1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 77
Текст из файла (страница 77)
сл. 28.4. Г!ервый опыт дает колнчество информации /с = Н,— Н! = 1 Ф = (од! Ф вЂ” — [л !одт А+ (дс — А) !о8т (с!7 — й)[, а второй опыт 1 1 )с -- Н, — и, = — [Л !оп, Л + (с!с' — рг) !о8, (с'à — рг)! - у [! ! 8 ! + + (Ф вЂ” !) !од! (й — !) + г !оп! г+ (Н вЂ” (с — г) !од! (ст — 4 — г)[.
28.5. Мнпилсальное число проверок равно трем. например, в последовательностях № 6, № 5 и № 3. У к а з а н и е. Определнть количество информацнн, которое дает каждая проверка, н выбрать в качестне первой проверкн одну из тех, которым соответствует наибольшее количество ннформацнн. Аналогичссо выбнрать номера ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1 1 !+ 28.9. а) См. таблицу 126. Т !ода 3 а б л и ц а 126 Буква Вероятности....
0,8 0,2 Кодовые обозначе- ния б) См. таблицу 127. Таблица 127 Буквенные сочета- ния АВ ВВ Вероятности 36 ~ 0.16 0,64 0,04 Кодовые обозначе- ния 01 001 последующих проверок, пока энтропия системы не станет равной нулю. Для расчета количества информации воспользоваться ответом к предыдущей задаче. ~~ Р (А;) 1оят Р (А~) 28.6. 7 ~ч,' р! .)г. где Р (а)) = Р (Ат), если у символу алфавита Ат соответствует символ кода ар Для кода № ! ! 1,782 ) 1,782 Т 5,85 — =0,304 дв. ед.)ед. вр.
Для кода № 2 — = — ' Т 6,30 =0,283 дв. ед.!ед, вр. 28.7. Лля наиболее эффективного кода символам алфавита, расположенным в порядке убывания их вероятностей, должны соответствовать символы кода, занимающие те же порядковые номера прн их расположении в порядке возрастания длительностей, т. е. символам Ао А„А, и А, должны соответствовать символы када А с, Ь и а.
Эффективность такого кода равна / 1,782 — = — ' — =0,391 дв. ед./ед. вр, 7 мы 4,55 28.8. Н 081ойт08+031оят0,1+0,11оят0,1 0,42. Отнсты и они!еммя в) См. таблицу 128. Таблица 128 Буквенные сочетания ААВ ААА АВА ВАА АВВ ВАВ ВВА ВВВ Вероятностии 0,032 0,008 0,128 0,128 0,032 0.032 ОЛ28 0,512 Кодовые обозначения 010 011 001 00011 00010 00001 00000 0,72'2 Экономности кодов соответственно равны: а) — ' = 0,722; 1 б) — '.
=0,926; в), =0,992. 1,444, '2,166 1,56 й8.10. а) Р(1) = 0,8, Р (0) = 0,2, б) Р (1) — ' = 0,615, Р (0) = 0,385, 0.96 1,56 в) Р (1) = —. =0528 Р(0) = 0472 (О = 1 — 09977 = 0.0023. 1.152 '2,1и4 28.11. 1) См. таблицы 129 и 130. Таблица 129 Буквы В С 0,7 0,2 0,1 Вероятности б* б ... / 01 ~ ОО ! Таблица 130 2) Экономности кодов соответственно равны 0,890 н 0,993, 3) Избыточности кодов соответственно равны 0.109 и 0,0007.
568 ОТВЕТЫ и РВШКНПН 28.12. Сы. таблппу 131. Таблнпа 131 Еоиаеые обоим. ~ Ьткоы чеоии Еоы шьы Еогаоые Букоы обогпе- Вуиеы ' оаеаио- Буквы чная ч пп» Еогояые абагия- чеиии р 110 ! в 1011 ' л 01011 ~ я 01010 !! ы 01001,' з 01000 !! ь, ъ ОО!11 б 00101 ! г 001101 '~ ч ООПОО )! й 001001 001000 000111 000110 000101 000100 000011 0000101 0000100 0000011 0000010 00000011 00000010 00000001 00000000! 000000000 х ж ю ш и ш о е. е а н т н с 1010 ! к 1001 ' лг 1000 ~ л 0111 ( и 0110 !( у 1~ з ф 28.13.
Воспользоваться тем, что кодовое обозначение букны А. будет состоять нз Л символов. 28.14. Прн отсутствнн помех количество нпформапнн равно внтропнн входной схемы сообщений: l = — Р (А,)!одг Р (А,)— — Р (А,) 1од Р (А,) = ! дв. ед. При налнчнн помех 7 = 0,919 дв. едл оно уменьшается на величину средней условной внтропнн, равной — Р (а,) [Р (А, ! а,) 1одг Р (А, ! а,) + Р (Аг ! а,) )ойг Р (Аг! а,)!— Р (ггг) (Р (А~ ! аг)!опт Р (Аг ! аг) + Р (Аг ! аг) !ойг Р (Аг ! аг)) где Р (Ау) Р (а, ! А)) Р(А (а,) = 28.1Б. Прп отсутствпн гюмех 7 = Н, = 1ойг т; прн наличии помех г"= Н, — П, = 1ойг яг+ р )оцгр+г) (ойг 9 т — 1' 28.16. 7= 1ойгт+ ~~ ~~ Р(а,) Р(А ! а;) 1опг Р(А ! ат), где г 7 Р (а;) = — ъ р ., Р (А .
( а.) = 7 Глава )г1 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ф 29. Закон больших чисел 29.1, а) Р()Х вЂ” х!)~4Е)<0.1375; б) Р()Х вЂ” х(>3о)< —. 29.2. Доказывзется так же. как неравенство Чебышева. П холе доказательства использовать очевидное неравенство ~ 7 (х) г(х ( о 569 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ лг — еех ' У(х) т!х, где 0 — множество всех х, УдовлетвоРЯющих х- ' 7 Р+!ПУ условию х > 29.3.
С помощью рассуждений, аналогичных доказательству неравенства Чебышева, получается цепь неравенств Р (Х) а) ., лат В,л (еах) е-аайл [еаЛ[ аь е"х еае 29А. Воспользоваться неравенством Чебышева, учтя при этом, что х = ш + 1, а йб [Хт[ =- (и + 1)(т + 2) и, следовшельпо, Р (О < Х < 2(ел+1))=Р([Х вЂ” х[<ти+ 1) )1— 0 [Х[ 1»и + 1)т ' 29.5. ОбозначаЯ Ха слУчайпое число поЯвлений событиЯ А в Ре- 250 зУльтате л опьиов, имеем Р (! Хл — 500! < 100) > 1 — —, = О 9?5, 100» Следовательно, сказанное в задаче справедливо.
29.6. Случайные величины Хл взаимно независимы и имеют одинаковые математические ожидания хь =- 0 и дисперсии 0 [Хл[ = =1, что свидетельствует о выполнении условий теоремы Чебы- шева а 1 [ (ъ- 29.7. ПРи з < —,, так как в этом слУчае !ип 0 — У Ха 2' л.+ ш л ь=! ът =.. 1ип —, лт Лте = О. л-»»» е! ь=! л 29.8. 1ип 0 — ч Хь = !!ш —, !п(и!) = л.+» ~ е! еи ~ »!.» ю тез л=! — !ш! !и (л ее-л)» 2п ! — !ип е [и+ [ !п л и л-»- и' л+ш л' ! 2 +!п )~2п [= Отп — =О, что доказывает применимость вако. !пи ! л. л Л на больших чисел л [1Ъч 29,9.
а) Не выполняются, так как Нш 0 — ~. Ха ~и й' а=! = !ип, =со;б) выполняются, так как !тп 0 — г Х» ,1 (йл л+ Ол яа-» и е»4 а=! 570 ОТВЕТЫ Н РЕБ1ЕННЯ = !пп — =0; в) не выполняются, так как !ип 0 — ) Х1, > ~(-л. л.ьэз л л.. ]л~ ! а=! > йп! л (и+1) 1 ль, 2л! 29.10. Применим, так как при ЬП < О справедливо неравенство с О<0 — ~Ха < — у 0]Ха] < —, где с — верхняя граница л л! л а=! а=1 0]Ха] для всех Ь = 1, 2, ..., л, Из неравенства следует ]'! =" л-ь ~л ](йч 29Л1. Лля доказательства достаточно оценить 0 — у Ха л л=! л л — 1 2 — ~ а +2 г га, а.~!алааь1, где аа —— 0]Ха], а гл л ~.ня а=1 я=1 Заменяя все аа их наибольшим алая л (!'кч ] Зл — 2 значением Ь, получим 0 — у Хл < —, Ь'.
откуда немедленно л л л=! я 11 ч следует 1йп 0 — Ха = О. я.еж а=1 29.!2. Применим, так как выполнены условия теоремы Хиичнна. и л л 29.13.рассмотРим 0]Хл]=0 — У Ха = — т, т гт ага < ~л,г( Гл г4 .7Л I ' у а=1 1=! )=1 с цч < — „, гл ~~~ ] гг(], где а! — среднее квадРатическое отклонение слУ1=1 !=1 чайной величины Х!. Так как г!) -ьО при ]( — у ! -э оо, то по любому а > О можно указать такое № что для всех ]! — у] > дг справедливо неравенство ] гЫ] < а. Это значит, что в матрице ]г! 1.
насчитывающей л' алементов. не более !тгл алементов превосходит е (нх мы заменим единицей), остальные же меньше к Из сказанного сле- л л Ь( дует неравенство — т т г!у < — + —, (л' — !тл) а = а+ л! лам л~а ~ лт л! ! 11' 1 5?1 ОТВЕТЫ И РЕ!ЕЕНИН (1 — е), указывающее на то, что 1нп 0[х,г)=0; это и докадг и гг-+ со зывает теорему 29.14. Закон больших чисел неприменим, так как ряд , определяющий М [Хг), не являешься абсолютно схо- 6 'ьг ( — 1)а !г а=1 дящнмся.
б ЗО, Теоремы Муавра — Лапласа н Ляпунова 30.1. Р ~02 < — < 0,4) =0,97. 30.2. Р (70 < и < 86) =0,927. п ЗО,З, а) Р(и >20) =0,5; б) Р(и < 28) =0,9772; в) Р (14 < пг < 26) =0,8664. 30.4. В предельном равенстве теоремы Муавра — Лапласа поло- жишь б= — а =а 1 —, а затем воспользоватьсн интегральными г РЧ представлениями функций Ф (х) и Ф (х). ЗОТЕ Ввиду того, что вероятность события неизвестна, дис- персию чнсла появлений события следует принять максимальной, т.
е. положить р!) =0,25. При этом допущении: а) и = 250000; б) п = 16 600. 30.6, В задачах, где верхний предел допустимого числа появле- ний события рзвен числу произведенных опытов, р оказывается на- столько большпм, что Ф (а) гз 1. Прн этом допущении н ш 108. 30.7. и — 65. 30.8. р = 0,943. 30,9. 67,5.
1 30.10, У= ~ х'Лх можно рассматривать как начальный мол!ент о второго порядка случайной величины, равномерно распределенной в интервала [О, 1); тогда его статистическим аналогом, определяея 2 мым методом Моите-Карло, будет величина У„= — лгм Ха, гдв а=! Ха — случайные чнслз из интервала [О, 1). С помощью теоремы Ляпунова находим Р () У„рр — У[ < 001) =071.
30,11. и ш 1,55 10', Положзжь У„= —, ~ згп Хг„где Хл — слу- Я вЂ” 2, а=1 чайные числа из интервала ~0. †)Р ' 2!' 30.12. 1) Так как разность Р (С) — Рз(С) = ~ — — Р(А)~ Х Х [1 — Р (В) А)], то с точки зрения законз больших чисел оба метода приводят к правильным результатам; 2) в первом о«виты и ггшгния 572 случае потребуется более 97аб опытов, во втором случае — 4500 опытов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
