1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 72
Текст из файла (страница 72)
8) — пз 8 деталей л штук исправных. Собыспс Л вЂ” пз взятых четырех деталей трл 1 исправные: Р(На) = —, Р (НГ ! Л) = 0 (у =-О, 1, 2, 8), Р (На ! А) = 9' фф' С' :(Е=З, 4, 5. 6. 7), Р(А)= — -.—; р=Р(Н,(А) — + 1 3 о' ' 4 л 1 3 Р (Н„! А) 2 14' р 0.0 1 ! 0,05 0,1 0,2 0,4 ! '"' 0.6 О. еи,, Оп%за ! ~.вв) Оа92В 0,9940 0,9990 !" 0,9718 8 !2 Оо 813 073 8 !4 Рс 1 е-оот" (и > 10). Си. таблицу 114. Таблица 114 90 ! 100 1 10 ' 20 ! 30 40 70 ( 80 50 60 0,63 0,70 ! 0,75 0,80 ! 0.02 0,18 0,33 0,45 ~ 0,55 0,84 0,86 9 8. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях 8!.
а) 09' = 0656; б) 09'+4 01 09а = 0948. 82. а) С1о —, 1 =-. С; 0,01з 0,99!~т =1.35е = 0,18; б) р = 0,09. 8.4, 0,17, 8,5. 0,64. 86. а) 0163; б) 0353. 87. р = 1 — (08а+4 Ойа 0 2+5 08'.02а+ а 8.8. 1ра = ~~ С,',"р~д" [1— м.=о — (1 — — ! ! = 1 — (1 — — ! . 89, р = 1 — (07'-(-4 07'ОЗ. 04) =. 0,595. 8.10, Гипотезы; Н, — вероятность попадания при одном выстреле равна 1 2; Н,— оиа равна 2,'3.
Событие А — произошло 116 попаданий. Р ГН, ! А) = 2Р (Нт ! Л). т, е. вероятнее первая гипотеза. 8.!1. Сп. таблицу 113. Таблица 113 ОТВЕТЫ и РЕШЕ!и!и 835. Р=1 — 095!о=04. 816. Р=) — 09!=041. 817. р= 3 Рао+ 3Р2!о(Ро+ Р !!+ 3Р Р 0 0935 8 18 а) Р ~~~ Рз арЗ а а=о = 0,311; б) 0,243. 8.19. 0,488, 8.20. Собьпие А — изготовлено два хороших изделия.
Гииотеза з Н1, — изготовил й-й рабоиий (а = 1, 2, 3); р = ~ Р (На ! А);< а=! ;;Р (А ! На) тОГ22. 8.21, а) р= —, =0794. 6) бр4 ври+ О. 1 1 74 2 061,1822 Р,4!С!4,!С!42(Сзз,з(2!22)0723. Р11 — — 0,277. 8.23. р =- —,„С.",„а, 8.24. 0,784. 8.25. По 200 вт (Лв. ! — — 0,394! 7!»о. 2 — — 0,117), 826. 0,64. 8,27. 0,2816, 8.28. Р,„= лС",и ~!р~!)~ а ири 22- ! 22 — 1 и! )~ й; Рт = 0 ири гл < Л. 8.29, р = У Рт = лра ~ Сат ~19'а т=а л» = !» 8.30.
Должно быль 0,1 2а0,8а !11+ — +,, 1 ! и Р) 25. л л(л — 1) ! 4 32 8.3!. Долзкио быть 0,99 5»о 4.'о+ С!о4!+ ° + Са 41о-а, л 5 8.32. Р4 о — — 0,30-.4. Р» 1 — — 0,4404, Р». 2 = 0,2144, Р4 з = 0,0404, Р,!! 4 — — 0,0024. 8.33. 0,26. 8.34. 0,159. 8.3о. 957144.
8.36. л = 29. 8.37. л >~10. 8,38, л>16. 8.39. 8. 8АО. 8. 8.41. 8= 4; р = 0,25!. 8,42, !»ь = 3, И = 1; р = 32781. 9 9. Полиномиальное расиределение. Рекуррентные формулы. Производящие функции 9 ! Р=)'з;д,!+2риз,т,о=об'243 92 Р=рз; 1,1, 1+Рз;2,1, о+ 9! 1 9! -';Р» »,,о=0,245, 9.3.
а) Р = —,, — „= 0,085; б) р= 6 4!3 2!)С 10! ; —. = 0,385. 9.4. р =- —.— '0,15 0,22 ° 0,13 = 0,13 10 4. 9,5. р = !в ''Зт ' ' ' ' 6!3! — 2 (0 0664'+ — 0 2561'+4 00664 02561'+ б. 006642 О 256Р+ 1 -1-4 0,2561 0,0664') = 0,933. 12! б! 121 1 9.6. а) Р = —,6!2 — — 0,00344; б) = — °, ', —.„= 0,138. 2 2! 2! 3! 4! 6" !!ты л" 97. а) р! —— б) р= бр!! в) р = (!+ т+ л)! 4 и ».л~ (1! + и», + л,)! !!'т "илл' (! ! т ! л)1,,'»л,»-а» ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 527 1 1 98 р=рл Ра= Ра-! — +(1 — ра-!) 2 =05! Я=05. 9.9, Пусть рл — вероятность ничейного исхода, когда сыграно 29 1 результативных партий; рае! = — Ра (к =О, 1, ...), р,=1, рл (1)л ! 1 1 т2) ' 2 2" — — Р= Рл-! = 9.!О.
Чпсло и должно быть нечетным, Пусть р„— вероятность того, что после 2й + 1 партий игра ие закончилась; р, = 1, и-3 "=Й) ('=" — и')'=-' =з=йФ ' 9.11. Пусть ра — вероятность разорения 1-го игрока, когда у него й рублей. По формуле полной вероятности ра = рраьг+ дра Р Кроме того, р+д= 1, р,=1, Р„е =О. Поэтому !7(ра — Рл-!) =- 1 Ш =р(ра,— рл). 1) р=!7. Тогда ра=! — йс, с=- — „,,т.е.
Р1= — „ и р =, 2) р~ л. Тогда ра — ра ! = ! — ) (р, — 1). Суаснируя эти равенства от 1 до н и от 1 до и+лг, получаем 1 — р„=. -~-',)л -®лем =(1 — р,) Р, 1 — р„ь, = (! — р,) Р . Поэтому 1 —— 1 — ~ Р ! ( р)л! !)~ л Р1= „„„, рц=! — Р1= -~-:)"и -Ф" и 1 1 9.12, Р = Рвй Р,„= 0 при и ~~ и; Рл = —; Рм = — пр: 2л ' 2л и < и ~ 2н — 1. В общем случае Рм определяется нз рекуррзнтной формулы Р = — Р,„, -(- — Р„,-(- ...
-(- — Рм „„,, кото- 22 ' '' ' 2л-! рая получается по формуле полной вероятности. При этом гипотеза 1!л — первый противник победителя выиграл л партий; ,1,л-а а = Р(ууа) ~ — ~ ~2~ о л !) 9.13. Ра — вероятность того, что придется играть ровно к партий. При Гг =. 1, 2, 3, 4, 5 Ра — — О, Рб = 2р = †, Рт — — 2Сьр д = — „, а 1 ! б 3 2!' т ь' 2б' !б ' б 2 21 7 63 ст 193 Рб=2С;Рбр = —,, Р = —,, Р = —; а) Рс=лтл Рл= —,'' 2! ' э 2' ' 'б 2а ' .2а " 256 ' а=! 525 отввты и пгтпсмия 1 б) если и почетное, то Р»= О. При четном и Рл = —, р„, где рв — вероятность того, что после 2Л партий противники 44меют рав- 1 63 ! пое число очков; рэ = С,'о †, = †., рэ,, =- — рэ, т. е рв == и ого = 2э Я (Л = 5, 6, ...), Рл == — —, Я 22 9.14.
Разложить (1 — и) ' в ряд и найти коэффициент при и"'. 9.!5. Тзк же, как в задаче 9.14. 9.!6. Искомая вероятность равна свободному члену в производящей функции » (] ] и)в» а(и)= „„('и+2.] ) = „„';, — — л С,"л. 9ЛТ, Искомая вероятность рзвиа сумме коэффициентов при и 1 1 3 в степени ие меньше ш в функции П (и) = ~ —.
ив+ — и+ —,+ ~]6 ' 4 Ь 4л 1 1 1» (1 + и)'», 1 т — + — ) 4и ]бит,) (4и)™ ' 42" , р= —,, С, Пр44п=-и=3 а = 244« 4» р = О,ОУ3. 9.!8. Искомая вероятность равна удвоенной сумме коэффициентов при и' в функции ] вв а ( ) = -„— „] + — +3) го ш-ю 20! ищ»320»4 524 .й ! ~й ш]л! (20 — т — и)! »4=э Л=О 8 20! У 346-2» 52' лЬЛ (4+»)! й! (16 — 2/4)1 а=о 939.
а) Искомая вероятность рч,„„равна сумме коэффициен- тов при иеотр44цательных степенях и в функции ] ! 124 (! ],)4в С (и) = ] — и+ — + —,) 4 4 4и 2) «2'и" 4Э Л= 24 ОТВЕТЫ Ц ЛЕШЕМИЯ 529 б) вероятность противоположного собьпия равна сумме козффициентов при и в степенях от — 4 до 3 в функции яз 1 (1 + и)го ! ч-,з 6«)= —., —.,; Р=1 — —, ч С =0,22. 4т ит ' 4' л а ЛЗ л=!3 9.20.
а) Искомая вероятность Р,„находнтси с помощью произнл (1 ва)а водящей функции 6 (и) = — л (и+ из+,. +из)л= (лг бв (1 — и)" ' ! Используя равенство „= 1+ Сг !в+ С,",~!~и .4- ..., полун)ч чаем Р„= —.(С,"„! — С„С,"„'!+С„С,"„!г — ...), причем ряд и обрывается, когда и — б(т < и; б) Ри = У Р». Используя Ф=ч равенства 1-1- С;, '+ ... + С,". ', = С",, получаем Ри = — — л(С вЂ” С С з-1-С С гз —...).Прин=10,и=20 Рз„= 921.
Искомая вероятность равна козффнцнснту при и" в функции 6 (и) = —,(1+и+ ... +и'1' = — „~ — ) 1 з б 10' 10г~ 1 — и = — з(1 — Сьгтс-(- Си з —...)(1-(- С и -! С)и~+...)1 Р =: —, (Счв — С„'С,'а -1- С'Св) =- 0,04. 9.22. а) Р, рзвна коэффициенту при и~ в функции гл г 1 н~ктл 6(и)= —,, ( ); ил!! — и)' причем ряд обрывается, когда тч — ит < и; гг " Р=-!+Рм —.й.(рл= И=п (ср. с 9,20). 530 ОТВЕТЫ Н РЕШВННЯ и21 ! 1 из!3 9.23. а) 6, (и) = о21 б) 6,(1) = †, (1 + о)', р = †, Со = 0,2461; в) 6 (и) = 6, (и) Х (1 .! иг)з(1 -(- и)!г 2 Х 62 ~ )= 322 Р Р= 3!з (С!1+3612) = 0,1585. 9.24.
Гипотеза Нл — равное число гербов стало после й бросаннй обенх монет (й = 1, 2, ..., и); событие А — после н бросаш!й будет равное число гербов, но оно могло быть и раньше. Р (А) = =,'~'„Р(Н,)Р(А~Нл), р=Р(Н„),Р(А) =Р(А~Н,), Р(А(Н„) = л=! л — Сг„лзл. Поэтому С;и = У 42С,",„" Р(Нл).ЗадаваясьрззЛ=1 р = 4' (Со — 3) = 0,1875 лнчнымн и, можно найтн р= Р(Н»), Пусть гг(и) = ~~'~ и Р(Н1), о=1 (у(и) = ~~~.
111Р!з ГДЕ Р, .=Р(А(Н). 05ЬЕДННЯЯ ЧЛЕНЫ ПРН И", 1=О получаем: 6(и) гг (и) = '~~ игз,.М р„лР (Нл) = тй и"Р„(А) = л=! з=! л =! »з 1 ът гите (2л)! -ш =-1К(И) — 1 1О(И) = 7 ! — ! —,, =(1 — и) з ! 1С(и)=1— — (2й — 2) ! (2» — 2) ! мм'" 2зл — ! й1(ь 1)1' сд»-1(н 1)1п! З=1 2(! — ц!(й — ! — 1) ! Л.'М ~н"м (~+Рм к=о 9.25. Пусть р — число голосов, поданных за определенного кандндата. Вероятность этого Р = Сира» ". Вероятность того, что » н за кандядата подано не более р голосов, равна а = Ъ'. Р». ВероятН» з =-о ность того, что нз й кандвдатов ! — 1 человек получат не менее р голосов, й — ( — 1 человек — не более р голосов каждый, а двое— й! 1-1 З-1-1 2. по р голосов, будет 2 1, „1 >(1+Є— оД аз, Рн,' 531 Ответы !! Ришп!ыя 0,01623 0,01159 ~ 0,00228 0,00114 0,02260 0,02915 0,01709 0,02312 0,035466 0,029'29 0,00571 0,01047 0,00342 0,00695 !г !з 0,05392 0,05345 0,05407 0,05450 0,05148 0,05299 0,05254 0,04890 0,04118 0,03524 0,04604 0,04986 0,04064 0,04525 !3 !3 б) Р! = ~ Рл = 0,47401, !,З! = ~ЧД~ !',)я = 0,42056; В) ПУСТЬ ал— л=о л=о вероятность набрать 14+а очков вз 28+2л для первой (подающей) коиаиды, выиграв последний ияч, йл — аналогнчизя вероятга ность дла втоРой команды; йз — — 1,З!з, а =- С!„( — ~ ( — ) + -) С! Сз ~ )' ~ )" + ( С! С)зз( ')'( ) +~ ) ' 005198 1 1 оеи !+Фл-ь!= — (ил+бе) иль! — йл != — — (ал — йл), т.
е. 1 ( — 1)" а,+8, (ил+ бл) = — (пз+ ()з), (ал — Ьл) = — (аз — (!з); рл=- л + Зл 9л 3 ( — 1)" 000148 0,10543 ( 1)л 000148 ч~т йл= ., + ' г) Ры= рл= 9~" 3"" Олч ! ык л=о 9,26. Вероятность выигрыша одного очна для подающей коианды 4 4- С,,Сш+ ... Ч 4С,,С„-+С,ц); (),= 3!!3 ! — „Х )< (4л-(-4л !Сл!С!, .(-4л зС Сз + ... +4С!' !Сл! !+Се!) (а=О, 1, ..., 13). Числа Рл н ()» приведены в таблице 115.
Таблица 1!5 532 ОТВЕТЫ И РЕРДЕЕ!ИЯ вЂ”.. 0,05257, !2и = ~ и» вЂ” 0,05286; д) Р = Р! + Ри = 0,52658, «=а = !2!+ 1)1~ = 0.47342. Глава 1! СЛУЧАЙНЪ!Е ВЕЛИЧИНЫ й 10. Ряд, многоугольнин и фуиицин распределении вероятностей диснретиых случайных величин 1ОЛ. См. Таблицу 1!6. Таблица !1д х! 0,7 0,3 0 прп х< 0, Р(х)= 07 при 0<х '1, 1 прп х>1. !02.
См. таблицу ! !7. Таблица 1!7 10.3. См. таблицу 118. Таблица 118 х, ! р, 0,1 0,09 0,081 0,0729 0,6561 0 при 0,123 при 0,500 при 0,875 при 1 при х <О, 0< к<21, 1 < хг<С2, 2<к(3, х > 3. 533 отвпты и ввшсннп Р (Х, = и) = О,бн' 04~, для всех и йл1. Р (Х, = и) = О,би ' 0,4и р(ЛЛМО) м(л!Г ~06. См. таблицу (!9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
