1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 50
Текст из файла (страница 50)
непеееывные маяковские пеоцессы Зб7 $401 Пели учесть прн этом, что / ехр~1 «~ е у. — „(аД)Иу, ... пу„= 7 !.". 1 = — 1 / ... 1 ехр11 ~ е у.1г,а,Усну, ... пу„=— 1 ;= ' '! Ъ~ ДЕ = — гза Š— г1 р а дат ' г=1 СО г и д, ехр ' ',7, ~~у~ ~у~ уя = — ~у~Ф д ду. ду ! то уравнение для Е приме.г вид а й л ДЕ Ъз ДЕ %ч 1 ъч — — а ез — = 1 хая а — —, лх х г,й 1 Е. дт А и'ада ~ 1Г и'" 2 лта т'м~ е=1 ью=~ Полоягив Е=ехр [ — 'к'1, для 1' получим уравнение Л Л ч дГг Ъч Дтг Сч 1 Ъч — — а,г.— = — 1 х г а + —, т ггзгдн, 1 Удз ~~я 11 и д !=в 1=1 д с=~ которое, в соответствии с начальными условиями для нужно интегрировать при условии Ь'=1~ г х.. у 1' 1=~ Из общей теории известно, что закон распределения для рассматриваемого процесса является нормальным.
Поэтому ищем решение для к' в виде полинома второй степени от гн т. е. в виде 1 ъч язв 1г = —, у А,,г,г, — 1~ у,з . д ю=г где й., и у — вещественные функции от т. Для определения этих функций подставляем последнее выражение в дифференциальное уравнение для 1г и приравниваем коэффициенты' 368 !Гл щ!! Л1АРКОВСКИЕ ПРО!!ЕССЫ при одинаковых степенях г! в левой и правой частях уравнения.
В результате получим — — а.у =а., !!т 'й ! 1 (у, Л=1, 2, ..., и) д ллЛ! ъл и! = ! Система уравнений для определения у7 не зависит от й ! и должна быть решена при начальных условиях: т=1, у = х,. Система уравнений для 717! не зависит от у7 и должна быть решена прп начальных условиях: т=г, 7Л)г=О.
Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что у, н я,! являются лннейнымн комбинациями зкспоненциальных функций вида е'!'-", гле Х вЂ” корни соответствующего характеристического уравнения (при наличии кратных корней козффицпентамп у экспонент могут быть поли- номы от т). Оощне формулы могут быть получены методами матричного исчисления, П р и м е р 40.7. Наг1тп условную плотность вероятности у'(Г, х; т, у) д!я процесса, определяемого уравнением ду д Г! а! ! ! а! д!у — — — ~(Р)! — — ) У~ — —, - ., = О, 0 ~ у ( со, !) Ру 11, ~у) ) если а и 1! — постоянные, Решение. Применяем метод Фурье, т, е. ищем сначала две функции ф(т) п К(у), произведение которых удовлетворяет данному уравненшо независимо от вида начальных условий.
Подстановка в уравнение дает Так как левая часть равенства нс зависит от у, а правая не зависит от т, то обе части равенства равны постоянной. Обозначив зту постоянную через — )., получим -' — — 'ь+).ф=о, !!ф * а'т —;, — „"'-;+ — „' ~(бу! — —,," ) ~~+).у=0.
НЕПРЕРЫВНЫЕ Л1АРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 369 Первое уравнение имеет очевидное решение 1Р(т) =е ь<2-'), Второе уравнение имеет решение, стремящееся к нулю на бесконечности, только прп дискретных значенвях Л=2ир. 22=0, 1, ... В этом случае уравнение для У(у) имеет решение у"- 1 у — —" у'1 у (у) — а 22'Г и1 аг л (2аг) ' .12 где 1,2(х)=е» вЂ” „(е»хл) — ортогональные полиночы Ла- 112 герра, а оа = — . Так как найде иные фу и к ци и гр (т) и 1 ( у) 21Р ' зависят от целого числа п, то решение у исходного дифференциального уравнения можно искать в виде линейной комбинации произведений этих функций, т.
е. в виде 2 у(у т. т у) у С Е-2»аг»-21 У Е га'Г л 2 22 "12222 /' где коэффициенты с„должны быть определены так, чтобы при т=г функция у'(1, х; т, у) обратилась в 6(у — х), т. е. аа ул Для определения постоянных ел досгаточно умножить послел- 22 нее равенство на уе а" Е 11 —,, ) и проинтегрировать по у л (2а2 ) в пределах (О, сс).
Пользуясь ортогональностыо полниомов Лзгерра и свойствами Ь-фуггкшги, получим »2 1» 3 2 т. е. 22 луг О» У(Г т. т у) -1У е аа' ~2 1 У 1 ~ 1~ 1 У )е-гла12-21, — »2 (л1)2 л 22ог1 л 12ал) <гл чп МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Пример 40.8. Найти вероятность В'(т) того, чго орли. ди ната процесса(1(а),определяемогоуравнением д +а(у=а(1) где 51(ы) =се=-сопз1, С=О, к моменту т ни разу не пре взойдет уровень у =О, если при 1=0 Сг(1)= — р; Р:> 0 Р е ш е и н е. Плотность вероятности е(т, у) того, чт~ в момент времени т ордината случайного процесса, нн раз) не превзойдя пулевой уровень, будет находиться в интервагн (у. у + с(у), определяется вторым уравнением Колмогоров: дю д с' д'ся — — а — (уш) — —, — =О, дт ду 2 ду' которое в данном случае нужно решать для у С.О прн усло виях: тв(т, у)= — б(у+8) при т=О; э(т, 0)=0 прн лю бон т.
Нскомая вероятность о (с'(т) = ~ св(т. у) с(у. Для упронсеиия коэффициентов уравнения введем безразмерные переменные )' а т,=ат, у,= — у, с после чего уравнение примет вид 1 дссс д дгс — —,, + — (уств) — — =0; 2 ду1с ду дт га тс(тн у~) = — б(у~+О~) при т~ — О, тн(то 0) =-0 при т, ) О, где р, = — р. с Решая уравнение методом Фурье, положим ш(ти у,)= =ф(т,)Х(У), что длЯ фУнкций ф(тг) и )((Ус) дает УРавнениЯ а1С д'Х дХ вЂ” — = — У, — + 2у, — + 2 (Х + 1) Х = О, ~> сы, ' дуя Первое уравнение имеет очевидное решение ф(т,)=е-ь", второе уравнение имеет конечные на бесконечности решения только при Ас=п (л=О, 1, 2,...), когда у(у,) =с-у~ На(у,), НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОНГССЫ 072 где Н (у,) =( — 1)" еж — „~,е г') — полипом Эрмита. а'У) Следовательно, решение можно искать в внле э=е '~ але "~Н,(у).
«=о Так как при у, = О св должно обращаться в нуль прн любом тг, то ряд может содержать только полиномы Н„(у,) с нечет- ными индексами (Нг» „г(0)=0, Нг»(0) + 0 прн любом целом Е) О). Следовательно, решение должно иметь внд 2 -г, жт -(2«+ Н т~ Ш=Е ~~ гг,+,Е ' Н2«+ г (у ~) »=о Для определения коэффициентов аг»+, необходимо удовле- творить начальному условию, т. е. условию '.~~аг» Нг»+ (У,)= —,б(уг+р) У (О «=о Этому условию эквивалентно ус.юане для области измене- ния уг от — со до +со: )' а е ' ~„аг««,Н2»,2(У,) = — еб(у +р~) — — б(У~ — р~). «=о Умггожая обе частп последнего равенства на Нг«+,(у,), инте. грируя по у, от — со до + со и уч1«тывая, что ~ е-"Н„(х) Нм (х) дх = 2"л1 р' и Ьа„ (б„« = 1, б, = 0 прн л+ и), получим 1 Уа аг» ю, 2««г 2 «(2»+1)!р л с ,= — ° 2Нг»,, (Р,), Таким образом, л «2г«(2»+ 1)! У а с 372 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ',гл.
тгп Возвращаясь к переменным у и т, будем иметь С а ~'а чу - -У' те(т у) ~ е-~ А+нгае ы с)' и Подставляя полученный ряд в формулу для Ю'(т) и учитывая, что ~$ У) )',7у о 1 -У~ А+1 (2а)! 1 е 'Ны+;(уу)г(у,=( — 1) получим ОЭ )р (т) У е-(за+Ига 77, йга (2а+1) а( -""~ !' Задачи 40.1. Найти коэффициенты уравнений Колмогорова для и-мерного марковского процесса, если его компоненты (у',(г). сгз(г), .... (7„(г) опредечяются системой уравнений а(7! — „, =фт(т, ин ..., и„)+ц,(т, ин ..., и„)~,(т), /=1, 2..., а, где фу и уу — заданные непрерывные функции своих переменных, а $1(1) — независимые случайные функции, обладающие свойствами «белого шума»: С)=0, Ка.(т)=Ь(т).
40.2. Дана система дифференциальных уравнений аит —— ,т =ф)(т, (7н ..., (у'„, 2), З= 1, 2..... а, НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 373 где ф — заданные непрерывные функции своих аргуззенгов. а,г(Г) — нормальный стационарный случайный процесс, имеюпгнй спектральную плотность с' '~з (Ез) — з . з ° (ззз+ аз)з ' Добавить к многомерному процессу (7, (Г), ..., У, (Г) необходимое количество компонент таким образом. чтобы подученный процесс был марковским.
Составить для него уравнения Колмогорова. 40.3. Дано, что У (1) — стационарный нормальный процесс, спектральная плотность которого сзиз 3 ги) =- 1(ыз+ е'+ Р')з — 4РЧэз) ' где с, о и р — постоянные. Показать, что У(г) ногино рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, определить число измерений процесса и коэффицненгы уравнений Колмогорова для этого процесса. 40,4. Определить коэффициенты уравнений Колмогорова лля многомерного марковского процесса, заданного системой уравнений 3У7 ( (7, гг )+ Ру(г) где а ф; и ф г — заданные непрерывные функции своих аргументов.
40.3. Случайные функции (У (1) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 301 — = — гр)(1, (ГР ..., (.Г,, 2), у= 1, 2, ..., г, где зр,— заданные непрерывные фупкцни своих аргументов. а Л (1) — стационарная нормальная случайная функция с дробнорацнональной плотностью: а=0, 8 (ез)=) — "—.
)(-, и > «з, зт4 1гл. 11111 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ где полиномы Уз (Х) = 6ЗХ + ()1Х ' + ° ° + () Яз(Х)=Х" +и,Х" 1+ ... —,П„ имеют корни только в веркней полуплоскости. Показать, что (/1(Г), ..., У,(Г) можно рассматривать как компоненты многомерного марковского процесса, определить число измерений этого процесса и найти для него коэффициенты уравнений Колмогорова. 40.0. Показать, что если для многомерного марковского процесса справедливо уравнение Колмогорова дт -- ,'У, „„., (д,мУ) =О, д та=1 где и . а „,, дг (у, и = 1, 2, ..., и) — постоянные.
то случайный процесс удовлетворяет системе дифференциальных уравнений ч доу ~т — + ~ о. У,„=з)у(Г), ) ==-1, 2,..., и, где 11,=-о) Кч (т) = — д)10(т) )1ч» (т) =дуай(т) 40,7. Вывести систему дифференциальных уравнений для компонент двумерного марковского процесса (/1(1), Уз(1). если условная плотность вероятности г (1, хн х„; т, у,, уе) удовлетворяет уравнению с1у 1 Г ду дут + 1 +ф(У) дт р !- з ду, 1 ду, ! 1 Где и' дат — —., ~ —., (у,у)+ — —,, ~ = о, ° 4 р = сопз1, 'й = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
