1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 68
Текст из файла (страница 68)
=-0,0000020 час-' (и — число испытаний конденсатора, позволяющих установить его надежность при заданных а' н !1'). Предполагается, что время безотказной работы конденсатора подчиняется экспоненциальному закону распределения. 45.16. Составить планы одиночного н последовательного контро,чя сложных электронных приборов, надежность которых оценивается по среднему времени Т безотказной работы. При Т р Т =!00 час.
прибор считается хорошим, при Т~~ :: Т, =.50 час. — негодным. Необходимо гарантировать и= — = 0,10. Учесть, что при фиксированном времени испытаний 1„прибор принимается, если —" = Т ) т, и бракуется, если Т ( У, где ш — число отказов за время Г, а т — приемочное число при одиночном контроле (ла — — 1; в случае отказа прибор ремонтируется и испытание продолжается); в этом случае величина = приближенно подчиняется закону Т распределения Пуассона.
При последовательном контроле величина 1 завис!ш от хода испытания. а) Определить время испытаний Га и контрольный норматив т при одиночном контроле. б) Для плана последовательного контроля условие продолжения испытаний 1п В ( 1пу(7, ш) ( 1п А привести к нилУ 1!+ лг1З~1)Г,+ ш1з, Для 1н Гт, 1з получить предварительно общие формулы.
з ы! ОНРедгленнс ВсРОЯтностных хАРАктсРистнк 503 в) В случае последовательного контроля определить минимальное время испытания Г, для худшей из хороших н для лучшей пз негодных партия. ф 46. Определение вероятностных характеристик случайных функций по опытным данным Основные формулы Методы определения матемапшеского ожидания, корреля- ционной функции н законов распределения ординат случайной функции при обработке серии резлнзацип не от,шчаются от не~одев определения соответствующих вероятностных харак- теристик системы случайных велишш. При обработке реали- ззции стационарных случайных функции обычно допустимо вместо усреднения по реализациям пользоваться усреднением по времени, т. е. Находить вероятностиьш характеристики по одной илп нескольким достаточно длительным реализациям (выполнение этого условия носит название эргодичности). В этом случае оценки (подходяшие значения) математического ожидзння и корреляционной функции определяются формуламн г 1 х = — / х(У)Ф, т,) з г-с К,()= — „' / (.
(г) —.)(х(с+ ) — ) )г, е где Т вЂ” полное время записи реализации. Вместо последней формулы иногда используют практи- чески эквивалентную еи формулу г-с ! К„(т) = — / х (~) х (1 -1- т) сгг — хт. В том случае, когда математическое ожидание х известно точно, г-с К„()= Т / (х(г) — х)(х(~+с) — х)сг'г= о г-с = —,', / х(О.(г+.) Ус — хз. е О04 метОды ОГРАБОтхи РезультАтОВ нАБлюдени!т !гл, гх Когда х и К„(т) определяются по значениям ординат реализации случайной функции в дискретные моменты времени Г =(у' — 1)Ь, соответствуюшие формулы приобретают внд х = — ч х(г!), гл а:й' г=! ~л-! К„(т)= — „! ~~~ (х(Т!) — х](х((!+ т) — х) нли т — ! К„(т) = — ! 1 х (Т!) х (Т!.
+ т) — Аз, где т = )!д, Т = аб. Для нормальных случайных функций дисперсии х и К,(т) могут быть выражены через Ка(т). При практических расчетах вместо неизвестной корреляционной функции К (т) в формулы для 0(х) н (д(К„(т)) подставляют К,(т). При определении значения корреляционная функции по результатам обработки нескольких реализаций различной длительности за подходящие значения ординат К (т) следует взять сумму ординат, полученных при обработке отдельных реализаций, с весами, обратно пропорциональными дисперсиям этих ординат. Решение типовых примеров Приме р 46.!. Ординаты стационарной случайной функции определяются путем фотографирования шкалы измерительного прибора через равные промежутки времени Ь. Определить наибольшее допустимое значение гз, при котороч увеличение дисперсии К„(0) по сравнению с дисперсией.
получаемой при обработке непрерывного графика реализации случайной функции, будет не больше чем на Ьуб, если приближенное значение К,(т) = ае-"!г!, полное время запнсп 1 Т)) —. Известно, что х=0, а функцию К(Т) можно считать нормалы!Ог!. а чм опгндилсппс ьаооятностных хлолктсоистик 505 Р е ш е и и е. Тзк как х = О, то прн использовании непрерывной записи значение К,. (О) определяется по формуте К, (0) = — / хг (Г) аг. о Для нахождений дисперсии К,(0) имеем ()(К,(О)) =М(К,'(О)] — (йй(К,(О) ) )г= г = Т' )' ! К" (Гг Гг) "Г'~Гг'" Т а ~ (т — т)е-го*а .
о о о Отбрасывая после интегрирования величины, содержащие малый (по условию) множитель е "", получим Э(Кг(0) ) = Тг, (2пТ-!) Тги' Прн дискретном определении ординат случайной функции значение К (О) равно К (0) = — ~ У А' (гол). Определяя дисперсию К,(0), получим 0 (Кг (О) ) = —,, У У М (Хг(УЛ) Хг УЛ) ) — К, (О) = а=г ыы где при вычислешш математического ожидания использовано свойство моментов системы нормальных случайных величии, Подставляя значение К„(т), получим ж п1 (з(Кз(0) ) = — ~ ~ е го! ~-т(л жг .4й .4 а 1'=1 !=1 4а~ мз 2а' д (лг г) е-гать е А 2агй Т(1 — в гол) — 2де г"о -гоа)г 606 ИГтоды ОЬРАБОтки Г ' льтлтов нлвлгодГнип !Глггк Граничное зпачепие Л найдется пз уравнения О 15 !О))=!+О,О16, О (К (0)1 т.
е. из уравнения '2а Л(Т(1 — е ~ад) — 2ле ?аа1 $2аТ вЂ” 1) (1 — е ?"л)з Г!ри аЛа. 1 прпближепно получим — 5к+)Гйбие+!2(1 — 1!к) '2аТ вЂ” ! Ь 2 (1 — 1!к) '2аТ вЂ” 3 НЮ ' Задачи 46.1. Доказать, что условие !пп К„(т)=О Т ->ае является необходимым условвем для того.
чтобы фуикция Х (1) была эргодичпой. 46.2, Проверить, можно ли в качестве оценки спектральной плотпостп взять выражение Ли (ы) — ~ е пег?г (!) с!1 а если Х (1) — нормальная стациокарная слу Гайиая функция (х=О), ~ !К(т) )~)та.со. а 46.3. Для определения оценки коррсляциоппой функции стационарного нормального случайпого процесса Х (2) (х = О) используется коррелятор, работая?гций по формуле Г-т Ке(т) Т т 1 х(~)х(~+т)~ГЛ о Вывести формулу для 0 1Ке(т)! а м1 ОНРеделенне ВеРОятнОстных хАРлктеяистнк 667 46.4.
Определить математические ожидания и дисперсии оценок корреляционных функций, определяемых по одной из формул т-т К, (т) = [ х (1) х (Г+ т) Т11 — (х)т, т — т К, (т) = — ~ [х (() — х[ [х (У+ т) — х[ от', о т-т ! где х= —,~ л (() И, если Л" (т) — нормальная случай/' о ная функция. 46.6. Корреляционная функция стационарного случайного процесса Х (С) имеет нид К,(т) =о,е "'. Нанти дисперсию оценки математического ожидашии определяемой по формуле 1 /' х = — / х(г)Ж. — т,/ 46.6. Спектральная плотность О,.
(ы) найдена путем обратценця по Фурье подходяшего значения корреляционной функции, Определить [) [5,(о1) [ как функцию <о, если т Кх(т)= — хИ)х(Т+т)й1. х=О, ТН процесс нормальныя, а прп решении задачи вместо К„(т) 'в окончательной формуле можно взять К,. (т) =. не- о [ Ы (1+ ц [т[). 46.7. Корреляционная функция К„(т). определяемая из опыта, используется для нахождения дисперсии стационарного решения дифференциального уравнения У(1)+ 2Г(1) = Х(1). 508 ИРтоды ОБРАБОтки РезультАтОВ нАБлюденип [гл [х Опрсдслсссь, во сколько раз изменится агп если вмесго выражения Ке(т) = о,е ц~~ (соз075т ', О 28 зш 075 [тсс), достаточно точно аппроксимирующего Кт(т), принять выражешю К,. (т) = о,.е "' ' [ соз 5[т, где и, и 8[ подобраиьс так[им образом, чтобы положение первого нуля и ордииатз первого минимума выражения К;(т) совпали с соответствующими величинами лля К,.
(т). 46.8. Полходящее значение К,. (т) используется лля иахозсдепня О!)'(1)), где р = с[~(Г) аг Определить, во сколько раз измепигся и„, если вместо выражения К,.(т)==п,е ' [ [(соз0,7т-+ — а[с[0,7[т[], достаточно точно аппроксимирующего выражение Кт (т), принять К, (т) =- о,е соа рт, глс и и 8 подобраны так, жо положсишс первого иушс и значение первого минимума у функций КР(т) и К,(т) совпадают. 46.9. )(Оррсляцссоссссая функция угла крена корабля приближенно может быть представлена в всще и КБ(т) = аЕ я [т[(СОВ йт —,' — З[П5 'т[), где а = 36 град-', сс = 0,05 сек.-', 5 =. 0,75 сек.-'.
Определить 0 [Ке(т) ) при с.=. 0 и т=.= 3 сек., если 0(с)— нормальная случайная функция, а Ке(т) получена в .реаультате обработки записи качки за Время Т = — 20 мин. 46.10. Ордината опенки корреляционной фушсции прн т = 0 равна 100 с,я-', а ирн т = т, = 4,19 сек.
достигает э 1о! опвгделщгие вввоятностных хлелктвенстнк 509 наибольшего по модулю отрицательного значения, равного — 41,5 слез. По этим данным подобрать аналитическое выражение для К(т): а) в виде К(т) =о е "1'1!совет+ — з!пр,'т~~; 6 б) в виде К(т) =оте-'!'1созйт. Определить, насколько отличается д:и этих двух случаев значение первого нуля функции К (т).
46.11. Определить 0 (Ко(т) ) при т = 0; 2,09; 4,16 и 16,72 сек., если г-т К.()= —.,', ~ О(()О((+ ) о Ко(т) = — ае-'!'!созйт, где а= — 25 града, ц=0,12 сек. ', 6=0,75 сек.-', ег(г)— нормальная случайная функция, О= О. Для определения Ко(т) использована запись реализации !О(1) длиной 10 лг, причем 1 елг графика по оси времени соответствует ! сек. 46.12, График реализации случайной функции Х (т), нанесенный на бумажную ленту проводящим электрический ток составом, протаскивается с постоянной скоростью под двумя контактами, смещенными один относительно другого по направлению оси времени на расстояние, соответствующее т сек. Контакты соединены с релейной схемой таким образом, что реле включает секундомер в том случае, когда ординаты реализации в точках, где находятся контакты, имеют одинаковые знаки, и выключает в противоположном случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
