1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Характеристические функции г! 16.1. е(и) =и+ реи', где !у=1 — р. 16.2. е(и) = Д ()уа+ рлег") )=1 гле Ра+)Ул= 1. 163. Е(и) =(!У+Ре!и)"; М [Х] = иР; (У [Х[= лР)У 15.7. Е = 39 м, Полу !ающееся трансценде!нное уравнение проща всего решить графически. 15,8, Е, .= и ~/):. 15.9. 1) 0,1587; 0,0228; О ОО!35; 2) 0,3173; 0,0455( 0,0027, 15.!О. р = 0,089. !5.!1.
р = 0,25. 15.12. а) 0,5196; б) 0,1281. !5.13. М [Х[ == 3 изделия. 1534, Йе менее 30 м)с. 15.15. 8,6 илг. 15,16, а) 1,25 м.и; б) 0,73 мм. !5.!7. а) У'а(х) = ' даЯ х ) У)( б) ЕО(х) ~'."~- с'. ) й)б — л ~ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 64! 16,4, Е (и) = 1 ; М [Х [ = а; () [Х ! = а (1+а). 16 5. Е(и) =- 1+ а (1 — етл) о«и«т =схр[а(еи' — 1)); М[Х[= 0[Х[=а. 166„Е(и)=ехр[1их — — ).
2 1 е!ла етлл 16.7. Е(и) =- —.; гла= ЬП 16.8. Е(и) =,; лц- 1 — 1и' ' '' 1и(Ь вЂ” а) ' Ь"' — аа ' ' '" (*+ 1) (Ь вЂ” а) ' 16.9. Е(и) =1+о )ди « ' [1 — ~1)(и)], гте и —. —, н йт(о) = 2Ь вЂ” е «1». Произвести иитегрироваиие по частям, а затем е ВОСПОЛЬЗОЗаГЬСя фарМуЛаии: ! Е х З1П2ЕХ«1Х= —,Е 'Ф(р); /' 2 е Рзд соз т)х их == —, е "Р 1» — ' (см.
Гй М. рыжик и Гй С. Грал- в штейи, «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений», Гостех- издат, 1951, стр. 200). 1и ') ~ 1. (1, -)-1)... (Д+ Л вЂ” 1) а / аа л !611. Е(и) .= — ~ епш"'ч ти!= 1,(аи). Перейти к полярным е координатам и воспользоваться одним из интегральных предста- влений функции Бесселя (см. Яике и Эиде, «Таблицы фуикцпйа, 1959, стр. 239), 16 12.
Е (и) — — ехр '[1хи — а [ и[). Путем замены перемеииь х прв/ есгл водится к виду Е(и)=е"" — /, «(х. Входящий в форт« 1 ли+ а« з!улу интеграл вычисляется с помощью теории вычетов, хля чего пеобкоднмо рассмотреть интеграл по замкнутому контуру а р е"л — ~1 †, , «1», При положительпык и интегрироваиие осущс.
.! а« с~влястся по замкнутой диаметром полуокружности в верхней полуплоскости, при отрицательных и — по такому же контуру в инжией полуплоскости. Втл и' 16!8. Е (и) = ехр) 1и (Ь -(- ал) — — ао' ) ! Ех (и) = е )! ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 16,14. !И,ь= пал(2Д вЂ” 1)!!; !!таь! = О. 16.15. У (х) (закон Коши). и (а! -(- хт) е ' при х>0, ~ 0 прн х)0, 16.16, У! (.т) ~= Уз (х) = 1 0 при х<0, ( ет при х<0. Решать с помощью теории вычетов, рассматривая в отдельности случзп положительных и отрицзтелы!ых значений х. 16.!7. Р(Х= е) =2 а, где е =1, 2, 3, .... Разложить характеристическую функцию в ряд по степеням —,.
е и воспользоваться 1 1к аналитическим пре;гставлением дельта-функции, приведенным во введеащ к 6 11. 8 17. Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин !7.1. р= !(п1Я вЂ” — 1п(и — ). 172, Обозначая дизО!! — !(О. 6)~ 2 ь2) (У (21 — (!) метр круга 1Д и интервал между точкаьш й получим р = !2 =- 0,4375.
17.3 р = 0,15 17 4. р = — „[! — !р [ В )1+ т(е е' — е е' ~+: [!1! ~ ~+ц! ~ — )~ 0,67. 17,5. В обоих случаях один и тот же результат р, =р,=0,4 17.6. Р = 1 — 2! / ~1 — ~ [Ф[ ~ ) — !Р[ -! -!. со у+ Ф е-! 128 17.7. р(ю) = и Г у(у) 1 Г у(х) Н.г Иу. 17,8, р= 1 —:т м -!- ь 0,712. 17.9. р = г, где г; = ~ у"! (х) уе (х — ха) их. чт г; 2 1кн 2 (2а)~' ~ ! 17,10, у(а)тр) = е (ать+ 1) ! 543 ОТВЕТЫ Н РЕШЕНИЯ Глава ГИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8 18. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин 1 181 у(с»,) (Ь вЂ” а)(1( — с) 0 Г (х, у) = Г, (л.) Г, (у), где при а(х<Ь, с<у<аз, вне пряноугольш!ка; 1 при х)~Ь, х — а — при а«,х<Ь, Ь вЂ” а з О при х(п; 1 прн у~з(, у — с (»)= — прп с<у<с(, й — с 0 прн у<с.
Г! (х) = 11 х 1171 у 18.2. а) А =20; б) Г(х. у) = ~ — агс1Š— + —,) ~ — агс(Š— + — ). [,и 4 2)[и 5 2)' 183. у'(х, у, х) =аЬсе икте~» "з!. 184. Треугольник с координа- 1'1 иЬс 'з 1 1 обе '1 Т 1 ибс тами вершин: ! — )п —, О, О); 1О, — 1п —, 01; !О, О, — 1и — ). 18.5. а) Г(1, У) = Р (Х < С, 1'< У) = Р(Х<1 — 1, 1'<У вЂ” 1), Зиачепкн Г (1, 7) см.
в таблице 123. Таблица 123 0,623 0,877 0,964 0,971 0,551 0,754 0,810 0,811 0,202 0,2з)2 0,202 О,Ю2 0,376 0,489 0,475 0,652 0,475 0,683 0,475 0,683 0,600 0,834 0,908 0,911 0,627 0,887 0,982 1,000 б) 1 — Р(Х (6, 1'(1) =1 — 0.887= 0,113; в) М [Х[= 1,947; !' 2,610 0,561 [ М[У) =0,504; [[Ь171)= [ .„„.
18.6. Г(ль х„..., х„) = !1 0,561 0.548 [[ П а л! =-П . = * " =,.„' 'о.) у (и, о) Гт,х)= Ц ~ Л(ы)с(е! !87 1'= (и „)+у(сз и !=! 1= ! — зЗ 18.8. Р = у(и, с, ш): [у(и, о, ш) + у(и, ш, и) (-,7(сч и, ю)+ +у'(о, ш, и)+7(ш, и, о)+7" (ш, о, и)[. 18.9. Р=Г(а! Ьз)— — Г (а„Ьз)+Г(аз, Ь,) — Г (аз, Ьз)+Г (аз, ЬЛ вЂ” ь (из, Ьз)+Г(а„Ьз)— — Г(а„Ь,)+Г(а„„Ьз) — Г(из. Ь,). 18ЛО. Р=а ' — а ' — а '+а 544 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 18.1 !. гсвг 4аЬ 7!г — (я — 25+ з!п 25) 4аЬ вЂ” (и — 2а — 25+ ып 2а + з!и 2[)) 4аЬ при 0~)7 =Ь, при Ь ( )7 ( а, гтргг а (7,.
]Г ~~2 ! Ьт б) р = — „~! — — ") 1 — О,, 2 о !8.!8. М[Х]=М[У]=О! у(х, у)= и, "и — 3 0 1 .=. соз х соз у; М [Х] = М [У] = — ' — 1; )] lгг ['=-] ' 2! [ / (г 5 5 ! !83). р= — !Е! — 1гг 1 — — + — агсгоз — )!. 18В!. р= — )4 ий'г т Р ! ' 1]' '"' илб ', [2 (а + Ь) — !]. У к а з а н и е. Воспо.чьзоваться формулой Р (А+ В) = Р (А) + Р(В) — Р(АВ), где событие А — пересечение иглой стороны а, событие  — пересечение стороны Ь.
5 19. Закон нормального распределения на плоскости и в пространстве. Многомерное нормальное распределение 19.!. В (х, у) = — ] 1 + Ф ~ ]1 [! + Ф ( ]1. 1 при Р 7 ]'ат+ Ь-', а 6 3 Прн этом а = агссоз —, ]) = агссоз —. 18.!2. а) с = —; )7' ' ' яг7л 1 и +! при — с О, 18.13. а) г„, =- ' и — 1 при — >0; гл ох ! и б) — = ~ — !. 18.14. Рассмотреть лгатематическнг огкилаиия кваат ~ги лратов выраагений о (Х вЂ” х) +о„(У вЂ” у) и ог (Х вЂ” х) — о,(У вЂ” у). !8Л5. Воспользоваться соотношением Ьг = М [ХУ] — ху. 1 — 05 05" 18.16, ] г,.] =,! — 0,5 ! 05 „' 0,5 — 0,5 ! 18.!7. а) М [Х] = а+у = 05: б) М [У] = а+[) = 045, !)[Х]:.—.
(а+У)(5+Ь)=0,25; ()[У] = (а+[))(Х+д) =0,2475; Ь„т — — М [ХУ] — М [Х] М [У] = а — (а+ у) (а+ [)) = О,!75, отввты и гвшвния 2 !Гх-282 1х-28НУ+121, 1У'121л~ 3 ! 188 182 ' 1аа !82. УЗ 0,132 — 0,026 193, а) с=139; б) (1хгг(~='! ' ' „!' 8) оал=О!62. ', — 0,026 0,105, 19А У(2 о)= =0,00360, !9Л У(х У, )=, - —, )( 1 2ле')' 2 2л)г230л — 131глаабуа ' салл2 игу аахх-38ул1 1 ! 2я)г 230л 19.6. (! 2 — 1 0 0 0...011 — '1 — ! О О ... 01~ 0 — 1 2 — 1 0...0", а) (!'1,— 1.11~=(~ ΠΠ—.! 2 — 1 ... О ' 000 — 12....! ' ' 'о' ' о ' 'о' ' о 'о' . .'.' ! (~ и 1 т~ — 2 (х,.—.кг,)' е б) г (х,, ..., х„)=., где ха=О.
(2л) ' 19.7. !О О 2 О~ ! ! О 10 0 2. О 90 011 0 2 О 1О у'(хо у„.к, у ) = —,, е 19.8. Р (гг) =- 1 — е 1926 Р (х) = 1Р (й) — — е 2~й ')гл га12л 62 19.10. Р(й) =е 6 ~ г'а ( р ~е гЛ, тле г'а(х) — ф)'ок- а 1 цгга Бесссла ининого арг) 11енгг1. 19.11. а) Р (Х < Р) = ! ! Г- !'с — х! -,е —.1', б) Р(Х< О, !'>О) =- „19.!2,Р=- 62! — ) — 1!1~ —,)~ Х ОТВЕТЫ Н РЕШЕНИЯ Х ~Ф~ ! — Ф( )1=0,0335. 19.13. а) Р р „— — 1 — е Р' 0,20351 б) Рпп = ~ Ф(," Д =0,2030; Е) РпРпы=Ф~ 2 ) Х - )Р~1.
дп ) ХФ( — /=0,1411. 19.14. Р = 0,511 — е 2 г 1 л' 4~ г 2н 2ргг(г, Г 2 р'Лг 19.!6. А=44(л; а= Е, 1+ — ' Р=Ех 1+ —, ЗЕ (44 ЗЕ1 х г 19!7.Р=19( — 1Ф~ — )<Ф~ — ~Ф~ — ~, так кака>е 3>е. х х 19ЛЗ' Рпып = ! 47 — 34) (1 — д) — 347 ((Рг+Ра) + 2ргр ) — Рг = 0,379, Р „= р.„+ЗР;(ра+р4)+ЗР4РВ 0,007, где рта - 0,196, рг — — 0,198, Р, = 0,148, Рг = 0055, 47 = ОАОЗ. 19.19. Р = — [Ф(14))'. 8 --'="Л- — "' " '-Р( — 'И' 4гг '1 б) Р= — 11 — е 2Н 19.23. 25 (х, — 10)-+ 36 (х, — 10) (хг — 10) + 36 (хг — 10)' = 7484,6, 19.24. 16(х — 2) +5хгг+16(ха+ 2) + 8(х1 — 2) (ха+2) = 805,1. 2 1925.
~ (х,— х1,)' =:!5 — — 1Е(2л)~. Задача не имеет д'Е ' !Ее 1 2 г=1 решений прн л > 12. 9 20. Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и усчовные законы распределения 20.!. 1 при а, (х~(аг 51 <у~А 7" (х, у, л) = (аг — а4) (1гг — 51) (сг — сг) сг ~ е ( сг, 0 ене параллелепипеда; 547 ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ ( ) 1 1 при Гг ( у ( Ьг сг ( л ~( сг ( , — ,) (с, — с,) О вие прямоугольника; 1 — Ври с, (л (с„ с,— с, 0 вне интервала. Случайные величины Х, ); Х независимы, у (з) = 20.2.
При ]х](гг, ]У ~ (гг Ул(х) = 11,, уу(у) = 2 )г гг' — х' 2]/й' — у' 1 ] х х / ха 1 1 Г„(х) = — агс з1п — + — 1 1 — — + —, ) (У) = — ] агсз1п — + — ]г 1 — — г+ —,; х и )' зависимы. Л У(1' Л 3 2' так как д (х, У) т- уг (х) у'г (У). 20.3. 1 при ]х] < Л, 2)~Л' — хв 1 — [Ь (у + гг) + Ь (у — (()] при ] х ] = Р, у(у] )= при ]х] > Л, е (л) — дельта-фупкциа.
о Х и г' ие коррелировгиы. — "~! — внутри квадрата, 20.5. а) У (х, у) = е' 0 впе квадрата. Внутри квадрата: 6) у'„(х) =,, у'„(у) =,; в) у(у] х) =- , у'(х]у)= '; г) ()]Х]=0(У]= —, а)' 2 — 2~х] а)с2 — 2]у] 12 Ллг =О; Д) слУчайные величины Х и У зависимы, но ие коРРели- рованы. 20.6. у (л)=, при ]л]< дь, у(х, у]л)= ч(г(г л ) 1 -к1 прк ] л] < К 20.7. й=4; Ул(х) =2хе " (х>~0); Уг (У) =2ул з (У > О)1 гг(х] У) = 7 ° (х)1 У (У] х) = Уу(У)1 йй]Х]=й((у]= —,"'; 0(Х]=(у]у]=1 — 4: л.~ =Ос 548 ОТВЕТЫ И ЕЕ!ПЕНИЯ 20.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
