1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 75
Текст из файла (страница 75)
М[Х] = ~ М [Х]у]у„(у)зу; () [Х] =- ~ (>[Х]у)уу(у) тгу ] а, —.- О,ба -71> = (2леЬ ( —,т + ', )1 + ~ [х — М [Х] у]]',гу(у) !уу. 20.9. Так как М [Х) = 5, М [1'] = — 2, а,=-о, а =2а, г= — 0,8, то: а) М[Х]у]=5 — — '(у+2)— 0,8 =- 4,2 — 0,4У, М )у] х) = — 2 — 0.8 2(х — 5) = Б — 1,6х, 17 — ЗЕ 1 о,, 4 = 1.2а; б) у' (х) = — е у(л о)'2л !Уел- о,ау-4 28 1 аа' 1 аа ) у ( ),) 0,72а! 2аТ' 2л 0,6а)г2л !у 1,а.т- ая Е 2'ааа 1 Ла У' 2л ь! ы л ( *!с)а, л ( 44) у 20,10.
/х (х)=А 1/ —" е '; Г (у) = А ~/ — е с и Для независимости Х и )' необходимо, чтобы было а- ".41 4ху у' )'г -т( — ', — —.' —.) — е = !. Это условие выполняется прн Ь = (Е лА зу3 При этом А = . 20.11. й = —; лу у(х]>) ==е ".""'""; У(у]х)= — е "' "* 4-125!' !уели' 20Л2. а) у'т (х) = = е; б) Г" (у) =- е 1 зим \ 40)' 2л 30 У 2л !х-14ЭЕ !у, тау 1 лсм 1 в) у'(х]0) = е; г) у (у]25) = е 32 У'2л 24)г2л 20 13. М [Х] >) = 08у+ 149; М [1]х] =045х — 8625. Г' УГ! 2 т 4а 20.14. у'(г) = е; г = М ф) = =, 20.15.
Уг (г) =- аз)' 2л У 2:! г! 1 1 =- — е га '( — ( —, — — )1, где 1, (х) — функция аЬ 4 (и! Ьт] Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента; у (41) = ч ОТВЕТЫ и РЕШТНр!Я а ссоре иые + '-Р) . )1 а „! 1 1 -+" "- ( — — ы) — е (2и) оаЬс ( 2 1 ав соввйв!пв<р в!п'011 ге япй т гв ~в!па О +, + — в) [' О) 1(г, О) = схр — — ~ — + 1( ' Ф 4иаЬс 1 а' Ь' сл гв (савей сове ср савей яо'к япв 9 11 а' Ьс с' ))' 1 20,!В. Т„с(лв, л!)= е '' ' ' с!; Вп )''90 1 ло 5 Вво [с!а(Т В) 1 20 !9.У(ха У,)0;10) = —.. е '; М [Х,! О;10)=0; 9оп М [Уе ) О; 10) = '2; О [Х„[ О; 10) =- О [Уе [ О; Н!) = 96.
Глава !'т' ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 9 2!. Числовые характеристики функций случайных величин 2!.!. —. 21,2, и а. 2!Л. М[И)=4,1 г; О[О)=О,ЗО е. 2' ! Ь ( ! [, 40 2!.4, М [<р) = асс! — — — --(и (1-)-- —,[, 2!Л. — свп 2!.6. М [У)=1. 550 отвпты и рп!пнг!ия 21,7, 1,1б м. 21.8. —. 21.9. (и — 2) р4! (прп н > 3). 21,10, М [й[ = — '.
21.11. — 21.12. —. 21,13. )хе. Е) л 11а'. о 3 2р ' ' ' 18л ' ' л И рЭИЭ! 2134. ~л~~ р, 21,15. и [! — [! — — ~ 1. 21.16. и [1 — (1 — р)т[ л' ' ' и ам! 21.!7, 7=-7[1-е-Р(г-О ")~; — а=ЬР'11-2е-а(! Р-о) [ е-е(г-О-'"))' Р1 2!.!8, и [! — [1 †') 1 + „'~' ( — «) [! — [! — ' , ~ 1 Р,,"(Ь), л=о где Р„'о(Ь) — вероятность того, ого после первой серно цнклов будут повреокдены хотя бы один раз ровно Эг блоков; Рт(Ь)=С'~~( — !)' С' [1 — Р'" ~+!)1". л и ~,~ а [ гмо 2!.19.
а) тр+ ~~~~ [(т — 2Ь)р+ Ь[! — (1 — р) [[ Р,',Р (Ь)[- амо + Ри (5) [3 — (! — р)г — 2(! — р) [+ 2 ',"(6) [! — (1 — р)![+ +Рот (7) [1 — (1 — р)а[, ГдЕ Р„'" (Ь) = С~р~(1 — р)о а дая П ==- аг Ь+) а' Ь' = т = 8; б) 2тр для и > 2т. 21,20. — !и 6Ь а + Ь' !и а+) а'-+~" [ 1 )г,у-,[-Ь 212! Ь'1п а+)'а'+Ь'+ ба Ь 3 ' ' ' а Ь а' — 2ЬЭ 2 2 ЬЭ +,, ) а2+ У+: —,. 21.22'. ~~~', р„; ~ р (1 — р ), о=! ам! 2!.23. 0,316 г.
21,24. —; —. 21.26, М [3[ = ба; () [2[ = 100е'+ Р 3' !8 + 225М вЂ” 150аЬ. 2!.26. М [1'[ = х- ' СГ [г'1 = р)гл р' (2 л~ 2!.27. М [)'[=е «! '" !соя (хя!пЬ); () [1'[ [1 [е-х(г-со~го!у( 2 Хсоа(хо!п2Ь)[ — у. 2!.28. а) 267 м'; б) 22,0 м'1 в) 10 м'. 21.29. М [У[ =2е '[/ = — —,3~ л; 0 [Я[ = а' [3 — — [+ — (4 — л).
Е 81 Е л 2р ' ' [, Ол,[ 4р' им м2о 1222 — оЭ О!2! ЭОР 22и * * 22 — 222 — О, — . 2!.ЭЭ. М21! О! ОТВЕТЪ| И РЕШЕНИЯ О (У] = 232оз, 21.33 —; а' ] — — — „, ~. 21.34. г = а ~1+ — 11 а'е' l ез) (3[|с] = †, ~1 — — 1 (где е — зксцентрнсптет). 2 ], 2т' ф 22. Законы распределения Функций случайных величин 22,1. Р 1 — 1 прн а>0, |у — ьт а р,(у) = |у — Ьз 1 — Р„.| — ~ при а < О. а 22,2. у'у (у) = у„(ет) ет. 22.3. 1 Е зен Прк З>0, Уз(е) = о)' 2:|а» 0 при л <О. 2 -Рз ( — ) е 'е' прн у>0, 20 Ху(у) = е)'; 0 прн у<0.
— <у < — агс1ее, 1 2 1 2 у < — нлн у > — агсгпе. 2 и з|п ну прн Ут(у) = 0 прн прн 0<о<аз, при о<0 нли о>аз. ( — со<,'л <;со). 1 2 У()= з„„з о 22.7. У (х) =— 1 22.8. 1 прн у (у)= п)та' — у' 0 при ' (закон распределсння арку <а, синуса). ]у]>н ОТВЕТЕ! и РЕШЕН!!Я если а<0, то в )' а при у <О, Г (у)=- п(а+у))Гу 0 при у > О„' 1 и — прн (у! < —,, в) Г (у) = 0 при !у! > —,. 2' ! — ! 22.10. Для нечеп!ого и Г,(у) =; лля четного ау а ПП (аа-)- уста) ! — -1 2ау " ГУ(У) == ) лп Гаа + ура) при у>0, 0 прн у (О.
22.И. а) Гу(у) =(у!е у (--со< у<оп); ~ 2ув У' при у>0, )Г™ ~ 0 пр у<0. 22.!2. 1 (л+!.О 2аа! соа у прн (у) '' )~п Р (С+ 1) Гв()') = ! о прн )у! > и 2' Ю-у!' 2а г в у2 22ЛЗ. а) Гу (у) = = е "; б) Га (у) = ! 1 г" 2п а„ )Г 2п 22.14. ( ! прн О~у<1, ) О при у<Оилиу>1. Гу(у) = ~~ г' та 22.16. Г (а) .== е '. !де а,=-а,+а.
а, )~2ч 22.9, а) Г (у) = ! ; б) еслна>0, то Зп !1.(-(1 — у) ~ (1 — у)а 1' а при у> О. Г, (у) =- и (а+ у) )' у 0 при у<0; ОтВеты т! Решенпя 553 22.17, а) у (х)= ( — у (х, — ) Ит — / — У(х,' — )ллн б) у (л)=- — О~ ~2) х 2 — — л ~'Ь1 в) У,(х) = — е "; г) Гл(х) .—::. —, л 2 2в,вл г 2п о 22.19. а) Ул (х) = / Ут' (х)ь У) ЛУ вЂ” / Ут'( У У) т(У1 б) Л (х) = о се —,,; в) у (х) = ' (1+лт) (закон распреде('+') г ~ — "))'. 2 охот) 1 — г' леиия Стьюдеита); г),Гл (г) =, т " а, при г = О и (атхт — 2глото, + о„) у, (л) =- (закон распределения Коши).
!" ~УЙ 22.19. а) у'г (г) = г / (у(х, )ггт — х')+ )ггт хт -Г тп +у(х ) гт хт)1 их=1 ( у(гсо59. Гз1п9)т(ф; о 2 р' тай) — е нри Ос,г<оо, 0 при г < 0; 2г — при 0 ~< г' < а, в),г, (г) = 0 прн т ) а нли г<0; т-'МР та' т гб1 г) У,(г) = —, е /т ~ —,), где ),(л) — бесселева фУпкни нулевого порядка от мнимого аргумента; г (я +в,) долот 1' = (Х вЂ” х) ми а + (1' — у) соа а; о54 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ !д2а=2 ' о„=о,соз а+оа э!п а+го„о„з!п2а; КО У .
2 2 2 2 2 о — от к у =-оз э!п а+от соэла — го„о з!п2а (о~+о~~ =ил+о~~). 22.21. ~ 4 (2 — !а[) при [а[<2 1 Та(а) =! 4 1 О при [а[ )21 (Р)=~ 2 1 .у, (р) = О о- = Э при [р[>1, и (1-г тю те) При л л л 1 — -1 и 2 е л Г [',1 ) 2 " Если случайные величины Л' имеют одну и ту же дисперсию от, Г от(У а л:У = О, то случайная величина г' =-+ 12У вЂ” . Поэтому и утл кгу (У) = ккл [ф (У)1] ф 0') [* где ф (У) = 2 22.ки /(Д ф) =,. е г „=О 2п ]т! — и Ф равномерно распределена в интервале (О, 2и), а случайная величина Т подчвняется закону Рэлея. 22.23. У (2[1) — плотность вероятности закона нормального распределения с параметрами М [5 [!] = ла + па(+ «о ' () [Ь [ Г] = 11 = 0 [5,]+ 11() [)гс] + — 0 [а]+ 2тл, + Гтл, „+ Гтл„л.
'1-")' . —:.' 22.24. у (у) = у" 'е ' . Характеристическая фуик- Г~")ол цня случайной величины А'ь если о =1, к =О, равна Е, (т) = 2 2 1 р к 2 = (1 — 21) . Тогда характеристическая функция случайной велил чины (У= ~" '1"1 будет Е„(т)=(1 — 2!) 1, а плотность вероят1=1 555 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 22 25 г* Г" ' СОг" ." ф! СОЯЛ ' ф, ... СОЗ ф„, гаг ) ! г л г а гл (оч) 2 ол 22.26 л л Г!гг ° Гт! «!2 ! "2 «)) )' )ф) К /=1 " ' 7=! 22.27, у (г, 6) = Гг соз 6 ~ у (г соя 6 соя ф, Г соа О 3!Пф Гз!П4) сгф.
о 5 23, Характеристические функции систем и функции случайных величин 1 !3Л. Е (и) = (1 †2 о„) ; т, = М [1'Г) = 1 3 5 е!л глчь! е!!гь 23.5. Е (и) =- .. 23.6. Е (и) = (1 = М [Уг[=( — 1)'г! 23,7. Е (и) = «л (аи), 2л !х гл! 2п,) = — ! е!" 'л'т Ф1: — функция Бесселя первого о (2г — 1) ог.'. +ги); т,= где «'г (х) = рода нулевого 1 порядка; у (у) = и~ Уо(аи) соз иу г(и = и у аг уг 23,3.
1 2 2 22 ! Е, „(ип и,) = ехр [!' (хи! + уи,) — — (оги!+ 2агц ги,ла+ отиз)~. 23.9. Ехпх, х (ир пг, ..., и„)= л л л-1 =ехР а! ~ ит — —, Г ит — ао ««вагит+! т=1 т=! т=! 23ри Воспользоваться теи, что для независимых случай!ых величин У(хо х,, ..., хл) = Ц Ул(хл). 23.2. Е (и) = л=! л Е „„(и, и, ..., и). 23.3. Ет (и) = е!лл Ц Е„(аги), ОтВеты и Ревпгцггя 23.10. л (л.+ 1) л (2лг+ 1) Еу (и) = схр '('гг л л Е, т (ип и,, ..., и ) =ехР— — У 7 Ьмгилгнг м=г г=г в бесконечный ряд по степеням иь лг,..., ил.
23.16. Для доказательства воспользоваться свойс~вом характерисгической функции Е л (и) =Е(иь .... ил))л „„, где лл у Е(иь ..., ил) — характериспгчсская функция системы, н формулой для характеристической функции системы нормальных случайных величии. 23.17. е(н нг) = (р еглзт, + д егллг) г (р ег 1л,ге) л, +гу ег глгип хг) х (р,е глы ар 'т' ' д ег 1л'члгг еа) '(р,ег" ~г+г)зеглззг) Ьху = — 2ЕгЕз Р~грг4г+ ~~зрзЧз) 3 24. Композиции занонов распределения прн е~(2а, при 2а л- е -. а + Ь, е — 2а (Ь вЂ” а)г уз(е) = 2Ь вЂ” е (Ь вЂ” а)' прн а+Ьгке-Е 2Ь, е> 2Ь.
при 2331. М [(Хг — о )(Х, — о~)) = 2/г';г. 2312. а) М (ХХ)Хз~ =8аггйгза з+2о (Ьгг+Ьгз+Ьгз)+ о" б) М ((Хг — ог)(Х вЂ” о-')(Хз — оз)) = 8/ггглгзагз 2313 М [ЛгХ Хз) =О 23.14. М (Х ХгХзХг) = Ьмлзз+ Ьгзагз+ Ьылгз. 23.15. Для доказательства воспользоваться разложением характе.зистнческой функции 557 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 24,2. уг (г) = при «)~х+у+а+Ь, при х )-у+Ь вЂ” а~(г(х+у+а+Ь, при х-1-у+а — Ь(г (х+у+Ь вЂ” а, х+ у+а+ Ь вЂ” г 4иЬ п+Ь вЂ х †у+- при х+у — а — Ь(г(х+у+а — Ь. при г(х+у — а — Ь. 2 а тде бт(г)= )т2 / г ЛЕ е 24ий О (г — За)г при За-(г(2а+Ь, (г — Зи)' — З( — (Ь+2и)1' 2 +Ь «+2Ь, при 2а+ (г (и+ прп а+ 2Ь (» ( ЗЬ, (ЗЬ вЂ” г)-' О при г (За У,(г) = при г>ЗЬ 24.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
