная функция и(х) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого поставлена вторая краевая задача.
Методы численного решения этой задачи подробно разобраны в главе И11. Замеча нне 1. Весовые функции р,(х) и р,(х) выбирают, исходя из дополнительных сведений о виде функции 1(х) и величине погрешности б) (х). Например, р„(х) целесообразно брать болыпими в тех диапазонах значений х, где погрешность 51(х) особенно велика. Если подобных сведений цет, то обычно полагают р, (х) = р, (х) = 1. 3 а м е ч а н и е 2. На концах отрезка [а, Ь) погрешность сглаживания может быть значительна, поскольку краевые условия второго рода в (61) не соответствуют, вообще говоря, истинному поведению функции. 3 а м е ч а н и е 3.
Можно уменьшить погрешность сглаживания вблизи концов отрезка [а, Ь), если воспользоваться регуляризацией более высокого порядка (см. задачу !О). Однако, как отмечалось в п. 2, при этом могут исказиться качественные особенности решения (типа, наприьиер, узких экстремумов). Д нфферен ц ир ова н ие. Задачу дифференцирования и (х) = =-('(х), а .-.х === Ь, можно записать в виде уравнения Вольтерра первого рода (36): ~ и (6) г(с = 1(х) — ) (а), НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 475 (64) с.= с коэффициенты которого р, заданы приближенно.
Эту задачу можно рассматривать как сглаживание неточно заданной функции Г" (х). Воспользуемся для ее решения уравнением (61), где в качестве Рь(х) и Р,(х) выбРаны веса, входЯщие или, формально, в виде уравнения Фредгольма первого рода с разрывным ядром: ь ~К(х, ')иф)с($=)(х) — )(а), а==х~Ь; (62а) а К (х, $) =- 1 при а -= з =:= х ( Ь, (626) К (х, Д) =- О и р и с ) х, Поскольку требование непрерывности ядра не является сущест- венным, применим к этой задаче алгоритм (53).
Легко получим ь Я(ь„с)) = К(х, $) К(х, т1) с(х=Ь вЂ” псах (ь, с)), и ь ь Ф Д) = ~ (Г (х) — ) (а)) К (х, $) с(х = ~ (р (х) — Г" (а)) с(х. и Отсюда вытекает, что регуляризованное решение удовлетворяет следующему исстегро-дифференциальнолсу уравнению и краевым условиям: Г сС Г ЮсС вЂ” и —; ~ р, 6) —. — р, Ф %~+ ий с ий с ь ь + ~ (Ь вЂ” с) и (й) с(О+ ~ (Ь вЂ” т)) сс (с)) с(с1 = $ 1Р (х) — Г (а)|с(х, (63) а с с и' (а) =- О, и' (Ь) =- О. К этой задаче также относятся сделанные выше замечания о выборе весовых функций, о значительной погрешности на концах отрезка 1а, Ь1 и возможностях ее уменьшения. Сулим и р ова иие р яда Ф ур ье. Пусть задана полная орто- нормированная система функций ср,(х), которую можно рассмат- ривать как систему собственных функций некоторой задачи Штурма — Лиувилля: -„- — ~рл(х)-„+Гр„(х)+Цср(х) =О, ср'(а) =О, ср'(Ь) =О.
Требуется просуммировать ряд Фурье р (х) = „'л р,ср, (х), (65) 476 ГЛ. ХШ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в задачу Штурма — Лиувилля (64). Будем искать регуляризованное решение также в виде ряда Фурье: СО и (х) = ~ у,ср, (х). (66) Подставляя (66) и (65) в (61) н учитывая (64), получим 1+аЛо ' 55 (6 ) 7 где ), 0 — собственные значения задачи Штурма — Лиувилля (64), Этот способ регуляризации приводился без доказательства в гл. П, $ 2, и. 3. Плохо обусловленные линейные системы Аи=г", где и и 7" — конечномерные векторы, можно регуляризировать, записывая их непосредственно в вариационной форме (42) и выбирая п=-0: '5Аи — ~~)о+айи~~о=ш(п, 'йа~~'=(а, а). (68) Формально Н=О соответствует слабой регуляризации.
Но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому сходимость регулярнзованного решения к точному при а-о.О является равномерной. Уравнение (68) означает, что среди решений, приближенно удовлетворяющих исходной задаче, ищут вектор наименьшей длины. Часто рассматривают более общую постановку: !) Аи — 7()о+ а Г и — ио (Р = ш1п, (69) которая определяет норииланое решение — приближенное решение, наименее отличающееся от заданного вектора и,. Ее используют, например, в задачах линейного программирования (см. гл. И1, % 3).
Поскольку (69) является квадратичной формой относительно и, то нахождение ее минимума сводится к решению линейной алгебраической системы (АНА + аЕ) и = А "7" + аио. (70) Благодаря слагаемому аЕ эта система хорошо обусловлена, по крайней мере, при не слишком малых а- О. Поэтому ее нетрудно решить методом исключения Гаусса. Описанный алгоритм применяют также для решения систем с вырожденной матрицсй А. 5.
Разностные схемы. При вариационном методе регуляризации численно решать приходится либо задачу на минимум функционала (42), либо краевую задачу для интегро-ди1)хреренциального уравнения Эйлера (53). К этим задачам целесообразно применять разностные методы.
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 477 (71б) л =о где с =1 пРи 1«лт=лМ вЂ” 1, со=си =1/2, Ьл=-1 при 1«ис="Лг — 1, Ьо — — Ьи= ?2. Подставляя (72) — (7б) в (71) и Обозначая разностное решение через у, получим вместо (71) алгебраическую задачу и г м 12 'У, 'Ь.~й ~ с К. у — ~.) + Л=О 1Л=-О и М вЂ” 1 +айе ~~ с„у' + — - г (у,— у„,)'= ппп (77) 1-О 1Л = О на минимизацию квадратичной формы. (7б) Дадим пример построения разностной схемы, исходя из,ва- риационной формулировки (42).
Введем на прямоугольнике (с « «х«г(, а=="$=Ь) сеткУ (хл, Е, О«и«йг, 0-=т«М) так, что х,=с, хА =-д, Ко=а, $м = Ь. Для простоты ограничимся слу- чаем равномерных сеток х„=с+ай„$ =а+тйы сильной регу- ляризации и единичных весовых функций роф=Р. Я) =1. Задача (42) при указанных ограничениях принимает вид ~ 18(х))2 г(х+а ~ ~ио ($) + ~-„— ")~ 112$= ш)п, (71а) б (х) = ~ К (х, 4) и 5) гф — ~ (х), а где величина, обозначенная через 6(х), имеет смысл невязки ис- ходной нерегуляризованной системы при подстановке в нее регу- ляризованного решения.
Аппроксимируем входящие в (71) интег- ралы квадратурными формулами, использующими значения функ- ций в узлах сетки. Для этого ~(и')огф вычислим по формуле средних (4.17), одновременно заменяя производную разностью: гллаг ~ ( — ал) ТЦ вЂ” йе( — ~, =йе( " " ) . (72) ллг Остальные интегралы вычислим по формуле трапеций (4л8): ь М )ио(~)г($ йХ '5; с„и'„, и =и(й„); (73) а Л1 = О )К(х„, $) и(Е) г($ йл ~ч, 'с„Кл„,илл Кл =К(хл, $ ); (74) а лг =- о ~ [6 (х)12 г(х =11 '5", Ь„18 (хл))', (?5) 478 интегРАльные уРАВнения 1гл хш Для решения этой задачи приравняем пулю производные от левой части (?7) по у . Получим систему уравнений, линейных относительно уо,: оку„,— Л(у )+ЬЕ 'о сг(;),р,=Ф, О =по =М; (78а) г,« 1=о Л (уо,) =- „- (у „— 2д +у,„,з) прн 1== т-.= М вЂ” 1, 1 1 1 Л (ро) = „.
.(р — ро) "$ 1 Л (рог ) == Ь, (рм з — рм) 6 где м м Фа~ =Ь«,~, 5«К««Ц«н Ф~=Ь«.5', Ь«К,~(,. (78В) «=о «=о ЗАДАЧИ 1. Показать, что интегральное уравнение (й — а) х+ (Ьи — ай) — (Ь вЂ” а) и (х) =- о х = [х — а) ) (Ь вЂ” 5) 7 (ь, и $)) г11+ (Ь вЂ” х) ~ (еь — а) 7 (еь, и (о)) аа х о (79) аквивалентно краевой задаче дли дифференнналы<ого уравнении и" (х)=1(х, и), и(а)=и, и(Ь)=(). Матрица системы (78) является, вообще говоря, плотно заполненной; поэтому обычно эту систему решают методом исключения Гаусса. На исследовании полученной разностной схемы не будем останавливаться, поскольку сходные вопросы были рассмотрены в главе тгП, 9 4. Отметим только, что схема (77) или (78) имеет аппроксимацию 0(Ь;„'+Ьа), если ядро и правая часть непрерывны со своими вторыми производными.
Замечание 1. Если умножить уравнение (78а) на с„, то матрица этой линейной системы станет симметричной. Тогда для решения этой системы мохтно будет применить метод квадратного корня (который вдвое быстрей метода Гаусса). Замечание 2. Нетрудно видеть, что Я,„, и Ф являются разностнымн аналогами ядра и правой части (535) интегродифференциального уравнения Эйлера. Выражение Л (у ), возникшее при дифференцировании последней суммы в (77), есть разностный аналог дифференциального оператора в уравнении (53а). Поэтому система (78) аппрокснмнрует также задачу регуляризации в форме уравнения Эйлера (53), причем выражения Л(уо) и Л(ум) учитывают краевые условия (53в). задачи 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
