1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Состояние ()) (/=О, 1, 2, 3) — в соревнованиях участвуют у членов комзнды. При г с д роли=О(СЬ=-0,1,2,3), РЯ'=1, Роо = ! Рзз Рог Рзт =У1У(ь' У) Рм =ТяУ(а У)+РЖ%'(а () У), ал ,л Рчй — — 1 — Ргзз! — Рзз' — Р",) где т" (а Ь) = т'(а, а) = пп" а — Ь' у(а, у) — у(й, у) пал т о" — у" гз(а,р,у)=, г!(а,а,у)= — — —,, а — 3 а — у (а — у)' ' ф (а, а, а) = и (и — 1) ал 38.6. Воспользоваться формулой Перрона при простых хзрактегл рисюяеских числах ).
=Р (Ь==.О, 1,..., т). ()5 — м 1= И (л — р.). л к=о При ! > Ь Лю(й) =О, Ааь()) = '." . При Ь > Е Аы (й) = !)б — и! 3 —,о Ф !Зр — "! !)а,()) а И (3 — Р.) 38.7. Воспользоватьси формулой Перрона, когда характеристическое число ).
= Р имеет кратйость пн а характеристическое число д = 1 простое. !) ф — ал ! = (Л вЂ” Р)лх (3 — 1); Ам, (3) = ~38 — Р! Аль().) = .' (а =О, 1,..., гп — 1). При ! > Ь Лаз().) = О, !)$ — т'! 3 — Р )).8 — ~! 1)м,().) А„и(3)= ' „, " ' . Прв Ь>8 Ьфгп Алг().)= (3 Р) () !) !) $ — т ! гдлг(3) 38.8. Состояние Сог — после извлечении в урне останется У белых С' тСл1 г ы-г шаров. При у > ! Р.
= 0; при !) у Р = ' . ХарактеП С"' дг См, а ристические числа до= 1, ).ь=- — (а= 1, 2, ..., и) прос~ые. См, Траиспоннрованная матрица у'"' — верхняя треугольная; всровт- ОТВЕТЫ И РЕШЕЫ1!Я 597 ности р("! определяются с помощью формул нз условна задачи 38.6. Прн М = 6, !и = 3 Ра! = Рот = Роз =Р!я = Р!з =Р~з — — О, Роз = 1, (л! (л! (л! (л) (л) (л! (л! 38.9. Состояние ()у — наибольшее число выбитых очков равно ! ..
1 Ф + у; Р = †, р. = 0 прн ( > у; Р. = — при ( < Т' (см, прим гл Н Н гл мер ЗЗЛ); Р(, = ( — ~; Р..", = 0 ВРВ ! ) л! Р а = ( — 1 — — пРи 1 < Ф. 38.10. Состояние ()) — на участке длины Е осталось у цилинд- ров (у = О, 1,..., и]. Вероятность столкновения шара с цилиндром 20 +В), равна /а, где а=; Р ., =уа, р. 1 —,/а, Рт =0 )У-' ' Н ' П при 1 ~ / и (ть / — 1 ((, У = О, 1...., гл). Харантеристические числа Ха=1 — (ти (Л=О, 1, ..., и), Р(л>=0 пРи !< а. ПРи (> й Аа; (8) = ат ;, П (Л —,Р! .
По формуле Перрона при !)~)( Д (Х вЂ” 1+ко) ъ=л Зл (Д Х.) й~ ", з ло ~ П (), — 1 + та) ,а 1=1/ (-л 38.11. Состояние (3 ((' = 1, 2,..., т) — поставленные точки находятся в у частях области В; р . = — , Р . 1 — — . У У Н и' ууш т' Характеристические числа ),,= — (г=1, 2, ..., л(). Из у'Н=Н/ ш С' ' следует Ьгллл — ((!(а=-1), а нз Н г!=)Н и Н Н=О л-! -1 — 1 †! г С-! т -! следует Тт(, !! = ( — 1)' ' С',„'1 С(„!Р Рл = Н)"Н . Р(!л = 0 пРи ° (л 1> 8, а пРн!(й Р(ла)= С",„', ~ ( — 1)л-' '~ — ) С,',; (дРУгое !=о решение — см. задачу 38.10). 598 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ тп! 38.12. Положить а=а "' . Тогда Н=- !))))а)) = ))а~> Н 1 =((й( 1)()= — )) (а 1)(> 1)!) И" = Н))б.аАл))Н 1.
Гдв ),,=-~ а аи 1)(а 1) (д=), 2, ..., ж) э)а) Э даем-1)()-~) »" пла >=1 >=1 ре ) = — (>1 и = 1, 2, ..., >и). 1 и 38.13. Состояние (). — частица находится в точке хд р.. 1' р... = 1 — — (1 = О, 1, ..., >л). Матричное равенство Н )т> =- = — ))б) ),!'Н ' эквввалентно уравнениям (1 — а ) Л, (к) = т =. т(д> — б) й>(е) (1 =0, 1, ..., е), где )(!(б) = ~я~' еаь( 1) =- а=о и м —, (1-Л — (1+1,.) = С!(1 — б) > (1+к) '. Так как Л!(Е) — многочлен, то характеристические числа б>=! — — (1 =0, 1,..., е). ИзНН =- ф 21 и> следует б = ~я~', брД = ~Ч, д>ф (б). Полагая Е= —...
С = 2 а=о >=о 1-',— а* для определения элементов Ьт = 6! матриц Н = Н ' получим (-1) выражения т т ~ Ьф = ~~а', 6(1 ~)ь> =2 (1 — ь) (1+ь) ' (1=0, 1, ..., и>). >=о >=а Вероятности р(ла) являются элементами матрицы Ф =Н!~~! — 2!)" 0„1Н. 38.14. Состояние () — в приеинике автомата У монет по 5 колб Рес = Ч Р = Р Р»е) =Р Р, = >) (>> = О, 1,.... т).
ХаРак/тп теристические числа: б =1, Да= 2)>р!) соа — (а=1, 2, ..., и>). .а = и>+1 ,У' = Н,'1 б>аЛа)) Н, где Ь>1-=1(>=0,1,..., и>), Ь л = ! — ) т а)п —— ')р) >и-)-1 >-1-1 >>) >, (! — 1) дч ()' а ~оа ~ = ~1( ) ответы и Решения 599 «-1 — — ып !Р) з (« — 1) !л ~ (!=1,2, ...,«О «=О,1, ...,т).
Постоян— — 1 ные С! определяются из условия Н 'Н= 0: С = ~т -(-1 2р г — '" 1' С» = — ] 1 — 2 У р1) соз (» = 1, 2, ..., гл), р(') = л(+1 ( = ~чд, «1!л,"«(!»" ((, ! = о. 1, ..., т). !=о 38.и. состояние (21 — попадание в мишень, (21 — промах; р„= и, 1 1 рм — — 6, р,(0) = — (н+]1), р«(0) =1 — — (а+6), (р, (и); р, (и)] =- =(Ф')" (р,(0); рз(0)]. Характеристические числа:).1=1, Ха = и — 8. к По формуле Лагранв(а — Сильвестра прн Х«+1 Ф'= Х 1 — и+]) Х]~ — (н — 8)  — (о — 8)" (~ — а)] р( (и) = 1 2(1 — а+])) ]28 + -]-(1 — и — 6) (а — ])) "']. Если Х« =1, то ~' = $. р, (п) = —.
2' м з 38.16. Из ~ЧД~ р( )=1, ~ЧР~ р(.р1")= р( ) (/=1, 2,..., ш) сле,=1 ' 1=1 1 дует, что р(. ) = — (/ =1, 2,..., е). ! ш 38.17. Состояние ()! — в первой урне ! белых шаров; — /) ( — /)' /' О, '!! тз * ! !«1 тз ' ! !-1 (и' 1(епь непрнводимая н непериодическая, р]») = р(; ). Иэ системы р(«) — — р» ),р» 1 «+р(1 )р««+Щр 1 «(((=О, 1,.
и и) полуРа «=о — — («= О, 1... „т). С«м 38.18. Состояние О! — частица находится в середине /-го интервала деления отрезка; р = о, р = р, р . = р, р . , = о 11 ' мм ' !!«1 ' ! — 1 (/ = 1, 2,..., т). Цепь неприводимая н непериодическая. Вероятности р( ) находятся нз системы чр(з~) (но ( з) () () Ррт«! +Ррт Рт рр»()1~ +(/р~~~.'~~ = р(» ) (» = 2, 3, ..., т — 1). 600 ОТВЕТЫ Н РЕШЕНИЯ ( 1» — 1 ы ТОГДа Р„=( — ) Р,, лТЛРа -1, ПРИ Р =)У Ра (:)! ( Р 1 (, )) ~т (с))! М! !Ч, а )и' а=1 1 — — а-! Р а при рчь() р)„' — ~~р) (л =1, 2, ..., лг). Вероят) )! 1-(Р) (ДГ ности р(л~) можно также получить из р(ь) при л-и=о (см, задачу 38.14). 38.19. Цепь неприводимая и непериодическая. Из системы -! 1 ~Ы 1Ц ар =и (У=1,2,...)следует, что и = —.ао и, = т, —.и!=- ! 21 ' ям'1'+1 )=1 )'=1 О )о Х С+П1 ! ът е пь Так как Тм . „, =1, то ненУлевое Решение (!+1)1 А (!+1)1 ;=1 1=1 существует.
При этом лты ! и)! = и! ьты —., =и) (е — 1) (со, т. е. )=1 )=1 цепь эргодическая. р )= — р)!' ), — =е — 1, р 1, 1 г 1 у! р! ') ~ (е — 1) у! ()=1, 2, ...). 38.20. Цепь непряводимая в непериодическая, Из системы Х 11) ' и,р, = и . (/ = 1, 2, ...) следует, что и, = )) ~ и), и = и,р 1=1 l 1=! п1!и этом У~ ) и) ( = а) т Р = ( со; поэтому цепь эргоди)у )-1 )-! ческая; р( >=р) 'р(! ), Р(1~>=))„т, е, р(уы) — — )ур) ' (у 1, 2, ...), / 38.21.
Цель нгприяодимая и непериодическая. Из системы 1) ) ,т и.р,.=и. (2=1, 2...,) следует,что и =, ' (2=2, 3....). ) 2(У вЂ” 1) 1=1 Ряд у ) и ( = и, 1 + лт †. расходится, т. е. цепь ие .УЛ 2(У вЂ” 1) 1 )=1 )=з эргодическая. Это нуль-регулярная цепь, для которой р(„! = 9 (1, 8=1, 2,...). 88.22. Состояние );)у — частица находится в точке с координатой УЛ (2=1, 2, ...); Р,=1 — а, р.,=а, р, =8, р = 1 — а — 0 (/ = 1, 2, ...).
Цепь непрнводимая и непериодическая. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ОО1 СО »-! ! аТ Из системы ~' и.р.. =и. следует, что и»= ( — ! и, (»=1,2, ...), г ! 1/ / =Ф/ !=! а При — < 1 ряд у !и»! = — < со, поэтому цепь эргодичер л,/ а »=! ! —— »-! Р а ат» скан; р» = ~~~) р, р 1 — —, т. е.
р' = ~~-);( (,,! /а! а 1! /ат а) а 'г,' '(1 — -) (»= 1, 2, ...). Когда — 2Р1, цепь Маркова пуль-регул! рная; р'."„' = О (/, » = 1, 2, „,,). .! 38.23. Так как (Т« = О, то р„/ = ~~ р/.,! = ! (! = л + 1, з+ 2... „и), 38.24. Из гнытемы р,/=а ~ р, +() (у=-г+1, г+2...„т) у=«а! получаетсн р, (! = «+ 1, г+ 2, ..., и).
! — а (и — г) 38.23. Состояние ()/ — у игрока Л нмеетсн ! рублей (! -.= =О. 1...„и); р =1. р =1, р/!„=р. р// 1=4 (! =. =-.1, 2, ..., и! — 1). Вероятности р, = р/ч! разорения игрокз А опрсделнютсн из системы = р,зр+ !/. р,, ! = рр, т р„= г/р,/-!+ рр (!=2,3, ..., и — 2). / д )l Поло!кнв р =а — б ! — 1, находим: прн р чь 8 р,. = */ -(-;1а' ' О а„„„... 1 (!.=1, 2, ..., и — 1). / рта! */ и ! — ! — ~ Всронтности разорснна игрока д р, (В) ! — р„/ (А) Другое ре ионне задачи нолучастсн нз выражении для рг."' прн н -ьоо (см.
пример 38.2). тн! 3826. н=-!,'б 1,,'1=. !!с// !!'» !!!!, где а=в "' . тогда гн =Н,;сз/»Л»!1, гд Л» =-а» ' (»= 1, 2, ..., и). Так как )Л»~ =1, то гн и"рнот и = и !! ' = — "а ы-!!1»-т!11 р(Р! — ч а!~ .!н+ а ч ! 302 ОТВЕТИ и РЕ!ПЕНИЯ .Еи) Р<4 3 38.28. 11епь неприводимая и пернодичесная с периодом и = 2. Первая группа — состояния с нечетными номерами, вторая — с четными. Тогда )ии р .л) = Рл, а )<и) р з — О, если /+ )< — чет. <2п; <глиц п+ пз ) л -и пз ное число, н !пн р и О, а )йп Р е = Р„, если / + )) — не<ги) <гп+ !) лыл и-) пз четное число. Средние предельные абсолютные вероятности Ра 1 = — ()) 1, 2, ..., 2ю) определяются с ноз<оп<ью равенства 2<и ~ Р=Р Рл"=иР)ь т. е.
Р "а 1, если и+/ — й делится на и, и р"„=О в противном <и) случае (/. 1=1, 2, ..., сп). Р<~и+г)ли 1, если г+/ — й делится на пи и Р</ллзитг)=О и противном случае (и О, 1, ..., т — 1). тп - 1 р/а — Нгп д р з ) — — — (/, )<=1, 2, ..., и). 1 <<пи+ г ти л.ьш ~ ) ги г=е !' аи (7 1 3827. Ф"=( )! )Лф — ")= (Л вЂ” а)(Лз — 1), Л< = 1, О /(" ~п 2л< Л,=а, Л,=е, ), е', где а=а а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
