1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Формально подобранная функция ):(х, а) может удовлетворительно описывать эксперимент, но редко пригодна для экстраполяции. Проще всего решить задачу (34), если ) (х, а) является алгебраическим многочленом ~ч~~ аех". Однако такой формальный выбор функции редко оказывается удовлетворительным. Обычно хорошие формулы зависят от параметров нелинейно (транс!(едентная регрессия).
Трансцедеитную регрессию наиболее удобно строить, подбирая такую выравнивающую замену переменных У (г), Х (х), чтобы зависимость 3(Х) была почти линейной (см. гл. 11, 3 1, п. 8). Тогда ее нетрудно аппроксимировать алгебраическим многочленом; Х=Р(Х, а). Выравнивающую замену переменных ищут, используя теоретические соображения и учитывая асимптотику г (х). Дальше будем считать, что такая замена уже сделана. Замечание 2, При переходе к новым переменным задача метода наименьших квадратов (34) принимает вид ~х~ ~))У!(Х! — Р (Хь а))'=ш(п, (35) где новые веса связаны с исходными соотношениями )р'! = ( — „) и!!. (Зб) Нетрудно показать, что всегда выполняется соотношение )р)( 1.
Поэтому, даже если в исходной постановке (34) все измерения имели одинаковую точность, так что !в!= — 1, то для выравнивающих переменных веса не будут одинаковыми. Корреляционный анализ. Надо проверить, действительно ли замена переменных была выравнивающей, т. е. близка ли зависимость г, (Х) к линейной. Это можно сделать, вычислив коэффициент парной корреляции ;э, ег! (х! — х!) (г! — г!) М Я вЂ” М1) (~ — Мй)1 ! = ! (37) ',~„эг; (х! — х!) ~ч; ег! (х! — 2)' !=! != ! стАтистичнскАя ОБРАБОткА экспвпимвнтд [Гл.
хч Если зависимость Я(Х) строго линейная (и не содержит слу- чайных ошибок), то р= + 1 или р= — 1 в зависимости от знака наклона прямой. Чем меньше [р[о тем менее зависимость л (Х) похожа на линейную. Поэтому, если )р) 1, а число измерений [[[ достаточно велико, то выравнивающие переменные выбраны удовлетворительно. Подобные заключения о характере зависимости по коэффици- ентам корреляции называют корреляционным анализом, При корреляционном анализе не требуется, чтобы в каждой точке х! проводилась серия измерений. Достаточно в каждой точке сделать одно измерение, но зато взять побольше точек на исследуемой кривой, что часто делают в физических экспериментах.
Замечание 3. Существуют критерии близости [р ~ к 1, поз- воляющие указать, является ли зависимость А (Х) практически линейной. Мы на них не останавливаемся, поскольку далее будет рассмотрен выбор степени аппроксимирующего многочлена. За,мечание 4. Соотношение [р) — О указывает на отсутствие линейной зависимости Е (Х), но не означает отсутствия какой- либо зависимости. Так,.
если к = Х' на отрезке — 1 Х = 1, то р= О. Оптимальная степ ен ь ми огоч лен а. Подставим в за- дачу (35) аппроксимирующий многочлен, степени тл! т Р(Х) = да а»Х». (38) »-о Тогда оптимальные значения параметров а» удовлетворяют системе линейных уравнений (2.43): »1 ,У', А»[а! — В„О == й = пт, т=е Аы= ~ )(У[Х';+', Д = У )(У[~[Х'!, !=1 !=! и найти их нетрудно. Но как выбрать степень многочлена? Для ответа на этот вопрос вернемся к исходным переменным и вычислим дисперсию аппроксимационцой формулы с найденными коэффициентами.
Несмещенная оценка этой дисперсии такова*): ь) =).)[)(х, а„а„..., а ))в (39) ~~ се[[э! — у(х[, а))з/ ~~ [а!. (40) а=! а= 1 ') В формулах типа (32) имелся делитель вида Лl — [; он связан с тем, что при вычислении стандарта выборки используется одна величина к, определенная по той же выборке. В (40) используется аз+1 козффипиентов а», определенных по выборке, позтому появляется делитель й[-(пт+!). гл.
хтч стлтистичвскля овелаоткл зкспввиментл 499 Очевидно, при увеличении степени многочлена т дисперсия (40) будет убывать: чем больше взято коэффициентов, тем точней можно аппроксимировать экспериментальные точки. Сравним г?ж с дисперсиями з) единичных измерений (32), определенными по небольшим сериям экспериментов хотя бы в нескольких точках хо Если О ->з1 для всех (, то погрешность аппроксимации больше погрешности, с которой измерены значения гь Надо увеличивать т до тех пор, пока отличие В от з) хотя бы для одного 1 не перестанет быть значимым по критерию Фишера (30).
Наоборот, если В (з), то надо уменьшать и. Если полученная таким образом оптимальная степень т, удовлетворяет условию ть((6(, то выравнивающие переменные выбраны удачно; если т, )У, то следует подобрать другую замену переменных. 3 а м е ч а н н е 5, Описанный способ нахождения оптимального числа параметров т, можно применять при произвольном виде функции 1(х, а); но сами коэффициенты в этом случае вычисляются не по формулам (39). Точность коэффициентов.
Коэффициенты аь определяются по случайным величинам г; и поэтому сами являются случайными величинами. Какие их значащие цифры достоверны, а какие можно отбросить? На первую половину вопроса ответить нетрудно. Проведем математический эксперимент. Зная дисперсию единичных измерений з), искусственно внесем в величины г, случайные ошибки бг„ распределенные по нормальному закону с дисперсиями з) (это делается методами Монте-Карло), и вычислим соответствующйе аь.
Повторим эту процедуру многократно. Для каждого аь получим набор случайных значений, по которому вычнслил1 среднее аь и стандарт з(а,). Отсюда по критерию Стьюдента (9) найдем для аь доверительный интервал и, тем самым, выясним, какие значащие цифры коэффициента достоверны, Однако, вообще говоря, недостоверные цифры коэффициента аь нельзя отбрасывать, Коэффициенты аь можно округлять только все одновременно, меняя их на взаимно согласованные величины Лаь. Для такого округления многочлен Р (Х) представляют в виде линейной комбинации: Р (Х) = — Ьи аьХь = г, уД, (Х), (41) ь=ь г=о где (~, (Х) — алгебраические многочлены, ортогональные на системе точек Х, (1 «1«Ж) с весами яг; *). Коэффициенты у, можно округлять независимо друг от друга в пределах их доверительных интервалов.
") См. Приложение. баО СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА [ГЛ. ХУ ЗАДАЧИ !. Для примера, приведенного в таблице 24, определить достоверность победнтеля способом независимых измерений и сравнить результат с резуль. татом, полученным способом согласованных измерений. 2. Учитывая, что веса в формулах (34) и (35) обратно пропорциональны дисперсиям, обосновать выражение веса (36). 3. Показать, что коэффициент парной корреляции (37) всегда по модулю не превышает !. 4.
Найти коэффициент парной корреляции (37) па отрезке — ! (х(1 для а) линейной функции э=ах-(-Ь, б) квадратичной функции а=ахе+Ь; предполагается, что шг.=.[. б. Установить связь между коэффициентом парной корреляции (37) в наклоном сглаженной кривой (3.28). ПРИЛОЖЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬН Ы Е МНОГО ЧЛЕН Ъ| Общие соотношения. Ь(ногочлены Р„(х) называются ортогональвыми с весом р(х) на отрезке (а, Ь), если они удовлетворяют следукхцим соотношениям; ь ) Р„ (х) Рм (х) р (х) г(х= У„З„ , о (х) ) 0; а по традиции наиболее употребительные многочлены нормируют не на единицу.
Все корни ортогоиальных многочленов вещественные, простые и расположены на интервале (а, Ь); между каждой нарой соседних корней многочлена Р„(х) расположен один и только один корень многочлена Р„,(х). Дальше ограничимся только так называемыми классическими ортогональными многочленами Якоби (и их частными случаями — многочленами Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрыита. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению и г(Рп 1 с(х п(х) р(х) "1 ( А,р(х) Р„(х)=0, п«х«Ь.
г(х Их удобно вычислять либо по обобщенной формуле Родрига т1л Р„ (х) = ( Вп)р (х)) †„ „ (и" (х) р(х)), либо, зная два первых многочлена, при помощи рекуррентных соотношений ивРпет (х) =- (Ь„х — сп) Рп (х) — г)пРп, (х). Конкретный вид всех встречающихся в этих формулах функций н значения констант приведены в таблице 26. Далее приведены некоторые миогочлены с небольшими индексами и, их КОрии |1Ю И СООтВЕтСтауЮщИЕ ИМ ВЕСа у,'п1 фарМуЛЫ ГауССа — КриСтОффвпя. 1 Ь(ного члены ЛежандРа. Ее(х)=1; Е,(х)=х; Еа(х)= 2 (Зле — 1); Ез(х) = — (5хз — Зх); Ет (х) = — (Збх' — 30ха+3); Ез(х) = — (63хй — 70хз+15х).
1 1 1 2 и = 1; |т = 0; у,.= 2. п=2; — $т=|з=г' ГЗ; уз=уз=1. и= 3; — $т = |а= |гЗ!5. |а =01 Уг =Уз= 5/9 Уа 8/9. Таблица 26 Чебышева второго рода Чебыыева первого рода Многое»ем Янобн Лежандра Нрмвта Лагерра у.са! (х) Обозначение Т„(х) и„(х) Вл (т) 1.„(х) — 1, +1 — 1, +1 о, Ь хс'е "; а> — ! — х* е р (х) )г 1 — ха 1 — хв о (х) ! — хв 1 — хв ф' и2ал! 2 2л+1 п)х Х Г(а+и+1) и — при лФО 2 л при п=О л (и+а+(!+1) и (и+2) и (и+1) ( — 1)а/(2л и!) ( !)а ( 1)в Вн и+1 Ьн 2п+! 2п+а+1 л (и+а) Ортогональные ииогочлеиы 2аер+гГ (а+и+1) Г ф+гг+1) л1 (а+!!+2п+!) Г(а+(1-(-и+!) ( 1)в!(2п, и!) 2(и+1) (л+а-)-!)+1) (2л+а+!!) (2и+а+Д) (2л+а+()+1)Х Х (2л+а+р+2) (!)а — ав) (2п+а+(!+1) 2 (л+а) (и-(-!!) (2л-)-а-) (!+2) — 1, +1 О, +ж 503 ОРТОГОнальные мНОГОчлены — 2,-2, Р(266-23'ВОНЗИ, — 6, Б,-РР~Г6 — 2) н))п, — 72=76=(!8 — ) 30)/36, 76=7з=(18+)' 30)/36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
