1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (844233), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Следует по каждому измерению х, вычислять г;=1(хг) и далее обрабатывать полученные значения г,. Шир ина доверительного интервала. Если известна плотность распределения р„(у) величины т)„то доверительный интервал можно определить нз (3), разрешая уравнение мч -~- а р, = ~ р„(у) ду, МВ„= МВ, (4) мч — а относительно й. Выше отмечалось, что при и-ь оо распределение Ч„стремится к нормальному *): р„(у) = ехр) — -гн мчпр ~, о„=)г глг)„; (5) *) В самом худшем случае, когда $ есть равномерно распределенная случайная величина, распределение Ч„ близко к нормальному при и 30, а интеграл в (3) близок к интегралу от йормального распределения при существенно меньших и. 484 стлтистичвскля онплиоткл экспкиимантл )гл. хо здесь 0т)„— дисперсия распределения, а величину ол называют стандартным отклонением или просто сгиандарсиам ").
Подставляя (5) в (4) и полагая р =!а„, т. е. измеряя доверительный интервал в долях стандарта, получим соотношение с ре — — )/ — ~ е "!таст. о (6) и Л и ! ът 0с=-- ун (хс — М1)а- — у„(х,— х)', У=- — 7 ха (7) л - и и а с =. ! Точность этого выражения невелика по двум причинам: во-первых, число членов суммы обычно мало; во-вторых, использование замены Мс-х вносит ошибку 0(1/и), значительную при малых и.. Более хорошее приближение дает так называемая неслсещенн я ос(енка дисперсии: 0$ — за =- — хта (х; — х)', л — ! с=! (8) *) для произвольного закона распределения т')ЗЧ называют среднеквад. ратичаым отклонением. "") Однако при л= ! считать распределение р, (у) =р (х) нормальным и пользоваться форлсулой (6), вообще говоря, нельзя.
Этот вопрос будет рассмотрен ниже, Интеграл ошибок, стоящий в правой части (6), табулирован, так что из этого соотношения можно определить доверительный интервал (()те). Зависимость г(ро) дается в таблице 23 строкой, соответствую!пей и = оо.
Из таблицы 23 видно, что доверительный интервал 1) =За„ соответствует доверительной вероятности р, = 0,997, так что отклонение х от М$ более чем на За„маловероятно. Но отклонение более чем на а„ довольно вероятно, поскольку ширине р = а„ соответствует ро = 0,7. Таким образом, если известна дисперсия 0$, то нетрудно определить стандарт а„=)с от! и, тем самым, абсолютную ширину доверительного интервала )). В этом случае даже при выполнении одного измерения можно оценить случайную ошибку **), а увеличение числа измерений позволяет уменьшать доверительный интервал, поскольку а„и — !сз . Критерий Стьюдента.
Чаще всего дисперсия 0$ неизвестна, поэтому выполнить оценку ошибки указанным выше способом обычно не удается. При этом точность однократного измерения неизвестна. Однако, если измерение повторено несколько раз, можно приближенно найти дисперсию: гл. К91 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЗКСПЕРИМЕНТА 485 где величину з называют сгиандаригоаг выборки. Далее будем пользоваться только оценкой (8).
Оценка (8) также является приближенной, поэтому нельзя пользоваться формулой (6), заменяя в ней о„на з!'Ргп. Надо вносить в нее поправку, тем большую, чем меньше и. Если распределение 91„считать нормальным при любых и, то связь доверительного интервала со стандартом выборки устанавливается критерием Стьюдента: $ р=((ра и)з з == (9) где коэффициенты а) Стьюдента ! (р„и) представлены в таблице 23. Таблица 23 Коэффициенты Стьюдеита ! (р„и) 9,9 о,г О,а 9,9 9,95 9,99 9,99 9,995 9,999 9,999 11 14 18 22 1,1 1,3 1,8 2,1 1,1 1,3 1,7 2,1 11 13 17 20 1,0 1,3 1,7 9,0 10 13 16 20 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 10 15 20 30 60 2,8 3,2 2,6 2,9 2,5 2,8 2,5 2,8 2,4 2,7 '-',3 2.6 Критерий Чебышева ~ 1.4 1,8 2 2 3 2 4,5 7,1 10 ! 4 22 32 Очевидно, при больших и с хорошей точностью выполняется он=за.
Поэтому при гг-и со критерий Стьюдента переходит в формулу (6); выше отмечалось, что этой формуле соответствует строка п == ОО таблицы 23. Однако при малых и доверительный интервал (8) оказывается много шире, чем по критерию (6). П р и м е р !. Выбрано ри = 0,99 н выполнено 3 измерения; по табтице 23 доверительный ингервал равен р =9,9згр' 3= 6,7з. ") Их называют также кеанягаяяии Сшьюденша. 1,0 2,0 3,1 6,3 13 0,8 1,3 1,9 2,9 4,3 0,8 1,3 1,6 2.4 3,2 0,7 1,2 1,5 2,1 2,8 07 12 15 э0 26 07 1! 14 19 24 0,7 1,1 1,4 1,9 2,4 0,7 1,! 1,4 1,9 2,3 0,7 1,1 1,4 1,8 2,3 32 64 70 99 4,5 5,8 3,7 4,6 3,4 4,0 3,! 3,7 З,О 3,5 2,9 3,4 2,8 3,3 127 318 637 14 22 32 7,5 10 13 5,6 792 8,6 4,8 5,9 6,9 4,8 5,2 6,0 4,0 4,8 5,4 3,8 4,5 5,0 3,7 4,3 4,8 3,6 4,1 4,6 3 3 3 7 4 ! 3,2 З,о 3,8 3,0 3,4 3,7 2,9 3,2 3,5 2,8 3,1 3,3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЗКСПЕРИМЕИТА )гл, ху К сожалеаию, не все физики и инженеры знакомы с понятием довери.
тельного интервала и критерием Стьюдента. Нередко встречаются экспериментальные работы, в ноторык при малом числе измерений пользуются критерием (6) или даже считают, что значение з„является погрешностью величины В, и вдобавок опеаивают дисперсию по формуле (7). Для приведеаного выше примера при первой ошибке был бы дан ответ ()=1,йз, при второй — р=о,бз, а при третьей — ))=0,7з, что сильно отличается от правильного значения. Замечание 2. Зачастую одна н та же величина х измерена в разных лабораториях на разном оборудовании.
Тогда следует найти среднее и стандарт по формулам (2) и (8), где суммирование проводится по всем измерениям во всех лабораториях, и определить доверительный интервал по критерию Стьюдента. Нередко при этом суммарный стандарт а оказывается больше, чем стандарты зг, опРеделенные по Данным отдельных лабораторий. Это естественно. Каждая лаборатория делает при измерениях систематические ошибки, и часть систематических ошибок в разных лабораториях совпадает, а часть — различается. При совместной обработке различаюшиеся систематические ошибки переходят в разряд случайных, увеличивая стандарт. Значит, при совместной обработке разнотипных измерений обычно систематическая ошибка значения х будет меньше, а случайная — больше.
Но случайную ошибку можно сколь угодно уменьшить, увеличивая число измерений. Поэтому такой способ позволяет получить окончательный результат с большей точностью. Замечание 3. Если в разных лабораториях используется оборудование разного класса точности, то при такой совместной обработке надо суммировать с весами р,:. 1 чз л Х = — та р!хг, аа = т рг(х! — х)', )з' = 1) р„ (!0) Д ~~а ' (л — 1) )7 л',а г=! 1= 1 г=- ! где р, относятся, как квадраты точности приборов. Произвольное распределение. Чаше всего число измерений и невелико и заранее неясно, можно ли считать распределение т)„ нормальным и пользоваться приведенными выше крйтериями.
Для произвольного распределения р(х) справедливо неравенство Чебышева Р(1х — М$) ~ Я) в,. ОБ Отсюда можно оценить доверительный интервал: 1 /г йь Оа~ Ол 1 — Рв 487 гл. хч) СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА Коэффициент (1 - р,)-" в этой оценке приведен в дополнительной строке таблицы 23. Из таблицы видно, что если в качестве доверительной вероятности принять р, = 0,95, то для произвольного закона распределения с'известной дисперсией доверительный интервал не превышает 5о„. Для симметричного одновершинного распределения аналогичные оценки показывают, что доверительный интервал не превышает Зо„; напомним, что для нормального распределения он равен 2а„(при выбранном р,=0,95).
Разумеется, если вместо о„используют найденное по тем же измерениям значение з„, то надо строить критерий, аналогичный критерию Стьюдента. Оценки при этом будут существенно хуже приведенных. Проверка нормальности распределения. Из сравнения критериев (6) и (11) видно, что даже прн невысокой доверительной вероятности р4~0,9 оценки доверительного интервала при произвольном распределении вдвое хуже, чем при нормальном.
Чем ближе рь к единице, тем хуже соотношение этих оценок. Поэтому целесообразно проверять, существенно ли отличается распределение р (х) от нормального. Распространенный способ проверки — исследование так называемых центральных моментов распределения: +СО т„= ~ (х — в4$)" р(х)йх, й=!,2,... (12) Два первых момента, по определению, равны т,=0, ть.=(.)$ = = о'. Для нормального распределения два следующих момента равны т,=0, т,=ЗО'.
Обычно ограничиваются этими момен. тами. Вычисляют их фактические значения по проведенным измерениям и проверяют, согласуются ли они со значениями, соответствующими нормальному распределению. Удобно вычислять не сами моменты, а составленные из них безразмерные комбинации — асимметрщо А =о'ть и эксцесс Е = = о 'т4 — 3; для нормального распределения они обращаются в нуль. Аналогично дисперсии, аычнгчнм их по несмещенным Оценкам: А ,7, (х; — х)', Е = , т (х; — х)4 3, (13) 1 м(л — 1) 4~4 ' ' 44 (л — 1) „~4 4=! где з Определяется формулой (8). Собственные дисперсии этих величин известны и зависят только от числа измерений: В (л — 1) 1) Е 24л (л — 2) (л — 3) 414! (л -1- 1) (л -1- 3) ' ( ) (л + 1)4 (л + 3) (л + 3) ' 488 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА [гл.
ху причем собственное распределение А является симметричным. Поэтому, если выполняются соотношения !А!(3)/0(А), !Е/==5)/П(Е), (15) то по критерию Чебышева (11) отличие А и Е от нуля недостоверно, так что можно принять гипотезу О нормальности распределения р (х). Формулы (13) — (15) непосредственно относятся к распределению единичного измерения. На самом деле надо проверить, нормально ли распределение среднеарифметического т1, при выбранном п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
