1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

Записать уравнение (79) в каноническом виде (1); найти выражение для ядра К (х, $, и). 3. Для уравнения Вольтсрра (7) составить разностную схему и полный ал- горитм вычислсния развостного решения, используя формулу трапеций с рав- ночерным шагом, 4. Для двумерного уравнения Фрсдгольма (6) составить разностную схему, используя в качестве кубатурной формулы произведение одномерных формул Гаусса. б.

В методе последовательных приближений для уравненвя (6) выразить и„(х) через и, (х) при помощи рекуррентного соотношения (16). 6. Доказать, что нз соотношения (20) следует оценка (21). 7. Учитывая, что уравнение [23) имеет вырожденное ядро, а) найти его точное решение; б) сделать то же для ) (х) =-з!и х, 8. В уравнении (23) так подобрать правую часть 1(х), чтобы при Л=2 существовало решение, 9. Доказать утверждение, сформулированное в 6 1, п. 5, замечании !. 10. Для задачи сглаживания функции и (х)=-) (х) написать уравнение и краевые условия париационной регулярнзации с и =2. Обсудить влияние и на погрешность сглажнвання вблизи границ, для простоты полагая р„ [х)= — 1 и рь(х)=0 при й(гп 11. Регулярнзирозать задачу р.кратг ого дифференцирования и (х) =Дш (х), используя запись этой задачи в виде интегрального уравнении х — (х .)л-' и Я 6е =) (х), 1 М-!) ) (80) а 12.

Аппроксимировать разностной схемой краевую задачу для уравненич Вйлера (53); сравнить ее с разностной схемой (78). 13. Составять разностную схему для регуляризации однократного диффе- ренцирования, если !'(х) задана а) на равномерной сетке, б) на неравномерной сетке. ГЛАВА Хч' СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА В главе ХЧ рассмотрены основные вопросы статистической обработки результатоа зксперименса: определение наиболее достонерного значении измернемой величины и погрешности этоса значения по нескольким измеренинм, оценка достоверности различия двух близких величии, установление досзоверной функциональной зависимости между двумя величинами и аппроксимация этой зависимости. Глава носит нспомагательвый характер.

Материал в ней изложен в справочной форме, без доказательств. Обоснование и более подробное изложение приведенных методов имеется, например, в [7, 26, 43]. 1. Ошибки эксперимента. Численные методы часто применяют при математическом моделировании физических н других процессов. Результаты расчетов в этом случае сравнивают с экспериментальными данными и по степени их согласованности судят о качестве выбранной математической модели. Чтобы обоснованно сделать заключение о соответствии или несоответствии, вычислитель должен знать, что такое погрешность эксперимента и как с ней обращаются, а также уметь в случае необходимости провести статистическую обработку первичных данных эксперимента. Кроме того, задача статистической обработки эксперимента представляет самостоятельный интерес, поскольку ояа очень важна в тех приложениях, когда или требуется особенно высокая точность (например, уравнивание триангуляционных сетей в геодезии), или разброс отдельных измерений превосходит исследуемый эффект (что нередко встречается в физике элементарных частиц, химии сложных соединений, испытании сельскохозяйственных сортов, медицине и т, д.).

Обычно, чем точнее эксперимент, тем более сложной аппаратуры он требует и дороже обходится. Однако хорошо продуманная математическая обработка результатов в ряде случаев позволяет выявить и частично исключить ошибки измерений; это может оказаться не менее эффективным, чем использование более дорогой и точной аппаратуры. В этой главе будет рассмотрена статистическая обработка, позволяющая существенно уменьшить и аккуратно оценить случайную ошибку измерений.

гл. хтч СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 481 Ошибки эксперимента условно разбивают на систематические, случайные и грубые; рассмотрим их подробнее. Систематические ошибки — это те, которые не меняются при многократном повторении данного эксперимента. Примерами таких ошибок являются пренебрежение выталкивающим действием воздуха при точном взвешивании или измерение тока гальванаметром, нуль которого неправильно установлен.

Различают трн вида систематических ошибок. а) Ошибки известной природы, величину которых можно определить; их называют поправками. Так, при точном взвешивании рассчитывают поправку на выталкивающее действие воздуха и прибавляют ее к измеренной величине. Внесение поправок позволяет существенно уменьшить (или даже практически исключить) ошибки такого рода. Заметим, что иногда расчет поправок бывает самостоятельной сложной математической задачей.

Например, некорректно поставленная задача (14.2) о восстановлении переданного радиосигнала по принятому является, по существу, нахождением поправки на искажение принимающей аппаратуры, б) Ошибки известного происхождения, но неизвестной величины. К ним относится погрешность измерительных приборов, определяемая их классом точности. Для таких ошибок обычно известна только верхняя граница, а как поправки их учесть нельзя.

в) Ошибки, о существовании которых мы не знаем; например, используется прибор со скрытым дефектом пли изношенный, фактическая точность которого существенно хуже, чем обозначено в техническом паспорте. Для выявления систематических ошибок всех видов обычно заранее отлаживают аппаратуру на эталонных объектах с хорошо известными свойствами. Сл учай ные ошибки вызываются большим числом факторов, которые при повторении одного и того же эксперимента могут действовать по-разному, причем учесть их влияние практически невозможно. Например, прп измерении длины предмета линейка может быть неточно приложена, взгляд наблюдателя может падать не перпендикулярно шкале и т. д. Прн многократном повторении эксперимента результат вследствие случайной ошибки будет, различным.

Однако такое повторение и соответствующая статистическая обработка позволяют, во-первых, определить величину случайной ошибки и, во-вторых, уменьшить ее. Повторяя измерение достаточное число раз, можно уменьшить случайную ошибку до требуемой величины (целесообразно уменьшать ее до величины 50 — 100О4 от систематической ошибки). Гр убые ошибки — это результат невнимательности наблюдателя, который может записать одну цифру вместо другой. При 482 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА ггл. Кч есть также случайная величина, причем Мт)„= М1, От!„= -„- 0$„ (1) а закон распределения величины Ч„со!реми!ноя к нормальному (еауссову) при и — ь со.

Поэтому среднеарифметическое нескольких независимых измерений х= — ~ х; — М$ ! и !' =- 1 (2) является приближенным значением измеряемой величины, причем с тем большей надежностью, чем больше число измерений и. Однако равенство х М$ не является точным, и нельзя даже строго указать предел его ошибки; в принципе х может сколь угодно сильно отличаться от Мс, хотя вероятность такого собы- единичном измерении грубую ошибку не всегда можно опознать. Ио если измерение повторено несколько раз, то при статистической обработке выясняют вероятные пределы случайной ошибки. Измерение, существенно выходящее за полученньге пределы, считается грубо ошибочным и не учитывается прн окончательной обработке результатов.

Таким образом, если измерение повторено достаточно много раз, то можно практически исключить грубые и случайные ошибки, так что точность ответа будет определяться только систематической ошибкой. Однако во многих приложениях это требуемое число раз оказывается неприемлемо большим, а при реально осуществимом числе повторений случайная ошибка может быть определяющей.

2. Величина и доверительный интервал. Пусть измерение проводят несколько раз, причем условия эксперимента поддерживают, насколько возможно, неизменными. Поскольку строго соблюдать неизменность условий невозможно, результаты отдельных измерений х; будут несколько различаться. Их можно рассматривать как значения случайной величины $, распределенной по некоторому закону, заранее нам неизвестному. Очевидно, математическое ожидание М$ равно точному значению измеряемой величины х (строго говоря, точному значению плюс систематическая ошибка). Обработка измерений основана на центральной предельной теореме теории вероятностей: если Е еспгь случайная величина, распределенная по любому закону, то гл. хч) СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 483 тия ничтожно мала.

Ошибка приближенного равенства (2) носит вероятностный характер и описывается доверительным инпггрвалом т. е. границей, которую с доверительной вероятностью р, не превышает разность пе — М$ ~. Символически это записывают следующим образом: р (~ х — М$( =Щ =р,. (3) Доверительный интервал зависит от закона распределения й (а тем самым — от постановки эксперимента), от числа измерений п, а также от выбранной доверительной вероятности р,. Из (3) видно, что чем ближе р, к единице, тем шире оказывается доверительный интервал. Доверительную вероятность р, выбирают, исходя из практических соображений, связанных с применениями полученных результатов. Например, если мы делаем игрушечный воздушный змей, то вероятность благополучного полета да=0,8 нас устроит, а если конструируем самолет, то даже вероятность р, = 0,999 недостаточна.

Во многих физических измерениях р,=0,95 —:0,99 считается достаточной. Замечание 1. Пусть требуется найти величину г, но измерять удобнее величину х, связанную с ней известным соотношением г=у(х); например, нас интересует джоулево тепло, а измерять легче ток. При этом следует помнить, что Мь = ~ ) (х) р (х) г(х чь 1(МЦ =1 (~ хо (х) г(х); так, среднее значение переменного тока равно нулю, а средний джоулев нагрев отличен от нуля. Поэтому, если мы вычислим сначала х, а затем положим 3=1(х), это будет грубая ошибка.

Характеристики

Список файлов книги