1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Аналогично решаются задачи 43.1 — 43А. Пример 43.2. Произведен выбор 200 леталей пз текушей пролукцни прецизионного токарного азтоиата, Про. веряемый размер деталей измерен с точностью до ! хк. В тзблице 47 приведены отклонения х! от номинального размера, разбитые на разрялы, численности разрялов ш, н их частоты р,, Таблица 47 Границы интервала м! Я раа- риаа ! Границы интервала л!Фи!+1 РГ 0,035 ~ 6 0,055 ( 7 0,075 ( 6 0120 . 9 0,245 10 — 20 —: — 15 7 — 15 —: — 10 11 — 10.+- — 5 15 — 5 —: 0 24 0-.'- 5! 49 5 —: 1О 1О .
15 15, 20 20 . 25 25 —: 30 41 25 17 7 3 0,205 0,130 0,085 0.035 0.01 5 го х= ~'„,х,'рг=4,30 лг!г, аз=!на — х =94,26 мкт, т=! ге Глз Х ха р! ! !2 75 'и!" Гв! о = 9, 7! лш, Оценить с помошью крнтеуия Хт гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распрелеления при уровне значимости а = бела. Р е ш е и и е. Определяем значения х*, серелнн интервалов и пахолим оценки математического ожидания и дисперсии по формулам: КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ Вычисления сводим в таблицу 48. Таблица 48 т Ф(~1) 1 200 х~~ 7,09 Вычисляем теоретические вероятности р, попадания отклонений в интервалы (х1, х...) по формуле 2 ~ '"') 2 1 1 где г1 — левая граница !'-го ннгерва,ш относительно х в единицах о: При этом паиыеньп1ее гг = ге — — 2,06 заменяем на — со, а наибольшее яи — — 3,09 — па +-о.
Значения функции Лапласа Ф(я) находим пз таб,шцы !8Т]. Интервал 1= 10. ввиду его малочисленности, обьед1шяем с интервалом 1 = 9. Результаты вычислений приведены в таблице 48. Находим значение )1,",: у (тг — ил!11 0 ,~Й лР1 1=1 Число степеней свободы А =-! — г — 1 = 9 — 2 — 1 = 6, так как из*за малочисленности последних двух разрядов 9-8 и 1О.й разряды обьедшыны. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 !1 — 17,5 — 12,5 — 7,5 — 2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 — 1,99 — 1,47 — 0,96 — 0,44 0,07 059 1,!О 1,62 2,13 — 0,5000 — 0,4761 — 0,4292 — 0,3315 — 0,1700 0,0279 0,2224 0,3643 0,4474 0,4834 0,5000 0,0239 0,0469 0,0977 0,16!5 0,1979 0,1945 0,1419 0,0831 0,0526 4,78 9,38 ! 9.54 32.30 39 58 38,90 28,38 16,62 10 52 1,04 0,28 1,05 2,13 2,24 0,11 0,20 0,01 0,03 422 метОды ОБРАБОтки Резильтлтов нАБлюденпп !Тл.
тх Таблица 49 т ! ! с 181 !, 10 100,5 101,0 101,5 102,0 102,5 98,0 98,5 99,0 99,5 ! 00ьо 201 142 97 41 25 (жт — число измерений, давших результат ке) Проверить, пользуясь критерием согласия Колмогорова, согласие полученных наблюдений с предположением, что величина Х подчиняется закону нормального распределения с матеизтическ~м ожиданием х = 100,25 жлг и средним квадратическим отклонением о = 1 ж.и, считая, что влиянием ошибок округления можно пренебречь.
Реш е ни е. Теоретическая функция распределения 1-'(х| определяется формулой и' (х) = — + — Ф (х — х). 1 ! 2 2 Статистическая функция распределении Р'(х) может быть вы- числена по формуле е'(, ~ л', 0,5.,1. Из таблицы (17Т! по входным величинам т» н й находим от=,Р(4 )~22)=0,313, Гипотеза о нормальности отклоие- „2 2 пий от номинального размера не противоречит наблюдениям. Аналогично решаются задачи 43,6, 43. 7, 43.9, 43.! 1, 43.13— 43.21, 43,24, 43.25. Пример 43,3. Результаты хт измерения 1000 деталей, округленные до 0,5 мм, даны в таблице 49.
423 кРитеРпи сОГлАсия 431 Вычнсле ния выполнены в табли це 50. Т а б л н ц а 50 2 Рл (.г;) 1л)) — Р 1л4) ) "("4) лз — л — 0,4877 — 0,4599 — 0,3944 — 0,2734 — 0,0987 0,0987 0,2734 0,3944 0,4599 0,4877 0,0123 0,0401 0,1056 0,2266 0,4013 0,5987 0,7734 0,8944 0,9599 0,9877 — 2,25 — 1,75 — 1,25 — 0,75 — 0,25 0,25 0,75 1,25 1,?5 '2,25 0,0105 0,0445 0,1115 0,2340 0,4035 0,5945 0,7660 0,8855 0,9545 0,9875 0,0018 0,0044 0.0059 0,0074 0,0022 0,0042 0,0074 0,0089 0,0054 0,0002 1 2 3 4 5 б 8 9 10 Составив для каждого значения х, разности Р" (х;) — Р(х4) и выбрав из них наибольшую по абсолютному значению, в со- ответствии с таблицей 50 находим Од —— 0,0089. Определив 7, = уги 04 = ")лг)000 0,0089 = 0,281, находим значение Р(7,) пз таблицы 125Т): а = Р (),) = 1,000.
Значение Р().) велико. Следовательно, отклонения не значимы и можно считать, что гипотеза о согласии наблюденных дан- ных с законом нормального распределения, имеющим пара- метры х = 100,25, о= 1, не опровергается; однако большое значение а вызывает сомнения в доброкачественности выборки. Аналогично решаются задачи 43.5.
43.8, 43.10, 43,12, 43.22, 43.23. Пример 43.4. По данным примера 43.2 требуется по- добрать аакон распределения, пользуясь А-рядом Шарлье, и пРоверить, используя критерий 2е, улучшится ли согласие наблюденных данных с полученным законом распределения по сравнению с нормальным закопан распределения.
Из примера 43.2 берем оценки математического ожида- ния х и среднего квадратического отклонения о: х= 4,30 мх, о=9,71 мх. 424 лтзтоды оеялеоткн везкльтлтов нлелюдзннп (гл. гх Кроме того, используя данные таблиц 47 и 48, вычисляем оценки третьего )гз н четвертого 94 центральных моментов случайной величины Х. 4О )гз =,.,'.",(хг — х)'74; = — 113,86 лоха, г=г 4О 94 = ~4(хг х) )тг = 25 375 н!гг. Вычисления выполнены в таблице 51.
Таблица 51 (хг х)4 хг (тг-х)4 (х,-х)4 (4 .)4 †1,86 25375 Итого: Далее вычисляем оценки асимметрии Й и эксцесса Ех по формулам Я = — '"' = — О,!247, оо 94 Ек = — ' — 3 = — 0,1455. гт4 Используя первые три члена функции распределения для А-ряда Шарлье Р(з) = 0,5+ 0*5Ф(г) — 6 фз (з)+ 24 Чга(г), 5)с Ех где х — х: т 3 == 4 в а ! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — 17,5 — 125 — 7.5 — 2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 — 21,8 — 16,8 — 11  — 6,8 — 1,8 3? 8,2 13,2 18,2 23,2 — 10 360 — 4 742 — 1 643 — 314 — 6 ЗЗ 551 2 300 6 029 12487 225 853 79 659 19 388 2138 10 105 4 !25 30 360 109 720 289 702 — 362,6 — 260,8 — 123,2 — 37,7 — 1,5 6,8 71,6 195,5 211,0 187,3 7904,9 4381,2 1454,1 256,6 2,4 21,5 587.7 2580,6 3840,2 4345,5 КРИТЕРИИ СОГПЛСИЯ 1 431 1олучнз! р (л) — 0,5+ 0,5 Ф (а) + О, 0208 фа (л) — 0,0061 грз (з).
Вычисляем значения с (а,), используя лля нахождения значений Ф(а), фз(л), фз(г) табчицы 18Т), 1!ОТ); здесь л!— координаты границ интервалов относительно л в единицах о. ;!начення г, и дальнейшие вычисления тч(л,) приведены в табшше 52. Таблица 52 олв(т,) =о,зе(*, „,) ят (т !) ° те ('г+ ~) г +г! — 0,5 — 0,4761 — 0,4761 —: — 0,4292 — 0,4292 . — 0,3315 — 03315 . — О.!700 — а',!700 —, :00279 0,0279 .
0,2224 0,2224 —: 0,3643 0,3643 . 0,4474 0,4474, 0,4834 0,4834 . 0,5000 0 —: 0,1630 О, 1630 —: 0,1572 О,!572 ' — 0,01977 — 0,0197, — 0,2920 — 0,2920 —: — 0,3930 — 0,3960 —: — О,?185 — 021% —: 0,0458 0,0458 . 0,1745 0,1745 .ь О, ! 460 ОЛ 460 —: 0 1 0 —: 0,1052 2 0,1062 -+- — 0,167 3 — О, !670 —: — 0,5021 4 — 0,5021 -+. — 0,4472 5 — 0,4472 —; 0,0834 6 0,0834 —: 0,5245 7 0,5245 —: 0,4290 8 0,4290 . 0,0%4 9 0,0654 . — 0,1351 10 — 0,135! —: О 0,0267 0.04 84 0,093! 0,1554 0,19'26 0,19 "эб 0,1480 0,0879 0,0366 0,0128 5,34 9,688 19, 22 28, 08 38,52 39,10 29, 60 17,58 7,32 2,56 Теоретические вероятности р, на основании закона раснрелелення, определяемого А-рядом Шарлье, вычисляются но формуле р, = р(г,+!) — Г(а!).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 — со -ь — 1,99 — 1,99 —: — 1,47 — 1,47 —: — 0,96 — 0,96 . — 0,44 — 0,44 —: 0,07 0,07 —." 0,59 0,59 —: 1,10 1,10 —: 1,62 1,62 —: 2,13 2,!3 —: оэ 0 —: 0,0267 0,0267 . 0,075! 00751, 0,17!2 0,1712 —: 0,3266 0,3266 . 0,5!92 0,5192 —: 0,7!47 0,7147, 0,8627 0,8627 —: 0,9506 0,9506 —; 0,9872 0,9872 —: 1,0000 — 1, 66 — 1,32 4,22 4, 08 1О, 48 — 1,900 3, 60 О, 58 — О,! 22 0,516 0,180 0,926 0,593 2,852 0,092 0,438 0,0!9 0,00! Х~~=5,615 426 мстоды ОБРАБОтки РезультАтОВ нАБлюденнп 1гл.
!х Используя найденные значения и имея в виду, что и= ш = ~',лг! — — 200, вычисляем (см. табл. 52) т=! то х,'= У.р™ =5,615. п.п! т=! Число степеней свободы й =1 — г — 1 = 4, так как число классов 1 = 9 (последние два интервала вследствие их малочисленности объединяем в олин); число параметров, определенных на основании наблюденных данных, у =4(х, о, Й, Ех). Из таблицы ~17Т), входя в нее с величинами А = 4 и т,-'= 5,6! 5, находим и = Р (Х! )~ т,'-) = 0,208. Гипотеза о согласии опытных данных с законом распределения г" (з), определяемым А-рядом Шзрлье, не опровергается. Однако нет оснований утверждать, что согласование лучше, чем с законом нормального распределения, упомянутым в условии задачи.
Таблица 53 Размер х Разиер х Разлтер х Ж летали и ! летали группа ( летали группа ! группа ! группа и группа ! группа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 72,58 72.35 72,33 72.54 72,24 72,42 72,58 72,47 72,54 72,24 72,38 72,70 72 47 72,49 72,28 72,47 71,95 72 18 72,66 72,35 72,50 72,35 72,69 72,60 72,54 72,42 72,68 72,54 72,55 7283 72% 72,36 72,36 72,15 72,48 7246' 72,36 7238 72,40 72,38 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3! 32 33 34 35 36 37 38 39 40 72,50 72,69 72,54 72,48 72,36 72,50 72АЗ 72,46 72,56 72,48 72,43 72 56 72,34 72,38 72,56 72,32 72,41 72,14 72,29 72,31 72,35 72,16 72,51 72,50 72,50 72,48 72,53 72,25 72,48 72,36 72,53 72,23 72,55 72,51 72,25 72,11 72,44 7251 72,55 7224 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 55 57 58 59 60 72,30 72,28 72,51 72,37 72,14 72,42 72дб 72,28 72.20 72А8 72,66 72,64 72,73 72,43 72,28 Тй,64 Ттл 72 7235 72,60 72,46 72,31 72,46 72,36 72,39 72,30 72,30 72,38 72,55 72,36 7$ 24 7'з,23 72,16 72,17 72,37 72,38 72А6 72,12 7Р 28 72,23 72,38 427 КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ Аналогичным образом решаются задачи 43.26, 43,27, 1! р и м е р 43.5.
Имеются две группы деталей одного образца, полученных с двух станков, по 60 штук в каждой. данные об измерении характерного размера х деталей приведены в таблице 53. Проверить, используя критерий Коетмогорова, гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, т. е. что оба станка дают одинаковое распределение размера х детали при уровне значимости а = 8 '„'. р еш е н и е. Располагаем детали в группах по возрастаюшей величине размера х и вычисляем статистические функции распределения Р,(х) и Рз(х) для каждой группы (см.
табл. 54). Таблица 54 Числа значений л К к " (гЕ) - Лг('г) р, (л,) и, (и,) е группа н группе 71,95 72,11 72,12 72,14 0,0167 0,0167 0,0167 0,0500 0 0,0167 О,ОЗЗЗ 0,0333 0,0167 0,0000 0,0167 0,0167 72,53 72,54 72,55 72,56 72.58 72,60 43 46 46 49 51 52 0,1167 0,1000 0,1667 0,1333 0,1000 0,1000 50 52 56 57 57 58 0,7167 0,7667 0,7667 0,8167 0,8500 0,8667 0,8333 0,8667 0,9333 0,9500 0,9500 О 9667 72,69 72,70 72.72 72,73 57 58 59 60 60 60 60 60 0,9500 0,9667 0,9833 1,0000 0,0000 1,6000 1,0000 1,0000 0,0500 0,0333 0,0167 0.0)00 л,л, 2 = )l з.~л,лг л,+лз Находим наибольшее по абсолютной величине значе0пн Л РаЗНОСтИ Р1 (Х) — Р~ (Х): Вн„л,=0,1667 (см. табл. 54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
