1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 51
Текст из файла (страница 51)
40.8. Определить закон распределения ордннаты случайной функции У(Г) для установившегося режима, если Н' + 2 дт +ф( д"и о ди 375 испгепывные млпховския ппоцессы с01 ;де а — постоякпая, ф((У) — заданная функция, обеспечивающая -уществоваппс установившегося режимз, ', (Г) = О. КЗ (т) = а'б (т). Рсшпгь задачу в частном случае гр(У)=бзИ.
40.9. Определить стационарный закон распределения ордииаты случайнои функции У(Г), если — „, =грФ)+фФ)в(г) где ф((у) и ф((г) — заданные функции, а Е(г) — ябелып шум» с пулевым математическим ожиданием и единичной дисперсиеИ, 40.10. На вход диодиого детектора, являющегося последовательным соединением нелинейного элемеита с вольт-амперпой характеристикой г" ()',) и пара,тлельной цепочки йС. поступает случайиыи сигнал ь(Г). Определить стационарный закон распределения напряжения (У(Г) на цепочке гсС, если уравнепие детектора имеет вид И/ 1 1 — т+ — (у = — т"- (ь — (у), кС С где Я и С вЂ” постоянные, а с(Г) — нормальная стационарная функция, для которой 1е! ь (г) = О, К», ( ) = 'е Решить задачу для частного случая.
когда Гго, о) О, О, о<0. 40.11. Определить заков распределения ордииаты случабпой функции (г(Г) для момента времени т » О, если Ли оя а — „— — =ов(г), в=О, К. (т)=об(т), ч» ,га(х) = —,е а", У(г) =Х при у=О (х > 0). 40.12. Уравнение, определяющее напряжение У(г) экспопеициальпого детектора, иа вход которого поступает ИГЛ РЛЫ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ нормальный случайный процесс ь(г), обладаюший малым вре- менем корреляции, имеет вид — +- — у = — еча лу 1 гэ сап «г РС С гле гг, С, а, Уз — постоянные детектора, к=б, К (т) = о'е-е ' ' ~.
Представляя приближенно " "=М( *сн)+Ь(г) с(г) = е':Рл — М (е'.~о) и считая дельта-коррелирозанным процессом: К (т) ж о'„'Ь(т), где па= ~ К (т)дт, определить стационарный закон распределения для ординаты !/ (Г). 40ПЗ. Случайный процесс У(г) удовлетворяет уравнению кг ф(~)+ оБ (г)' есг при начальных условиях т=Г, (/(г) =л. Найти закон распределения ординат случайной функции для момента времени т)~Ф. если а(Г), д(С) и у(Г) — заданные функции времени, $(Г) — «белый шум» с нулевым математическим ожиданием й единичной дисперсией. где ~р(У) — заданная функция, $(Г) — «белый шум> с нулевым математическим ожиданием н единичной дисперсией, а при заданном виде функции юр(У) возможен установившийся режим. Определить плбтность вероятности у (у) для установившегося режима.
40.!4. Случайная функция У(г) удовлетворяет уравнению — „, =п(г)+б(г) У+у(г) Ъ(г) 377 нвпгввывныв млвковскнв пвоцвссы 40.18. Отклонение руля высоты самолета, сообщаемое автопилотом для ликвидации воздействия пульсаций ветра. характеризуемых случайной функцией е(1), приближенно описывается дифференциальным уравнением 7а пг +б =газ(О вд где Та и га — постоянные. Определить условную плотность вероятности У(К вц т, у) ординаты случайной функции Л(О, если математическое ожнпне е(1) = 0 и приближенно можно считать, что К, (т) = оаб (т), а Ь=х прн т=б 40.16. На вход динамической системы второго порядка поступает случайное возмущение ~(О: — '„'~+.20 — '„",+)зи=~(Г), й >Д >0.
Определить условный закон распределения ординаты случайного процесса (7(О в момент времени т ~~К если в момент времени Г (7(()=л, ()(1) =О, ь(1)=0, Кс(т)=саб(т); с, Н, й — заданные постоянные. 40.17. Уравнение, определяющее работу звена системы автоматического регулирования, имеет вид — „= — ц збп и+ с; ((), Л(7 где а, с — постоянные, Т (С) = 0 К; (т) = б ( с) Составить уравнение Колмогорова для определения условной плотности вероятности 7 (г, х; т, у).
40.18. Движущаяся заряженная частица находится под действием трех сил, направленных параллельно вектору скоРости частицы ()(Ф): силы, создаваемой электрическим полем напряженностью й(1); ускоряющей силы, создаваемой полем, напряженность которого может быть принята обратно про. порциональной скорости частицы, и силы трения, пропорциональной скорости частицы. Уравнение авив~ения частицы имеет вид ()у ( +аз(1) аУ т 378 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ггл.
ти! Определить плотность вероятности 7 (г, х! т, у) для величины скорости частицы У(!), если и, !! и у — постоянные, а $(!)=О, К (т)=Ь(т)! масса частицы равна т. 40,19. На вход радиоприемника поступает случайная помеха У(г), которая воспринимается то.тько в том случае, если абсолютная величина сигнала больше порога чувствительности приемника ие. Определить вероятность В'(Т) того, что в течение времени Т не булет принято нн одного ложного сигнала, если У(7) — нормальный случайный процесс с нулевым ыатетгатнческил! Ожиданием и корреляционной функцией 7т„(т) =о~а а! г! где иа, а и о — постоянные, а (7(!) =0 прн 7=0.
40.20. На вход радиоприемника поступает случайная помеха г7(7), которая воспринимается только в том случае, если величина сигнала больше порога чувствительности приемника и„. Определить вероятность )Р (Т) того, что в течение времени Т не будет принято нн одного ложного сигнала, если У(7) — нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией 7(,(т) = о'е-а !.! где ие, ц н о — постоянные, а У(!) =0 прн 7=0.
!'ЛАВА !Х МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ф 41. Определение моментов случайных величин по результатам опытов Основные формулы Приближенные вначення моментов случайных величин, получаемые при обработке результатов опытов, называются оценками (подходящими значениями) зтнх величин и обознзчаются далее теми же буквами. что н оцениваемые числовые характеристики случайных величин, но с волнистой чертой сверху (например, М (Х1=х, 0(ХЬ А„.,„ая н т.
д,). Набор значений (хн х,, ..., л„) случайной величины Х, полученных в результате и опытов, называется выборкой объема л. Предполагается, что опыты произведены в одинаковых условиях и независимо. Прн неограниченном возрастании объема выборки и оценка должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру Оценка называется несмещенной, если при любом объеме выг1орки ее математическое ожидание совпадает с искомым параметром. Несмещенной оценкой математического ожидания является средне ° арифметическое я ь 1 1 х = — ~ х =-С+ — ~> (х — С), 1=1 тщ где С вЂ” произвольное число, вводимое для удобства расчетов («ложный нуль»). 380 метОды ОьРАБОткн Реэвльтатов нлвлюдении 1гл. 1х При неизвестном аначеиии математического ожидания несмещенной оценкой дисперсии будет 0[Х) = — (хт — х)а= 1 л 1 = — т (х.
— С)'- — — (х — С)а. п — 1 Л~ 7 л — 1 7=1 Если исследуемая случайная величина распределена нормально, то несмещенная оценка среднего квадратического отклонения определяется формулой л и 7 ! 7=! г ~ —",) Значения коэффициента (т„приведены в таблице 23. Таблица 23 л 1,1284 1,0853 1,0640 1,0506 1,0423 1,0280 1,0230 1,0 Ь81 1,0134 1,0! 04 1,0087 1 0072 1,0056 1,0051 10 12 15 20 25 При известном математическом ожидании несмещенная оценка дисперсии ч б) Х) = — ', '~' (х, —. ) ).
1=! ') Если исследуемая величина нормальна, то несмещенная оценка тля среднего квадратического отклонения определяется ио формуле Ю 1=1 !!! Оппеделение моментов случляных Велпчин 381 Если хн у,, ..., х„у„— значения случайнь|х величин Х н У, полученные в результате и независимых опытов, проиаведенных в одинаковых условиях, то несмеШенпая оценка корреляционного момента случайных величин: прн неизвестных математических ожиданиях Х и У ! Ф ~ ( х х ) ( у у ) «У л — 1 ля У т=! при известных математических ожиданиях 1 мч йху = — „У„(хт — х) (УУ вЂ” У).
хУ л 2И Оценка коэффициента корреляции находится по формуле Лх Гху = Вхау При большом объеме выборки элементы статистического ряда объединял!т в группы (разряды), представляя результаты опыта в виде упорядоченного вариационного ряда (табл. 24). Таблица 24 382 мвтодгя овглвотки визкльтатов иавлюдвнии [гллгх =Хх*.* т р = ~ч',~.' — х)т„', = ч~"., [х', — х)' р'., - „«,(хт) р [д !Х1 й, [Х[ нг, [Х[ нлн более точнымн формулами (с учетом поправок Шеппарда); пс, [Х! = ~ "Фу Х !х*)' рт — 4 у го Хк) р)--" Х." т=1 у=! !=! т=« ~ ['х*. — х)'р* — —,, у=г ~а (х* — х)а р .
/=! т' гнт! Х[ иа [Х[ «~4 [ ~ 1 и [Х! ра !Х! [~~ [Х1 где Ь вЂ” длина интервала разряда. Опенки математического ожидания, дисперсии н моментов более высокого порядка в атом случае приближенно определяются формулами: Определение моментОВ слхчлпных Величин 883 ы измерения аам зам 2781 2763 280? хд м Определить несмегценную оценку дисперсии ошибок измерительного прибора, если: значение измеряемой величины а) известно и равно 2800 м; б) неизвестно. Р е ш е и и е. Значение измеряемой величины равно х.
Поэтому в случае а) несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле 1 ъч — 6439 [)[Х[ = — — ~ (х — х)т.= — = 1287,8 ля!. л 24 )=! значение измеряемой величины неизвестно, ее Когда опенка Таблица 26 1 мч х= — у х —..-2809 м.
— ! .?4 7-- ?=! Поэтому в случае б) несиещенная оценка дисперсии [)[А'[= — „', ',~',[х,— )'= ?.—. ! !9034 4 = — = 1508,5 мт, ьз нанта и, я 92 101 103 98 96 Аналогично решаются задачи 41,! — 41,4, 41.13 — 41.16. Пример 41.2. Для определения оценки среднего квадратического отклонения ошибок измерительного прибора, систематические ошибки которого практически рвань! нулю, было произведено нять независимых опытов, результаты которых приведены в таблице 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
