1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Период или 3. При /, <г = 2, 3, 4 р Еа — — 1, если и+/ — й делится на 3, и р л —— О в прогна<л) <и) / ном случае. По формуле Перроаа 1 ап(а 8+аб+ Т) + еп (()з +бг+Т) 3 1 — а' (а — з) (1 — е)з е ~ (()3 + бе + у) 3 (а — сз) ап (агу+ а()+ б) еп (Те~+ бе-+ б) аз + (а — з)(! — 4)з егп-) (уе4 ! бег ! Т) 3 (а — сг) ал(<ззб+ <зу+ и) ал — (бег+ )з+ р) аз + (а — з) (! — е)з = 1- а — Р) г' — Р)з, РП =О (/=1, 2, 3, 4), Р зал — ()<=2, 3, 4; /=1, 2, 3, 4). ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Р Р»= [ ) сл (и 2Р [,4) 1 ~Р)т 1 —— Р 1 1 т — 1). Прн р=с) рс — — рт —, Р = — (Л = 1, 2. 2лс ' л сл сл — 1). ф 39.
Марковские процессы с дискретным числом состояний 39,1. Р„(С) = Е -к с ()РС)" л! Р ( С ) и ~ с + ~ ) ~ ) л ! с + с ! и! 39.3. Рл(с) = — л, где л(с) = х ~ [! — Р(х)[лсх! [ст (С))" - л (с> л! о Р„= Иш Р„(С) = а ', где С= [ [1 — Р(х)] с(х — матеыа(дс)" ,у — г и! о тнческое ожидание вреченн полета влектрона. с' 39.4 р = с,с — ~Г с+, л-! (дс)' -лс 393 Рл (С) = 1 — ~, — 'е, если СТО, О, если С <0; Х (ЕС) л- если с>0 Х (и в, если С>0, О, если 1<0; и (л+ !) ... (и+ я — !) слл = -,с -с 33.2й. Состояние С)у — частица налоднтся в точке,тС (1=0, 1 "')!Рм=1 Ртт с=(*РС .+с Р РС .
с=4(1=! 2" ° ..., сл — 1). Цепь неприводпмая н периодическая с периодом и = 2; 4Рс Рс* Ро+с)Рс РР РРт-с+Рт= Рт-ь РРт-с = Рт Ррл-с+ ! —— Р 1 + с)Рл+ с = Ри (я = 1, 2, ..., ис — 1). Прн Р Ф Ч Ро = 2 ' '-(Я"" 604 ОТВЕТЫ И РЕШГИИЯ 396. Решая первуат систему уравнений ' — 1Р!а(!)4. т)Р!ь (!) и! +ЛР1,а, (!) при начальных условиях Р!а(0) = Ьы методом нидук- пии от Рь ач, (!) к Рт (!), получим: () т)' -ы , е ., если О.'Ф . г', О, если Ф>й 1 т! 39.7. При Л = !с неравенство рт = ° 0,010 даст т = 4.
м л О 398. Системз уравнений для предельных вероятностей р„! тЛрь = ррь ((т — и) Л + и) рь — — (т — и 1-1) Лрл, + ира,, ррм = Лр„и ~и~ ) тп имеет решения: р„= —.'— ! — ! Рь где ра опретеляется из (т — и)! 1р/ условия ~~ рп — — 1. Математическое ожидание числа автоматов и=с Л+р в очереди йа — — т — — (! — Ра).
Л 39.9. Система уравнений для предельных вероятностей р„: т1Ра = !три ((т — и) Л+ яр) рп — — (т — н+1) Лрп, +(и+ 1) рра+, для 1<и<г, ((т — и) Л+ гр) р„= (т — и+ 1)йрп, + грра для г~и~т — ! гнал = Лрв-~ имеет решения ! () т! (-'~ рь если ! ( и ~~ г, л! (т — и)! !рг' Р,, если п>г! гч 'г!(т — и)! ср1 математическое ожидание числа автоматов в очереди иа ремонт ьа = Ра — ~~~' „, ~ ) п=l 605 ОТВЕТЫ И РЕШЕН!!Я З0.10.
Вероятность того, что электронно-вычислительная машина работает, равна предельной вероятности отсутствия в системе требований иа обслуживание р, = е , где р — среднее число ремон-л(н тов в час. Л(атематическое ожидание экономии от применения более надежных элементов за 1000 часов работы Ь = (а+ !000с (! — е " 11 — ЕЬ+1000с(1 — е " 1') = Рб)с — (б— 39.11. а) Система уравнений для предельных вероят1юстеб )рл = рр~ (7. + »р) р, = Лр + (л+ 1) Нр, (! <, А < и), (7. +лн) р = ).р +лрр,, (гг ьл) имсст рсшсннш (,) ро ') -() — — ра прн (г~~л, при 1 (Л(л где р, — вероятность того, что нсе аппараты булут свободны от обслуживания, определяемая из условия ~ р» — 1, — равна ра »=н ( л-1 -1 ,Л,л Ъ ( ) + ) при условии, что — 2М Лп 1,Н) (.— 1)!(ьд — 7.) ~1) ! Л<лр; б) р*= т р = *= Лй»= (л — !)!(р — Л) (р) ' .) 1 Р (() ~т р Р (Т) 1), где Р (Т > т) — вероятность того, что ожнда»» ' » »=л иие в очереди продлится более т при условии, что в системе Л а-л требований: Р (Т > т) = у —.е "".
1!одставляя это значе(Нл() -ил~ » = 7й )=е л»-л (ИЛГ)7 -Нль нис, получим 1 — р(Г) = ч р - — — е; учитывая. что » »=л у=а 606 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ г Л ~а-и ( ) — — ), н меняя порядок суммирования, получим в ре— „-( — „9) зультате р (т) Р -нпг н„г " (Л()1 6 ТЛ = " " 24 ~, .Уй Ю г о л=п+у Е 1пя<ЫГ и!г — Л а таК КЗК вЂ” ", = 1 — —, тО Р(т) = 1 — Р*Е Г"Г' ЛЫ (дая (.ь О); ): Р п)г ' гп Оз и!г о а=п а=о =Рп —..., пгт= т Ер =пг,+ — "" + пн пр п -1 и-т !! -1 Лса +Р» ~Д~Е ~ ) гпз ~Н (и — и) Р— Р а=! а=о а=о 2 39.12.
Прнменить формулы задачи 39.11; Т = — часа. 1!5 39.13. Подобрать п так, чтобы р'е Ш" Ы < 0,01; п = 4 (см. за- дачу 39.11). 39.!4. а) Система уравнений для предельных вероятностей Лро !'Р ° 1 (Л+ др) ре —— Лр + (Ус+ 1) !гр (1 ( /г < п), (Л+Пр)р =Лр +прр (п(а<1 — 1), ~ Лр = прр, где 1= п+пг, имеет решення если 1 < й < п, если п<д<1, где ро — вероятность отсутствия требований в системе пг+ Г ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 607 6) вероятность отказа р = !1-)1; в) вероятность занятости Ро 1Л1' и!и!"" (и( л! +1 о+и -1 †) всех аппаратов р' ~ Р = Р ' ' тде Рл а л ! —— пИ и-1 ) Р, 1 Р'е-И' ~ ( !)! ~Я~ ~ Л) 1 (тр0).
1 — — ! е пИ д) !и, = ",, ~ — — (и+1)~ — ) +и( — ) !по= и, + -о (з-1)1 (и) 1 —— "И л-! ем=~~ —,~ — ) Рь о=о 81, 32 . , 52, 264, 1550 о — 665 665 — 133 — 665 — 665 39.16. Система урзвнений для предельных вероятностей иЛРо = ИР! [(и — п)Л+пр[р„=(и — п+1)Лрп !+(п+1)ррл+1, ирри Лри- ! имеет решения рп-С" ( — И) ~ — '), ПРл (() 39.17. Система уравнений для вероятностей Рл(т)! — пЛР„(!) + (и — 1) ЛР„, (!), Ври начальнмх условиях Рл (О) =би имеет решение Рл(!) = е "о(1 — з Л!) 3933. Система уравнений — -ИР (!), 3Ро (т) о(! о(~ л (О оИ = — п (Л + И) Рл (!) + (и — 1) ЛР„! (!) + + (и + 1) Ирл+! (!) (п > 1) Отпгты и Решвння 608 ирп начааьиыя условпял Рн(0) = он, решается с помощью произ- водящей функции б(1, и) = ~~р[ Рн(1) и", для которой получается о=о дб (1, и) дб (1, и) ш фференцпальное уравнение ' = ().и — р) (и — 1) д1 ди с начальным условием б (О, и) и.
Оно имеет решешсе б (1, и) 'х + и !1 (7 + Н) и! Где ! — сс).и 1 — есь-и!' если 7. чьр, и — ),ео.-исс ' '[ — если 7. и, 1+91 ' на которого следует, что Ро(1) =ри, Р (!) = (1 — 7ги)(1 рн) (йи)н-! (л) 1). 39.19. Система уравнений дРо (О = — ).о (1) Ро(1) — 1' — —— — 7 н (1) Рн (1) + й и - ! (О Рп- ! (1) (и ~ ! ) арп И! ! нрн начальном условии Рн (О) = Ь„о имеет решения: Ро(1) (1+а!) Р„(1) гн (1 д- аг) -[и+ — ) (!+ а) (1+2а) ...
[1+(п — 1) а[ й 40, Непрерывные марковские процессы 40.!. а (1, хп хи ..., хн) с[1 (1, хп х,, х,); Ьп (1, хп х,,... хп) с)1 (1, хс, хз, °, хсс) сГ! (1г хс, хз, ..., хп). 40,а а1(1, ль ..., хп) с[ (1, хп ..., хп), у = 1, ..., л; ано! = з ч-о = хн+„ ап,, хпсз! апоз — ихн+! — '" «и+. — Ъсхпоз! Ьн„,н+з —— сг, остальные Ь11 =О. 40Л. (7 (1) У! (1) — компонента двумерного лсарковского про. месса, для которого а, хд а, — (а'+[У) х! — 2ихд Ьи с-"; Ьлз — 2ас', Ь„= 4и"с'. 404.
а1(1, хи ..., хсс) =!ус(1, хс, ...,хп); Ьсс с)сс(1, хс, ..., «сс). 40Л. Марковский процесс имеет г+ и измерений; а) = -с( (1, хи ..., х ), /=1,2, ..., г; а гг х,+!+и 1=1,2...„и — 1; н аггн ~~~ сг !по! 1«1! Ьгср,г+о сггрсгочг и 4 и ш ''' и с=! л-! остальные Ьсс=О; здесь г,сл=!Ьст-сс —,~~ пл-с'1 г. 1 н — и ответы и оешении 609 1 1 1 и 407. 02)1 — (г~+ — )' 2(у»21(2)1 ()~ = — ср ((ус) + — »с (1). гдз и 11 11 11 :, (т) и 2»(т) — взаимно независимые случайные функции, обладаощие свойством «белого щтмаы Ус /' а2 2 40.8.
/(уи у») =сехр — — 1 са(т)) сс11 — —, уз, где О» .с 2ат лс определяется пз условий нормировки. При 0(с) = 0«и" а»(1» ч а' 2 ) 1 2о» )с н 1 с=«секр«( — — у,— — у )1,с = — —" ( в иди. 4о» 2а» ) а )' а)3 40.9. У(у) = — ЕХр(2 1 — стй . Гдс С Оиредепяетея ИЗ 1 ~ , (0) %'(у) ' ~ / $00 условия / У(у) ду = 1. 4ЭЛО. Обозначив Ь'1 = и (1), (г» = (с'1 — (с', лля (т» получаем уравнение. пе зависящее от (ссс. Уравнение Коамогорова для (с'2 ду д ГГ у, 1 ) ) 1 а' д»У будет — — с ~ — '+ — Г(у,) ~ с 1 — — — — „=О, его дг дуз (е ссС С ~' ) 2 пгсС ду '" и""и"*« "'и" с(с»=""«( —, с1 —, С «с«)а), о где с определяется из условия нормировки. Искомая плотноссь вероятности у (у) сеть композиция у (уа) и нормального закона распределения с нулевым математическим огииданием.
В упомянутом ~ гт 2п)1 частном случае у(у ) =с, ехр1 — —,— —,, — у;,(1+зиву ) ', и» сд 4 иа! с ,';е '' ' + ~У2а+2ад21-1-1 ( ' с,а)'21+2ав)2+1/) И 11» аис ас ,за»залп»1) щ Кс ата 4ЭЛ1. у'(т, у) = ау 21«а«ь«аи ааз+ тат 40.12. Уравнение колмогорова для (с'=ехр ( — аУ) имеет в1щ «ии — = — — ~(у)ну — ас»1«) е ~+ —,1 а! а=' —..Стацпоиар- 010 ответы и Решения ное решение: /(у) Ь/ ехр — —, ( уо !(!и у — — !— [ (Фо/7) от ( 1 2/ — 2а!о/7е аоу~, где от= — е'о '[Ео( — аоот) — 2[пан-05772!...~ а (ср. [44.
стр, 243). ) Р 40.13. 7(у) =сехр — —, ! !Р(о)) до) 2 /' где с = ! сгр — —,, ! ое(о!) ао) о/у. 40 !4. Уравнение Колмогорова: — + — Па (т) + р (т) У[ у)— д/' д дт ду 1 до д , [у'('т) 1) =0; уравнение длн характеристическоп функ- 2 ду' дЕ дЕ то Пии Е (т, е): — — /еи(т) Š— е[! (т) — + —, е'Е= О, Е(т, х) = дт дх 2 т )'!! !тд ет, т! =- —."*"" '= ('~-Р "( ( т, х (,! ~ъ ( Х'*о — 2! ос )о,(ЕС,>о 40.!5.
Уравнение Колмогорова: д/' дт !Р-ГР— е г 1о дУт о У ни 1 д — — (уу)— Т, оу 1 — г, . 2 у=хе .;=,' 1,— "'"3. 40.16. Обозначив (/! (/) = (/ (/). (/! (/) = () ! (/), для коэффициентовв уравнения Колмогорова получим: а, = — х„а, = — 2Ьхо — Ьох!! 1 ! (у — у!) ЬИ~О„' Ьм— - 0; Ь„со; у(т,у,)= ехр о Р'2п ~ 2о", где у,=хе ~соево(т — /)+ — а!по!о(т — /)[! о! 4ЬЬоХ вЂ” -Л!т-О ! Ь ооо Х ~(! — — — те '/!+ — те '(Ь сов!лоб! — мое!п 2ооое!)~; т,=т — /; Ьо ! Ьо о!о = Рга' — Ь'. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 611 ду д с' до/ 40,1Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
