1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 54
Текст из файла (страница 54)
параметрь! которого М 1г'1 = М вЂ”, х; — х ' =- О, дОВСРит. ВеРОятиости и дОВеРнт. ИИТЕРВАлы 401 Тогда 7 "-аз р[ — 30<Л< [=, [ е — о,[гйз Решая уравнение Ф~ [=0.98, из таблицы [87[ нахоаим = 2.33, Зо!' и а а = — ~ — ',,— "[ = 1,36. Отсюда следует, что число высотомеров на самолете должно быть не менее двух. Аналогично решаются задачи 42.7. 42.11.
Н р и и е р 42.3. На контрольных испытаниях !6 осветительных ламп были определены опенки мзтематического оз:здания и среднего квадратического отклонения их срока служг ы, которые оказались равными х =-3000 час. и а= 20 час. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случзйной ве.вчиной, определи гги а) доверительный интервал для математического ожидания н среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,9; б) с какой веооятностью можно утверждать, что аосолют.
ное значение ошибки определения х не превзойдет 10 час., а ошибка в определении о будег меньше 2 час.? Р е ш е н н е. з) При определении границ доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся уравнением Г< В таблице [16Т[ по и = и — 1 и и = 0,9 находим е1 и 1,7о30 Га = = = 1,763, откуда е = — ' = 8,766 часа. 402 методы ОЕРАБОткц РезультАтОВ нлвлюдеиип [Гл. !х Поэтому искомые границы доверительного интервала для х будут; верхняя 3000+8,765=3008,765 часа, нижняя 3000 — 8,765=2991,235 часа.
При определении границ доверительного интервала для о воспользуемся таблицей !19Т! Входами в эту таблицу являются величина !г = и — 1 и доверительная вероятность а. Для )! = — 15 и а = 0,9 имеем у, = 0,775, у, = 1,437. Таким образом, прн доверительной вероятности 0,9 совиестимые с данными наблюдения значения о лежат в преде.зах от 0,775о= 15,50 часа до 1,437 а=28,74 часа.
б) Вероятность неравенства — 10 час, ( х — х ( 10 час. определяется распределением Стьюдента 1к и=Р!(х — х! Е] = ~ ЯлЯТ!А Из таблицы !16Т) по е)' л 10 г'16 = 2 и числу 8 20 степеней свободы 7е = и — 1 = 15 находим ц = 0,93; у-распределение позволяет определить вероятность неравенства — 2 часа ( о — о ( 2 часа; кл ~-д ц=.Р !!а — о( (е) = ~ Р 17)ду, 1' Л 1.~.е е 2 По д = = = — = 0,1 и числу степеней свободы н =- а 20 = л — 1 = 15 пз таблицы [20Т) определяем вероятность а = 0,41.
Аналогично решаются задачи 42.2 — 42.5, 42.8 — 42.10. Пример 42.4. Случайная величина Т подчиняется экспоненциальному закону распределения, имеюшему плотность 1 вероятности 7 Щ = = е у 4 01 довппт. вгвоятности и довггит. интцпвдлы 403 и Оценка параметра г определяется по формуле г= — ~» 1 ъз п24 у-1 Выразить через Е границы доверительного интервала для Г, ~довлетвоРЯюгцие Условию Р (ч~Е > Г~ = Р1чат ( Ц = —, 2 тля доверительной вероятности и=0,9 прп и, равном 3, б, 10, 20, 30, 40. Р е ю е и и е. В соответствии с условиями примера имеем Р1.,1>11=Р1;г< ) = Тожтественное преобразование неравенств в этом выражении дает 2 ау Случайная величина у = = имеет аз-распределение Т с 2л степенями свободы, а при и ~ !б случайная величина д = у 2У имеет распределение, близкое к нормальному, с в = 'уг2п — 1 и о = 1.
Поэтому в первом случае (при и ( 15) имеем 2п 2л т!= —; та= а Хь Х~ е Определив из таблицы 118Т1 уз и у'",' а (для числа степеней своооды 2а и вероятностей б и 1 — 01, рассчитываем тг и те Гсм. табл. 37). Таблица 37 10 31,40 12,60 18,30 .а Х) ь 1,63 3,94 10.90 0,64 о,и 0,48 3,68 2,54 1,83 404 методы огвлвотки пвзхльтлтов нлвлюденип 1гл. гх Во втором случае (л ) 15) в соответствии с формулами, приведенными в начале этого параграфа, имеем (сч, табл, 38) 4л 4л (1Г4а — ! + г,)з ()глл — 1 — г )' Величина ез опреде.тяется пз таблицы [8Т! лля вероятности а= 0,9. 1.65 115 0,72 0.76 г! 1,53 1,40 ть На рис. 35 показан график, характеризующий изменение т, и те в ззвисимосги от л для доверительной вероятности а=-0,9.
маь ~ л г7 М7 Л7 .чт ЗГ7 Рнс 33, Пример 42.5. В результате 50 независимых испытаний трех типов приборов (Л, В и С! в течение определенного промежутка времени фиксировалось число отказов (см. табл. 39). Найти грзинцы доверительных интервалов для математического ожидания числа отказов каждого типа приборов за выбранный промежуток времени при доверительной вероят. я аа! доВеРит. ВеРОЯтнОсти и дОВСРит. ИнтгРвллы 405 ности и=0,9, если число отказов для каждого типа приборов за выбранный промежуток времени подчиняется закону распределения Пуассона. Табл нца 39 '!исэо иаааюасиий, а истории ыиос число Отиаэоо иосип посто Чпсао отказов аач типа А ~ ээи типа и ааа типа С 80 0 О 0 0 38 12 0 0 16 20 6 4 Р е ш е н и е.
Прн определении границ доверительного шпервала для приборов типа Л воспользуемся распределением у'. Из таблицы 118Т1 для числа степеней свободы й = 24 и вероятности —,=.0,95 определяем Х =13,8, а для 1+.а с-ь Й=-26 и вероятности б= —, =0,05 находим уз =- 38,9. 2 6 Верхняя ая и нижняя а! границы доверительного интервала для а приборов типа А соответственно равны Ха 389 и! 6 03,8 аз = —, = — = 0,389, а!= — ' = — = 0,138. 2М 100 ' ' ' 2М И!О 5 200 ' — 150 Г и !!2 При определении границ доверительного интервала для математического ожидания числа отказов приборов типа лг, нужно также воспользоваться распределением ут, но с числом степеней свободы й = 180 и й =- 182. Таолица 118Т1 содержит данные только до л = 30. Поэгому, учитывая, что при числе степеней свободы более 30 распределение у' практически совпадает с ноомальным, имеем 406 ыетОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛьтАТОВ НАБл!ОЛЕНИН !ГЛ.
1Х Для приборов типа С ~ гнт --0 и поэтому нижняя граница 1'=! доверительного интервала достоверно равна нулю. Из таблицы [18Т[ для 12=2 и вероятности 1 — а=0,1 определяем у« = 4,6 и рассчитываем значение всрхнея границы: Хйе 4,6 а!= —,"~ = — = 0,046. '2Х 100 Пример 42.6. В процессе испытания 80 образцов изделия у !0 нз них наблюдался отказ. Определить границы доверительного интерва.ча для вероятности отказа при доверительной вероятности 0,95, если число отказов имеет бнномиальное распределение. Сравнить результаты точно~о п првблнженного решений. Р еш ение, Точное решение может быть получено непосредственно нз таблицы [ЗОТ!. Для х = 1О и и — Тс = 20 при 9521'„-ноя доверятельноя вероятности имеем р1= 0,175, р1= 0,528. Прн больших лр[! — р) уравнения лля определения границ доверительного интервала р приближенно могут быть определены с помощью нормального распределения: 1 2 1г М~ «х 1 ~ 2«1 — и 2 2 — рг) =,~ е ' г[з = —, Х= «! ! г«+ 2 !г-ляг ,«-х 1 Р 2« 1 — а 2 1 Отсюда | ей лр+ — + — ш +ее й '[ЛР ж — ) (л — ЛР ~ —,) 22 4 [' ел ЛОВегпт.
ВеРОятности и дОВВРР!т. интеРВАлы 407 ги 1 гле р =.: — =- —,, а величина ез определяется из таблицы (8Т) и 3' .)ля вероятности а=-0,95, Р, = 3 †,! [10 †,5+1,92 в 1,96 1/ ' ' " -)- 0,96~ =- 0,180, 1 Г, Г9,5 ° 20,5 ))з = —.. > 10+0,5+1,92+1,96 У вЂ” '' " +0,96> = 0 529. Г /10,5 19,5, - ='33,84 ~ У 30 11рнблпженне того же порядка дает формула 1 агсз)п 'Ггр, '1 иР - э = агсз1п !)г Ч- — ' агсз1п 1' р, и 2 'г' и г 2 воспользовавшись которой, получим р, = 0,526, р, = 0,166, Вще с более гРУбым пРиближением можно наигн Р. и Ря. считая, ч)о частота р распределена прибли)кснно нормально ,Р (1 — и) около р с дисперсиеи )' и В этом случае р+е р) е! гте е — решение уравнения а:=Ф( ~ Ур(1 — р)! Пользуясь таблицей [8Т] для и = 0,95, имеем е = 1,96 1/: = О,! 69 г 9.30 = 1,96, 'г' р (1 — р) откУда р,-О,ЗЗЗ вЂ” 0,169 = 0,164, р)=0,333+0,169 = 0,502.
П р и м е р 42.7. Для изучеш)я механических свойс)н стали произведено 30 независимых опытов, по результатам которых определены оценки коэффициентов корреляции г,е =- 0,88 " гм=0,40, харак)ернзующпх связь предела выносливости металла соответственно с пределом прочности ца разрыв и предслол! текучести. Определить границы доверительного )штервала для г,е н гы при доверительной вероятности 0,95.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
