1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Определить границы ловерительных интервалов для определенных из этого опыта коэффициентов корреляции при доверительной вероятности 0,99 и 0,95, если можно счлтать. что рассматриваемые случайные величины имеют нормальное распределение. 42,26. В результате опыта получены 25 пар значений для системы случайных величин (Х, Т), имеющей нормальное КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ 415 а 1з1 распределение. По опытным данным рассчитаны оценки параметров этой системы: л = 10,5; у = 74; о„= 2,0; о, = — 10,0; г = 0,62.
Определить границы доверительных г яптервалов для параметров системы случайных ве.шчнн (Л', К) при доверительной зероятностц 0,9. 8 43, Критерии согласия Критерии согласия позволяют оценить вероятность того, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о виде закона распределения рассматриваемой случайной величины.
Для этого выбирается некоторая величннз к, являвшаяся мерой расхождения статистического и теоретического законов распределения, и определяется такое ее значение и„, чтобы Р (и ) ка) = а, где а — достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи. Если значение меры расхождения и, полученное на опыте, больше н„, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предпологкенне о виде закона распределения должно быть отвергнуто (вероятность отвергнуть правильное предположение о виде закона распределения в этом случае равна и). Если значение н ~(х„, то отклонение считается не значимым, т.
е. данные опыта не противоречат сделанному предположению о виде закона распределения. Проверку гипотезы о характере распределения с помошью критерия согласия можно вести и в другой последователь. ности: по значению хч Определить вероятность ач = Р (к ) кч). Если полученное значение ач ( а, то отклонения знашгмые; если ил )~ а, то отклонения не значимые. Значения а, весьма близкие к 1 (очень хорошее согласие), соответствуют событию, имеюшему весьма малую вероятность, что может указывать на недоброкачественность выборки (например, нз первоначальной выборки без основания выброшены элементы, даюшне большие отклонения от среднего). В различных критериях согласия в качестве меры расхождения статистического и теоретического законов распределения принимаются различные величины. В критерии согласия К.
Пирсона (критерий 7~) за меру Расхожлення принимается величина уа, опытное значение )(а а 416 з!етоды ОВГАВОтки РезУльтАтОВ нАты!юДеннп !Гл. !х которой определяется формулой т с ~/) ум=2л лр где 1 — число разрядов, на которые разбиты все опытные значения величины Х, и — объем выборки, ггг! — численность г-го разряда, р! — вероятность попадания случайной вели- чины Х в интервал г-го разряда, вычисленная для теорети- ческого ззконз распределения. При и-+ =О закон рзспределения ХЯ независимо от вид» взкона распределения случлйноп величины Х стремится к закону уз-распределения с ге =- 1 — г — 1 степенямп сво- боды, где г — число параметров теоретического закона рас- пределения, вычисляемых по депнод выборке. Значения вероятностей Р (~- ')~ у') в зависимости от уз и Ч )г привелень! в таолице [17Т].
для применения критерия Пирсона в обгцем случае не- обходимо, чтобы ооъем выборки п и численности разрядов лг! бь!ли достаточно велики (практически считается достаточным, чтобы было гг )~50 —:60, т!.л 5 —: 8). Критерий согласия Колмогорова применим в точ случае, когда параметры теоретического закона распределения опре- деляются не по данным исследуемой выборки. Зз меру рас- хождения статистического и теоретического законов распре- делен!Та принимается наибольшее значение О абсолютной величины разности статистической и теоретической функций распределения.
Опытное значение В, величины 7) опреде- ляется формулой с), = — и!ак ( г'(х) — 7'(х) (, где гт — статистическая, а 7г — теоретическая функции рас- пределения. 1(ри п †э .-.а закон распределения величины ). = ")' и 0 независимо от вида закона распределения случайной вели- чины Х стремится к закону распределения Колмогорова. Значения вероятностей а, = Р (О ~ 0 ) = Р() ) = 1 — К(А) ! приведены в таблице (25'1'), Критерий Колмогорова применим также для статистиче- ской проверки гипотезы о принадлежности двух выборок кянтеьэ!н согласия 4!7 оо.ьемов и, и пз одной генеральной совокупности.
И в этом случае и =Р(Л), где функция Р(Л) приведена в таблице )25Т), но Л= $/ ' ° щах!Р,(х) — Р (х)), где Р,(х) и гтз(х) — статистические функции распределения дзя первой и второй выборок. Вид теоретического закона распределения выонрзется или на основании данных о механизме образования случайной величины, или путем качественного анализа вила гистограммы распределения. Если внд закона распределения не удается установить из общих соображений, то применяется его аппроксимация тзкнм законом распределения, соответствующее число первых моментов которого равно нх оценкам, полученным из рассматриваемой выборки.
В качестве аппроксимирующих выражений могут быть использованы пли кривые Пирсона (21), учитывающие четыре первых момснга, ияи бесконечный ряд Зд кварта (21), в котором при сравнительно небольшом отклонении статистического закона распределения от нормального можно удержать только первые члены, образующие А-ряд 'ь!!зрлье Е(а) = 0,5+ 0,5~)з(з) — —, фа(г) + —,' гРз(г), 5к Ех 6 гае грз(г), ~рз(г) — производные второго н третьего порядка х — м (х) ог нормальной плотности всроаности ф(з); з= о нз н~ 5к =. — '' — оценка асимметрии, Ет = — '' — 3 — оценка эквз о' сцесса, аз, Пз, р„ — оценки второго, третьего и чегвертого центрзльных моментов соответственно.
Значения функций Ф (г), грз(г), грз(а) приведены в таблицах )ВТ), )!ОТ), Критерий йз позволяет также проверить гипотезу о независимости двух с.чучзйных величин Х н 1'. В этом случае величина уз определяется формулой г н У (йы — жю)' 7 'ч ам аы жо г=~ у=ь 418 метОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗуЛЬТАтОВ НАБЛЮДЕнип 1гл. гх где 7тт7 — число случаев, когда одновременно наблюдались вначення Х=хн 1'=у, Лтоло/ тл,7 —— й, — общее число случаев, когда наблюдалось значение Х =х;; 7гег — общее число случаев, когда наблюдалось значение )' = уг', 1 и лт — числа значений, которые принимали величины Х и У. Число степеней свободы й, необходимое для вычисления вероятности Р(уа)~уо), вычисляется по формуле к = (1 — 1) (лт — 1).
Решение типовых примеров П р и м е р 43.1. Радиоактивное вещество наблюдалось в течение 2608 равных интервалов времени (по 7,5 сек, каждый). Для каждого из этих интервалов регистрировалось число частиц, попавших в счетчик.
В таблице 45 приведены числа т, интервалов времени, в течение которых в счетчик попало ровно 1 частиц. Таблица 45 !! Итого: п = ~ та о = 2608 Проверить, используя критерий )(т, гипотезу о согласии наблюденных данных с законом распределения Пуассона е-аа~ Р(7, о) =— и Уровень значимости а принять равным боб. 57 203 383 525 532 6 7 8 9 10 н более 273 139 45 27 16 419 КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ 1 49 р е щ е н и е. На основании наблюденных данных вычисляем оценку а параметра а аакона распределения Пуассона по формуле ~ !ли О а=— и где и =,рз ж~ — — 2608, й = 3,870. (=О Вычисляем теоретические вероятности р, попадания в счетчик ! частиц при наличии закона Пуассона, используя таблицу [6Т) лля функции Р($.
а) = рн В результате интерполирования па а между а = 3 н а = 4 получим значения р, и при приведенные в тзблнце 46. Таблица 46 (" ~-рр;)О !т~-рр.)2 т,.-рр тч = 13,049 1,000 Вычисляем значение Аз, выполняя вычисления в табл. 46: ч ~О уз — ~У 1рч ")ч) — !3,05, ч лю лгЧ ~=О Так как число степеней свободы 7з=! — г — 1, где обгцсе число интервалов ! = 11, а число параметров, определенных на основании наблюденных данных, г = 1 (параметр а), то 5= 11 — 1 — 1=9.
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О 0,021 0,081 0,156 0,201 0,195 0,151 0,097 0,054 0,026 0,011 0,007 54,8 211,2 524,2 508,6 393,8 253,0 140,8 67,8 28,7 18,3 2,2 — 8,2 — 23,8 08 23Л 14,2 20,0 — 1,8 — 22,8 — 1,7 — 2,3 4,84 67,24 0,64 547,56 201,64 400,00 3,24 519,84 2,89 5,29 0,088 0,318 1,392 0,001 1,007 0,512 1,581 0,023 7,667 0,10! 0,289 420 методы оввазотки рвзтльтлтов нлзлюлвиии 1гл гх По таблице !17Т!, входя в нее с величинами л = 9 н Х'-=13,05, находим вероятность Р(Х2)~Х2) того, что величина Х2 превзойдет значение у'",. Получаем ае = Р 1Хт )~ Хи) = О. 166. Так как а ) а = 0,05, то отклонения от закона Пуассона не значимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
