1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 79
Текст из файла (страница 79)
и равно плотности вероятноспз р перемены знаков у Ь„ и 4 вблизи точки с координатами х, у, определяемой формулой 7 д~ (х, у) д~(х + 5(х, у) д~(х, у) д1(х, у+и)) д4(х, у) дзЕ (х, ») дх дх' О д 1 ( х у ) д 2 Ь ( х у ) д ~ д 2 у у 880 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 2 2 Г Г ' = 1 Г ':( "»" " '" " " = ~ ~ ':(в' ) в "" """ йчч ~ ~ 52(в! вз) вз'Гв! г'в2' ~ 5 (в„в )вгв! ав! г!!аз', з — ~ ~ 5 (в,в )в'в, гтв св21 зчз- — ) ) 5Е(в2,вз) в!в! !!в! г!вз,' 3 Г Г з Езз = ~ ~ 54 (в! в2) вгв2 гтв! ~~в2' 2 2 3 34.
Спектральное разложение стационарных случайных функций 34.1. К(т) =2а . 34.2. К(т) =2с'(2 соя взт — 1) —. шп Ьт з!и взт т 34.3. Обозначив У(а, в) = — е "!т! !"тат=, имеем гз дУ 2а а' от 2 5(в) =з' — а — =— да и (в'+а')' ' ' 2п в 34А. 5 (в) =— 2 ао' в!+а!+3! :Г (в!+а!+32)2 — 4(Рвт ао' в'+ а'+ 32 ао' в'+а'+ 32 и (вз — а' — 62)2+4а2в! и (в'+ая — рт)2+4а262' 2оз а (а'+ (Р) и (в!+ а!+ (Р)' — 4Р'в' 2о! а (а!+(Р) 2о' а (а'+ (Р) и (в' — а' — 6!)2 + 4а'в' .т (в'+ а' — 62)'+ 4а'(Р ' о' 16а'в' 34.7. Решая задачу аналогично 34,3, получим 5 (в) =— и (в!+а!)т 581 ОТВЕТЫ 1! РЕШЕНПЯ Так как 5»(в) = е ", а )! (т) = 2а)с и кк 34.! 3 в* — е'вт5к(сэ) сгв,то5 „.(в)=гв5 (в)= — е '" = — 5„'..(в). 34 14. Так как Ка (т) = ае " ! " ] (л," (] + а ] т ] ) + а»з ( 1 — а ] т ] ) ], то преобразование Фурье дает 34ЛЗ.
Лкл(т)=К (т+т,)= ~ епг™5~(в)с(вс 5кт (в) = = егвтг5 (, ), 34.16. 5ку (в) = (гв)» е сит' (Зи (в) + 5еи (в)]' 34.]Т. Так как К, (т) = К;. (т) К; ( с) = агат (ас + р 1) (аз+ рг) Х Х е (аг+аг'] т]~сок (]гт — — ' з]п 121] т] соз]у,т — — 'з]п]]2] т])г то Рг ~г 2аав' , 34.9. Две производные. так а ] ] ъч а]ау как 5к (в) с ростом в убывает, как —,. 34.10. 5 (в) = — уа— 02' и в +а.
]=1 У сг5 (в) 2аогв с](вг аг Ргг)г ] 4агиг]г ( ]] ( +] — (аг+йг+вг)2] Следовательно, при в=О всегда будет экстремум. Если прв в= О выражение в фигурных скобках отрицательно, то знак производной в втой точке меняется с плюса на минус; в втой точке будет максимум, и друтих максимумов не момсет быть.
Таким образом, условием отсутствии максимумом кроме нулевой ] точки, будет а' > 3]Р. При а' = З]Р 5 (в) =— ад+432 г ,"5(.) тоже вмеет только один максимум в начале координат. Таким образом, если а') 3])2, то имеется один максимум в начале; если а' < 3(]2, то в начале будет минимум и появятся двз максимума в точках в= с-вь в» = Гка'-]-32 ]г 2)г]Р— )' а'+]Р . а2в2 34.12. Так как 5 ° (в) =..., то 0 ]Л' (()] (эр ] сггР па' — ! к 2а' 5 (в) с(в =— 882 ответы и Решения обращение по Фурье дает (асов у'+ (е — 8) в»ну' а сову'+(е+ 3) з1л у' + (е — б')г + аг (е+.
б')г+ аг асов у" +(е — бя) епу" а сову" +(Е+()")я»пу" ~ (е — б")г+а' (е+ б")г + а' где а= а, +а,, (»' = ())+бг, ба= 3) — бг, у'= у, +уув у" =.у,— у,, 2 2 а, аз а)азб»32 (яу)= —, (яуг= —, а= л сов' у) сов' у, ' 34,18. Таз зак Кг(т)=Кл(т)Кз(т)+лдК (т)+У К„(т), то а)аг(и) + иг) + х ага, + у а)а) и (ег+ (а, + аз)2] и (ет+ а ) и (ез+ аз)) 3439. Так яак Ка (т) = Кв (т) Ке(т), то преобразование Фурье дает 5а (е)— а,а, ) асану' — (е — 8') юлу' 4ч соз у) сов у., ( (е — ()')г+ а' а сов у' — (е-,'- б') в!л у' а соз у" — (е — (гя) з»п у" (е+8')»+а' (е — бч)г+аг а сову" — (е+8") з1пу" ~ (г) ( бг )г ( аг где к = а, + а,, б' = б» + ()г, бч = 8» — бг, у' = у, + уг, у" = у, †, а, а, (ау) = —, 1еуг= —, бг 34.20.
Применяя общу»о формулу 5 (е) = 2 ] (е — е,)' )( Х 5 (е — е,) е,5„(е,) бе, и результаты задачи 34.17, получит» 5 (в)) =- 2агкбг ( 1 4 (а' + бг) 1 а и сов' у ( е' + 4а' + (в)' + 4к' — 4()г)г + 1багбг 1 ' у= —. 34.23. 5а ((г) = 5 (в))-(-сов» 4 / 54(е — (в,)5е(е,) с)е»+ г г т""'гг~ ) г (" — ")г (")"ч» 1 гг( ч)г (г""1 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 583 где бч(в)=32(в) оа(в) =~2(в) ~я(в)=~з(оо)! ~у(го)= /=1, 2, 3, а все интегралы могут быть вычислены в конечйом виде, однако ввиду громоздкости окончательного резулыата в данвом случае предпочтительней прибегнуть к численяым методам интегрирования. 34.24.
Так как К (т) = 2К2. (т)+ чхзК„(т), то 3 (оо) 4о а о о„а 2 — — 4, +4то 2, имеет один максимум при в=О. ~ 1 — соз— оза а 1 ! ат в 34.?5. 3. (в) = — [, + — [1 — — ) Мп — 21, где о'= вз <оа [ а) аз' п (и — 1) Г 1 4я' 2 (1? > + Оз) 'х', [1+ [, Т= —, а= ', а Л вЂ” сила 2п [' (З,оо ' фотогока, возникающего прн попадании в просвет диафрагмы одного отверстия. 3 35. Вычисление вероятностных харантеристин случайных фуннций на выходе дннамичесннх систем 35.1. У(т) — стационарнзя функция; следовательно, 5 (в) = с' — что после обратного преобразования Фурье дает 35:2. Так как У(1) стационарно, то, находя математические оииб,— дания обеих частей уравнения, получаем у = — х.
Для спектральа, ной плотности имеем бзвз+бз оза бз 2 + что после интегрирования в бесконечных пределах лает 0 [г (т)] = "1боа + аоб1 2 2 2 аа, а аа о 1+ о , во[5 (в)+сзвзяо(в)1 353 5о(в) —,',, 4,, тле 3 (в)- и [[со~ — 5~2 ао~] +4а~со [ а [[в — рз — ат] +4азв~3 584 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 35.4. Так как по условию задачи а(т) можно сыпать стацио. с2 парной, то 3 (ю) =, йч(иг), где би(ы) получена взадаче35.3. И гзг+ з2 И Интегрируя 3 (ы) в бесконечных пределах с помощью вычетов, получнлг а„" = 2,13 10 З рад~, аи — — 1,46 10 з рад.
2а'а (а'+ ])2) 35.5. 3т(ы) =, „...,, где обозначено; а=5, чсг ]) = — )Дй' — Ег, а' = — '. Примененне обратного преобразовзнии 2(г(гг ' Фурье к 3 (<о) дает Кт(т)=оге " [сох[)т+ — з(пй]т]~. 2ога (аг+ 52) 35.6. 3в (ю) =— 2( [(,зг сгг 52)2 ] .1 г 2] Ке (т) = ваге " ' ~ соз !)т + — з(п 5 ] т ] ), )г 1.— — —— где аз = —, а = — —, 5 = — 'у ФЮ вЂ” г'. Р' 2 г'' 22' 35,7 3 ( ) 4(49гзг+25) и (ыг + 1) ' (ал + 4) (мг + 9) ' 35.8. Ие может, так как корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные части и, следовательно, си- стема.
описываемая уравнением, неустойчива. юОбл (ю) 35,9. Так как Ь (т) стационарна, то 5 (ю) = ~ — ел~+ 2Й!ю+ ег( [г аа(а + рг) ые Р [ь, (т)]— [(])г ]))2 + (а, а)2) [((5 + 5)2 + (а а)г) Х Х Х [(])г — 5)г + (аг + а)'] [(5 + [3)' + (а, + а)'] ( — р, + ])~ + а + а() + 4 [агй( — 2а(5( + а, — 2а ал + а[р") [ [+Ю ( — г'.Лг!г.,'г- л('г-г( 'Е' — 2 'г'г. ' — 2 ', 'г.,'гз а (аз + 52) а(=а, 5(=",гма' — й'. г 35.10.
Обозначив юг — — и, а =3 10 ~йг, получим Р [е,(т)] = = Р [Ег(т)), где Р [ь, (т)] указана в ответе к задаче 35.9. Подставляя числовые данные, получим Р [з (г)] = 0,055! 3; о, = 0,255, 35.11. формула являешься следстнием общей Формулы, данной во введении. 3з12, Положив егг = — а, полу и им Р [О (()] = Р [ьг (т)]. где Р [(е (т)] дана в ответе к задаче 35,9. ОТВЕТЫ И РЕШЕ1!ИЯ 888 й>3к (ю) 3513 угк(ю) = (л> ( 2) 2>«(а)' к(г) ~ е 2 / (йк — ыа) 2й)а> 35.14.
Независимые частные интегралы од))ородного уравнения е ', е 11, весовая функция р(г) .= — (е 1 — е 1'), б 1 12,25 — К„ (т) = 7е " ( ! + Ф ~)' 2 (ат — †, )~ ~ — е а )б Х (! + Ф ~рк2 (ат — — 'Я ~+ 7е ( ! — Ф ~)' 2 (ат+ —,Я— 12,25 — е (1 — Ф ~)( 2(ат+ — ')~ ~. 35 15 О (у (1) — 2 (Г)1 = О (2 (1) ) + ~ ~ р' (1 ) р (тз) М О- О- КК«(т,— т)) а)т)ь)т> — 2НО ~ р*(т) Ккк(т) ((т, где знак минус в О- нижних пределах интегрирования обозначает, что точна 0 включена в область интегрирования, аз 1 2а+а зз,ы. ОР (1)) = Р +, (1 — 2ас)~. 35.17, а = сопз1, значение которой можно пркнягь равным нулю, выбрав соответствуюгаим образом начало отсчета; 0 (а (1)) = а(Р ! ю1~ 2а Рз О 35.18.
Заменяя Х(1) спентральным разложением, получим спек- тральное разложение для 1' (г)= ~ 2 2 . йа (се + ( -ага>(аг — ык+ 2й(а) + ла 'Е ) —,(~'д)а( «)) -«- ) ) — Ъ 1 — (' «)(,-««)«а(,) 2ыа 2а)а ~к (ю) где юо- — )~/га — йа. Отсюда следуетк (11, 12)= ~ .. к, „...)( )( е-а(((ес«>а>е11 -1 1+ е-а(1-ЧНЯ вЂ” а>О)+(а — >1)'1е-1 ('-'д+ 4ыа 586 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ [ [(в [ в )2 [ (а (с)~]есого(~г-сс) [ [вг (в — ас-с;Ьс)г~е~соэ(ссо сг) [„ +ас — Ы) е ва(г+( — в — соо+ас — Ьс) е ь'[+ — е ) ' 'Х 2во Х [(в — во — а(+Ь() ес'"'+( — в — в,— ас-[-(с() е (оьй[/с(в, что после подстановни выражения 5л(в) и интегрирования с помощью вычетов дает окончательный результат в нонечном виде /[(а-а)с, 4 ос[[-(о а)с,[ Ь4 Ьс[ т)( с' 2) л [ а [(аг+Ьг — 2Ьа+а')' — 4а'(Ь вЂ” а)'[.
[е()' — а Ф) сс -[- Ь(с (([) — Т) — Ь(с[ [е(с(~ т а)'г М, (сй у) — )Чг[~ + 2ф [([)г — )г+ а') + 2сру[ ([) + су) ьс Ып р(, ьс. / Ь вЂ” а , Л = е с — , М = е с [ соз /а + — з(п [)с 1, / = 1, 2; У )/ Т=[Ь вЂ” а[, 3=во. Ч4 4 -'// 35.!9. Кт(СР Ег)= 2 е [[Ф(тс — а)+Ф(п)[Х 4 Е -2((-а)с Х [Ф(Со+о)+Ф ((с+о)[ — = / е Ф(В+о) с(Ь, Тг>(ь [2пУ' ап' 36.20. У= —,[ — 1+е ' );К (снег)= Ь/ 2 2 — а' с'2 2) П аг(а';4а')П г 'гс(" сг) К г(а ьгаг) 2)с а'+ 2и' У(с)= г Уо+ с / л(ь)сс(ь= )+ с (Уо [)( Ку(сс сг)= са сг = — / / К.(с,ч)иь ')= — (' —,/г,— 2,)+ — /2,— 4,))+ 3 3 ) 4 4 — / сс(г (Заг ' С а, - —../"- ')-11-' — '+-.)"'-(-'-;"+.-1 "1 Х Х~~ — + — гсс+ г/14 гас+( + г (г+ г1/е "~) сг>сс. ОТВЕТЪ| И РЕШЕНИЯ 587 я 35.22.
у (/) = — ~~~~~ А/«у«(/) г/+ ~ Р(/, З) х(5) //з; /(» (/, /2) =- «,/=1 Л вЂ” — А/,„А/«у,„(/1) у«(/2) л/1+ ) ) Р(~1 $) Р (/2 Ч) Х «,/,с, е о '/г (5, 2)) //" //т), где у (/), ..., уа(/) — независимые частные интералы соответствующего однородного уравнения, у, (О) у,(О) ... уа (О) у,'(о) у,'(о) ... у,', (о) /и-1) (0) «л — |1(0) |л-1) (0) а А 1 — алгебраические дополнения этого определителя.
35,23. Так как решение системы дает У«(/) = — 2 ~ [е (/ о — а 2|' '|]Х(/1) |т/1+2[12(0) — 1',(0)]е /+[2»1(0) — )2(ОЦе 2' а К,. (т) = 2е |'т|, то 0 [1'2 (/)] = 41 — + (1 — 2/) е 2'+ 9 + | — / — — 1| а а/+л з/~]+(2е / — е 2/)20[1;(ОЦ+(2е 2' — 2е /]2К 13 9/ »(0[1',(0)]+2(2е ' — е 2')(2г 2' — 2е ')«>,|э|1 ()[У,(0,5)] = 0,624. 35.24. 0[1' (/)]= — е + — [ — /2+4/ — — ]е + 3 4/ 201 з/ 2 9(, 3) -|-[ — /2 — 2/+ — ] е + ~ — /2 — —,т+ — 11 О[»а(/)] = — е /1 51 2/ /1 1, 231 З,и ' [,2 27 (3/2 бт+ 14) е /+ (2/2 — 4/+ 1) е 2/+1 — /2 — — /+ — ~1.
19 9 54/ 35.25. () [1', (0,5)] = 0,01078; () [1; (0,5)] = 0,00150. 35.26. Так как 1'(/) в л (/) по условию можно считать стационарными, то озоо2ы2 по 3»(ы) = За(ы) = "+" ~" -) -" "'+"'("' — ) озооз что после интегрирования дает 0 [)'(/)] = 5 1 0 [2 (/)] = о» аб+! 35,27. Нормальный закон с параметрамн у =О, о =-0,78. 888 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33.28. 5и(в) = —, ~в 5с ((о)+ / в25. ((о,) 5 (о) — в,) тв(-2- э~:[ ("',е-.о",е-.о~,ео~,-о +3 ~ (в — 1) 59(в — 1)в'59(в1)(гв1+ + / 59(в в()в(59(е)) "в!+ 1 ( — ")" о~( )о ( )~ч]-' :С""" С'- '"'- "' " + й / (в в!) 5(р (в (о1) 159 (е!) (Те! + ( —,)",О, (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
