1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Выоорка из нормальной генеральной совокугщости хн хл, ..., хн подвеРгаетса обРаботке с целью опРеделениа оценки среднего квадратического отклонения по формуле и 1 ът где х=. — х . и мн!'р 1=' Определить, каким должно оь1ть 7е, чтобы о являлась несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения о. 41.18. Из таблицы случайных чисел взято 150 двузначных чисел (ОО принималось за 100). Зги числа были разбиты по десяткам на интервалы (табл. 35). Таблица 35 1 — 2)22 — 22(22 — во 22+ — во~во — ы$а —;222 — 22„22 л ви — в 1., ) 1б 15 ! 19 !4 11 13 !б 13 14 19 Построить гистограмму и графин накопленной частоты.
Определить оценки математического ожидания и тнтсперснп. 41.19. С помощью таблицы случайных однозначных чисел образовано 250 сумм по 5 чисел. По разрядам числа Распределены так, как указано в таблице Зб (если число 1 н! Оппеделенне моментов слхчаттных величин 393 Таблица 34 394 мшоды овилвотки исзмльтлтов наглюдсни!т 1гл.
!х попадает на границу разрядов, то в смежных рязрядах прибавляется по '/т). Построить гистограмму и определить опенки математического ожидания и дисперсии. Таблица 30 3 — 6 ( 0 — 9 13 21 21 — 24 9 — 12 12 — 15 0 — 3 О 0,5 1,5 РЗО ) 1т,г! 23,5 39 41 27 — 30 ] 30 — 33 24 27 33 — 30 30 — 39 39 — 42 42 — 45 30,5 27,0 7,5 41.20. Произведено и независимых измерений одной и той же неизвестной постоянной вешшины. Систематические ошибки измерения равны нулю, а случайные ошибки распределены нормально. Для определения оценок дисперсии ошибок измерения были использованы две формулы: !! ~~~, !х —.т)! а 7 Являются ли а, и а. цесмешеннычя оценками для дисперсии? Какая из этих формул позволяет определять подходящее значение дисперсии с большей точностью? ф 42.
Доверительные вероятности и доверительные интервалы Основнь!е формулы Р ]]6 — б] .я, е] =а, Довср!мельцым интервалом !изывается интервал, который с заданной доверительной верня!пастью и покрывает оцениваемый параметр 1). Для симметричного доверительного интервала его шнршю 2е определяется услогснем ! !Т! довеРит. ВеРОятнОсти и дОВеРнт. 1!нтеРВллы 395 где ~ — оценка параметра !З, а вероятность Р ! (8 — 9( < с( определяется законом распределения оценки О. Если (хн хн ..., х„) — выборка из нормальной генеральной совокупности, то доверительная вероятность а опредею!ется формуламн! а) для математического ожидания при известном о а = Р ((х — х( <е( =Ф~ — '"); при неизвестно» о га а = ( Ял 11) Ш, где Г ( —,") (1+ Ол 11) =, — закон распределения Стыо,/и — 1! У и1и — 1) Г~ —.( дента, 2 е г'и е 1'и 0 л — ~ бе) — )' и — 1 лйз '1 Т=! Значения 1и даны в таблице (16Т(, входами в которую являются число степеней свободы й = и — 1 и доверительная вероятность а.
б) для среднего квадратического огклонення а=Р((о — о( <е(=Р~ — <у,< !а 1 — е Ра 1Х) !!Х х* гле рат ) „е - и и ' ' ~~) 396 мгтоды ов лвотки !взкльтхтов идол!с!дениц (гг!, гч ! г: Значения интеграла ~ Р„(Х) ИХ приведены в таблн! ь гяч це (2ЬТ).
Доверительный интервал для о, (уго, уго), вероятность выхода о за правую и левую границы которого одинакова и 1 — а равна 2, определяется формулой Р (= ~~ у! ~ = Р ( = ~~ уг ~ = Р ( х ~( =-Р (Х'.. л, )= —,, Для опоеделепия у, и у, по заданной доверительной вероятности а и числу степеней свободы 1г =-- л — 1 можно использовать таблицу 119Т) или таблицу (13Т). При экспоненциальном законе распределения случайной величины доверительный интервал для математпческо!о ожидания (угх, тгх) определяется выражением ,~х <, ~ ~т ~~т ~ (Хг 2л 2л г! 1 — л = Р ~ Хг > — „= Х,'; = 4 ~~~', х.
г=! 4 ~~ х 1=! ()' 4л — 1+ е,)г (Т 4л — 1 — ео)г а =бг(е ), где ея есть решение уравнения 2л 2л Отсюда и! — —, Хьг Х!-ь Значения Х"- п Х! „определяются из таблицы 118Т) для вероятностей, соответственно разных Ь и 1 — Ь, н числа степеней свободы )г = 2л. Г!ри достаточно большом объеме выборки (л ) 15) границы доверительного интервала для х приближенно рассчитываются по формулам дОВеРит. ВеРОятнОсти и доаеРит. интеРВАлы 39? Если из одной и той же генеральной совокупности произведено А/ выборок каждая объеьшм и н событие, вероятность появления которого согласуется с законом распределения Пуассона, происходило в каждой из втих выборок /л/ раз 1/=- 1, 2, ..., М), а оценка математического ожидания ~~р~ гл/ для параметра а определена формулой а = / , , то прн л ) 0 границы доверительного интервала опоеделчются из соотношшшя Р12№ >Ха)=Р12А/а<Ха/ 1=1 н — б, т.
е. для нижней н верхней границ они соответсгвенно равны 2 2 Хг а Хь 2.Ъ' ' 2Ж ' где Хтг з и Хзт прн ааданном Ь выбираются пз таолицы 118Т). причем у"-, а — для чис.та степеней свободы /г = 2 тп /=! /А а уз — для и = 2 ! ~ч"„, /и +1 б ' ~/ г / Для а = 0 нижняя граница равна нулю, а верхняя равна 2 — где у;, наход/гтся с помошью таблицы 118Т) для 1=2 Хга и вероятности Р )2/2'а > ХЦ = 26.
При достаточно большом л (праггтически более 30) грзннцы доверительного нигерва/ы прпблигкенно определяю гся формулами: нижняя где е„есть Решение УРавненин О=Ф/ее), 398 ииойы ОьРАБОтки РезультАтОВ нАБлюпеннй !Гл. !х Если прн л независимых опытах некоторое сооытие имело место ровно т раз (О ( ш( п), то границы рп р, доверительного интервала для вероятности появления этого события р определяются решенияиш уравнений "1 / и-/ ! — ц С„р,(1 — р,) - = /ит ти / и-! 1 — и Г Сира (1 — Ра) =,> /О Эти уравнения приближенно решаются с помощью неполной (1-функции. В таблице [ЗОТ( для различных т и и и двух аначений вероятности а, равных 0,95 и 0,99, приведены величины р, и рз.
Когда п достаточно велико, то приближенно Р!=Р ' Рг=р+' где р = —, а е является решением уравнения л Более точное приближение дают фориулы рт 1 ео 2 Р, и+ее 1 2 2 / — 1 2 агсз(п )/р,„1»Р —" —., =2 агсз(п ~ 2 агсз(!п 1/р, ~ " 2У!! одна из которых дае! интервал с занижением, другая — с завышением того же порядка; га — решение уравнения а= = а! (.,). и Если ш=О, то р,= О, а ре= 1 — 1/1 — и; и если л! =и, то ре= 1, а р! — — 1/1 — а.
, ы1 доввшгт. внгоятностн и доввгит. интвгвллы 399 Доверительный интервал для коэффициента корреляции, оценка которого получена иа нормальной выборки объема и, прибавя<анно вычисляется через вспомогательную случайную 1 1+г величину е, = — 1и =, границы (ге, г ) доверительного 2 1 — г интервала для которой определяются формулами ле = а — еао, ле — л+ еео, 1 где о,=, е„— решение уравнения а=-Ф(е„), г = Ул — 3 1 1+г =Л,+Л„Л,'= — 1и= (значение этой величины опре- 2 1 — г ведается из таблицы (31Т]), Л,= з 2(л — 1) ' По найденным значениям г„и зе из таблицы (3!Т) нли но формуле г = 11з г определяют границы доверительного интервала для г. В случае больших л (и) 50) и малых г (г < 0,5) границы г„, г, доверительного интервала для г приближенно определякпся формулами ! г„ =- г + е,а-,, ге где еа — решение уравнения а=Ф(е„), 1 — г г' л — 1 Решение типовых примеров Пример 42.1.
Среднее значение рзсстояния до ориен|нра, полученное по четырем независимым измерениям, равно "250 ж. Срединная ошибка измерительного прибора Е = 40 м. 1!айти с надежностью 95',; доверительный интервал для из. ~еряемой величины. Р е ш е н и е. Вероятность покрыть истинное значение измеряемой величины х интервалом (х — е, х+г) со случайнымн концами при известном Е определяется формулой ее е е р 1 в~, е Р ((х — х~ <е) == — 1 е (ь:,. ) ° -е 400 метОды ОБРАБбтки РезультАтОВ навлюдвннг! !Тл.
!х Е где Е, = = — срединное отклоншше случайной величины 1/'! л 1=! г- /в!'л ! Решая уравнение Р! Е 1=0,95, из таблипы 11!Т) находим Е =291 'з,9! 2,91 40 Б=- Е=- " =58,2 м. 1'л 2 Отсюда искомые гранины доверительного интервала будут: верхняя 2250 и+58,2 ж= — 2308,2 .н, шижняя 2250 лг — 58Г2 ж = 2191,8 ж. Р,налогичпо решаются задачи 42.1, 42.6, 42.13. !1 ример 42.2. Средняя кв;гдратическая ошиока высотомера а== !5 .и.
Скол ко надо иметь таких приооров на самолете, чгобь! с надежностью 0,99 ошибка среднеи высоты х была болыпе — 30 ж, если ошибки высотомеров нормальны, а систематические ошибки отсутствуют? Р е ш е н и е. Условия задачи могут быть записаны так: Р ( — 30 С х — х ( ОО! = 0,99. Сл чайная величина — 1 ъ-~ Л вЂ” — х — х=.— ' х -х л г= ! является линейной функпией нормально распределенных случайных величин, а поэтому также имеет нормальное распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
