1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 78
Текст из файла (страница 78)
30.13. 1) 3100; 2) !500. ЭОЛ4. Во всех трех случаях предельная характергтстшческая и' а функция равна е т. 30.!5. Пш Е (и) = е а -+ Глава УИ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 3 31. Общие свойства корреляционных функций и законов распределении случайных функций 31.1. Обозначая закон распределения второго порядка длв случайной функции Х (1) через у (х,, хт [1ь 1«), по определшшю К, (1п 1«) имеем К (1п 1Й =- ~ ~ (х, — »И (х,— х,) 1(хе х,[1г 1т) г(«, ~(ха Нримененне неравенства Буняковского даст ~ К» (1п 1т) [а ~< ~ (х~ хг)»' (ль хт[1~ 1т) пх~ гтхт ~ ~ (хз -«' ) Х Э г У( У[»т, Х ~1п 1 )Г(Х, «(Х = О„п.п,, ЧтО ЭиппеаЛЕтциО ПЕРВОМУ неравенству.
Для доказательства второго неравенствз достаточно рассмотреть очевидное соотнош:ине М [[[Х (1,) — х (1,)]— — [Х(1т) —:(гт)] Р] ~ О. 31,2. Доказынается аналогично предыдущему. 31.3. Следует нз определения корреляционной функции. а 3!.4. Так как Х(1) = ~ Л1+с, где« вЂ” неслучайная постоянная. 1-1 а и — число скачков зз время 1, то Р [Х(1)] = — М [по'] = ).1пй 3!.о.
Корреляцпоппаи функция К, (т) равна вероятности того, что за время т произойдет четное число перемен знака, за вычетом верояпюсти нечетного числа перепев знака, т. е. Ъч(1.х)'" ьд Ъ~ (йт)-а ' » 1 (2п)! а 1 (2п т 1)! а=о е=е 3!.6. Так как М [Х(1) Х(1+т)] отлично от 0 только в том случае, когда оба конца интервала т попадают в одни единичный интервал. вероятность чего равна 0 прп ! т) ) ! и (! — ) т[) при [ т [ ~ 1, то при [ т [ -'; 1 К, (т) = (1 — [ т [ ) М [Хт] = (1 — [ т [ ) »Х 573 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Х ,~ / ла е ллх=(7.+2)(3+1)(! — /т/). Следовательно, Г (л+ 1) а / (й+ 2) (й+ 1) (1 — / т /), / т / < 1, Кг (т) ( О, / т / > 1.
31.7. Обозначая 6, = 6(/,), 65 —— 6(Г, + т), для условного закона распределения 6, имеем г (О, / О, = б') = ' ', где У(оь О,) У <О,) У <Ог, Оа) — ноРмалытый закон РаспРеделеннЯ системы слУчайных величин с корреляционной матрицей К <О) К <т) Кв (т) Кв (О) Подставляя данные из условия задачи, получим а Р= / У<О,/О,=б)поз=-,.-/1 — э<2,08)/=0,0037.
! 15 31.8. Обозначзя углы крена в моменты Г и 1+т через 6, и 6, соответственно, а их закон распределения через у (Ое Оа), для условного закона распределения углз крена в момент второго измерения ~7<0,, О~ЛО, получим аг (Оа / — Оа ~( 65 ~( Оа) = аг (01 От) г/Оа а/Оа -9 -аа Иско- мая вероятность т вз ов ! Кв <О) О К„(те) // л/1 ~/ = ~ о 7(о (о) к (та) Кв(та) — Кв <та) Ко (О) 31.0. Обозначая Ха = 6 (1). Ха = 6(Г), Ха = 6 (Г+ та), для корреляционной матрицы системы Ха, Ха, Ха получим 574 Ответы и Решения что после подстановки чисел дает 36 о збе сз 0 36(0.25а+1,57с) 0 36е 0 36 ~1лл!! = Определяя по закону распределения У (хн хн хт) условный закон распределения у'(хо х,, х,) с(хт У (хэ ! х, = 2, ха > 0) = о Г у (Хн Хн Хс) йхт с(ха Лкс!тк т. е.
Т(т) = е и' 31.13. у'(и) = е 1 !6,8)г 2гт й 32. Линейные операции иад случайными фуннциями 32.!. Так как Кк(т) не имеет разрыва прн т=О, то К. (т) = — — „К„(т) = аа е "! т ! (1 — а ! т ! ). к 322. К„(т) а(аа-(-йт) е е!'!(соа 6т — — з!и() ! т !), 0 (у(г)) К(о) = ( '+)р). для искомой вероятноспь получим |о Р= ~ У(хт! х~ =2, х, >0) ахи =0,958. -ы 31.10. у(т) = а(!) х(!)+а(т); К„(то тт) =а" (т,) а(тт) К,(то тт). 31.11.
7(х)йх= ~ / уа(а)ув(6) с(а 30; хаасс Е<кькк кс у(х) = е 1 о)'2и 31.12, Вероятность того, что интервал Т будет заключен между т н т+г(т, равна вероятности того, что в интервале (О, т) будет а точек, а в интервале (т, т+ат) — одна точка. Так как по условию втн события независимы, то Р(т(Т ~ т+ат) = — е Лг(т, (Лт)» л! ОТВЕТИ Н РЕП!ЕННЯ 32.3.
Пользуясь опраделением корреляционной функции связи, — ссХ(1+ т) 1 получим К ° (т) = М ~ [Х* (С) — х" ] — — М ЦХ" (1) — х"] [Х(1+ т) — хЦ =- — Кк(.с). ас йс 32.4, Так как любая производная К»(т) непрерывна в нуле, то Х(с) дифференцируелса любое число раз. с(л 32.5. Два раза, так как — гК (т) [ и — „, Кк(т) [„сущслтз ствуют, — Кк(т) терпит разрыв в нуле. 32.0. Существует только сттз аа первая производная, так как —,К»(т) существует при т=О, из а — К»(т) терпит разрыв в атой точке.
,ттз 32,7. Кг. (Т) =агат ('с — С ) е а[т сз[. 323. р [у(г)] = аз, Р [Л(!)]=а а . 320. К (т) =2и~огаге "т' (1 — 2агтг), 32.10. Закон распределения ) (о) нормальный с дисперсией от = а(а +52) и о =О, со=0.3085. 32.1!. е (с) = л'(с) + )' (с); Кк (гс гг) = К» (сс гг) + Кг (сс сг) + + К »Г (!1. Сг) + гткк (11 Сг).
и и 32Л2 х(ф Х хс(Р Кк(с ° 12) — ~~ К (11 с)+ + 2л~ лл 'лк к (сг' лт)' 1 2 1~) с!' 32.13. Кг (т) = К» (т)+ —,К»(т) + —, Кк(т). 32.14. К (т) =о;е "!'! ~1+а] т]+ — а'т'+ 2а' аа -[- — (а'т' — а [ т [ — 1) + — (а'с' — 5а [ т 1+ 3) ~. 3 3 сз 32Л5. Так как К,(!Р сг) ~ ~ К»(12 — !1]с(!2с(!1', то, полагая о о 1, = сг = 1, переходя к новым переменным интегрирования и выполняя одно интегРнРование, полУчим Р [У(1)]=К„(С, 1) =2 ~ (1 — т) Кк (т) г(т.
о ОТВЕТЫ И РЕШЕН!!Я 32.16. Рештя задачу аналогично предыдущей, после преобразог, вания двойного интеграла получим Кх(т! т!) = )! (т! — Т)КТ(т) "т+ о гс-г, + / (!! 'с) Кт (с) дт — / (! 1! — т) Кт (т) дт о о 32.1Т. (1хг (!Р 1,) =- ) К„(ги;) д;-. 32,18. 0 (Г(20)) =1360 еж'. о ! 32.16. у(!) =а,.х(!)+а, ' + Ь! / е г' х(1,) И!+с; ст! о 2 (дКх(!! Тт) аКх(т! 12) 1 К,(тг <,) =а.Кх(!г 12)+аеа! ~ — '' — т+ ст, + а! ' г * -~- асЬ, ! е Кх(гг 12)д(с+ 2 дтК;(г! 1!) 1 г" -гг,' а!г дг, е г е ).о сг! 'г г, + / гг2 дК (ти 12) '~ „2 / / г.(! г2): (' ') о дт! е о 32.20.
)1тх(сг, !!) = ас "( ' ) +ас! х(,' т) + д!г дг2 дтК„(!р 12), деКс(!и !!) дт! дгг д1! д!2 3221. Так как дисперсия 0 (О (!)) мала, то а!и О се О, 0 [ Ю (1)] = ! =-28! ! (! — т) Ка(т) дт = — (! — — (1 — е )г, что послепод2йсса ( 1 „,) о ( а о стаиовки числовых величии дает аа 1,86 лсссеа. 32.22. Используя определение корреляционной функции как ма- тематического ожидания произведения отклонений ординат случай- ной функции и формулы лля моментов нормальных случайных ве- личин, полУчим К (т) = а Кос~~!(т)+Ь Ка(т)+ 2с К„(т) — йаЬКВ(т). 32,23, Ка, (т) = 2атКВ(т)+ 2Ь Кт(т) — с- Ка(т) Кй(т), 32.24. К (т) = е " ' (1+ 2от (1 — 2а'т')). ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 577 32,25 Л.
() = — — аве '~'(1+о!т! — "'). 1 в -нсс 32.26. КР(ГР Г,)=а (Г,) а (Га) К (т)+О (Г!) О(Г2) а„с + (т) ). (а* (с,) ь (г,) + о' (с,) а (г,)) 32.27. Не существует. 32.28. а) Стационарна; б) не стационарна. 32.29. ав =6,5 10 о~ (0,1à — 0,2+0,1 сов (2,4ь 10 ~С)— — 80в!и (248 ° 10 ~С)). При с= 1 час. о, дт 15 ан.
32.30. 0(а(с)) = а,Г! 0(6(Г)) = Ьсе! а! = — ~ )(сов):,т+2))с 2 с" нр о 1 в в сов дт б — й агсв!Вл (т)+А — "агсв!Вссб(т)1 стт! ' р 1 2 сг — !Е(совхт+2) — !с агс в!и!с. (Т)+г! асс в!и!с. (Т)~ сгт. 2 ' 1 т, всов)т лсу,/ ~ (с 2 о Ф 8 .. (т) и Гс (т) — иорнировапные корреляционные функции Ф (Г) с с8 (Г)! Х = Р рд. а' 32.31. 0(а (Г)) = ~ ) ехр(а'(тс+т,)+ 4 (Зсг(тс)+ о о Т-Зсу (тс) — со (тв — с,)) К„(то —.с,) с(тс сгтс, где ср(т) = 2 ~ (с — тс) К (с!) ато о 3 ЗЗ. Задачи о выбросах т ЗЗ,!. та=!ОВ(1 — Ф(1))ев =16,45 сек, 33.2, 0(сг(Г)) = = 0,25 слгс7секв, 33.3. Число выбросов снизу вверх за уровень а = 25' равно числу выбросов сверху вниз за уровень а, = — 25'; следовательно, ос 1 с — зо исковое число выбросов 2Т вЂ” )с ас + 5' е = 11,9 раза.
2а 33.4. — еоо 1 — бс — )~ =9,91 сек. 33.5. Начиная с = (~го! Тр„— ав) 37 В. г. володин н дР. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33.6. Задача сводится к определенню числа выбросов случайной функции Х (Г) за у ровни тзг — вверх и — ~ — (вниз).
/ жэ ыо Г Ответ: — У а'+ оз е 33.7, Так как радиус кривизны тт равен —., точувствитель'у (г) ' ный элемент будет докодить до упора, когда Ф(т) выйдет за преп 1 делы полосы х —, что дзет в единицу времени — )'а'+От )С тсз Д ог ( 2+ 52) )(2 а' 1 33.3. При К) 54,5 лс 33.9. О = екр — — е ЗЗ.!О. Обозначив плотность вероятности системы нормальиык величин Х(1), Х(Г) н Х(т) через у(х, хи хт), для искомой плотности вероятности получим ~ у(х,б,х,)Фхз о ~ у' (х, О, хэ) охз лх Учитывая, что корреляционная матрица системы имеет вид к,(о) о К,(о) )~ о к,(о) о к„(о) о к!ч (о) 1л)!Н = 1 —,„г после интегрирования получим у(х) = — е " ~1+Ф/ — 1).
) 2па ~. ( '2еЦ х2 33.11. у'(х) = — е ~ ~! — Ф ~ )1. Е / Р(Х()) У' Р.-О О (х (г)) ЗЗЛ2. Искомое число равно числу выбросов (в обе стороны) за нулевой уровень; следовательно, о79 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33А3. О о 1 (" 3"' )' 1' Азз Угзх. + Аззаз+ Аззхз ) и=р + ~ Аы Уазаз —.4ззхз — А45х4 " >( /~ азхз Х р Аыбз 1 Г 2 2 (Аззхз+ А45а4) 1 )( е хр ~ — — [Ааааа+Аззаз+ 2 Аазхаа4в 24 ~ 3 .423 где «33 «34 «35 и =«и««бг= «зз «ы «о, Ауг (7,1=3,4,3) 2 «35 «43 «55 Вероятность р 5(х 4(у может быть вычислена, если учесть, что (((1, 3)) дк дс дзк дзЬ однозначно определяет закон распределения дх ' ду ' дх ' ду'' Выполнив вычисления, получим: где 32 «33 «44 34 4 2 Лз = «Ц«22 — «2, 2 «И= ~ ~ 3. (оп 532)озгг(ог дзот; «2,= ~ 1 31(ог,оз)о25!оздоз; г — адгебраические дополнения определнтедя йм а «И приведены в ответе к задаче 33.14. 33.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
