1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Решение типовых примеров П р и м е р 41.1. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равна пулю, было произведено пять независииых измерении, результаты которых представлены в таблице 25. Таблица 26 384 мстоды оввлвотки пвзхльтлтов нлвлюдвннп (гл, !х Прн обработке результатов измерений пспотьзовалнсь две формулы, позволяющие определить несмещенные оценки о: а 1 ъл /=! Н и ог= ~/, ~~ [ху — х',= — 6~~1 [х,— х[.

7=1 7=! Найти о, и ог и определить дисперсии этих оценок, считая, что ошибки прибора подчиняются нормальному ззкону. Р е ш е н н е. Заполнив таблицу 97 и суммируя по ее колонкам. получим: А, =~х =490, У Табанна 27 ! ~Р~[хт — Х[ = 16, ~~", (хт — х)г = 74, ! — = 98 л!. А, и ьл а[/ ' 1 — 1,0641/ 4Л7 лн [а.-х[ ( ")' ! 99 101 103 93 96 36 9 95 О а !г1 где МНог)г[=игМ ~ ~[х,— х[) ~. !=! ог-— -1/ ., Аз=4,48 ьч 2л (л — 1) Полученные таким образом оценки о, и ог явля!отся случайными величинами, математическое ожидание которых М [о!) =М [ог[=о.

Для нахо!кдепця дисперсии а, имеем ~х, (х! — х)' 1 =й,',М [[) [Л'[[ — '=й'л г — о'=(й'„— 1) г Для дисперсии случайной величины ог имеем [) [о [=М[(ог)'] — (М [о [[г опееделение момен соВ !.. Хчлйных Величин 385 л м л!=м [, --„~,1=0. 1 у=! л Ег [Е2[ = — О Х! — — эм Х = [2 2=! х! — — ~~ х. Поэтом) М [[па) л л-! л -!Ем[2 Ч.ьлЛ 2 М,!!;!~ =~'Й[-'2[+ [ — [Л[[е;[[гт[П = )22М где (22 еь !) [21[ [[2![[а [ [ = 2 л!АЕ2 2г ! 2 ! ! [е![[е2[е ' и!г! Е2е,. 1 /' 2!,(!- 2) 2но2 12 1 — г2 После перехода к полярной системе координае имеем Ы [[е,.[[г)[[ = 2л лл Ю' 12-! л!л 22! 1 )та[в)пср[[соаср[е " ' ' 2[ЙЕ)ср= 2ле; 121 — г2 ' 2о =- — [ 1Г1 — ге+ г а2св|пг1 М вЂ” х! — — ~~ х, )( л — 1 1~~ 1 М [22гг[ 1 Здесь г =- о; а; л 1 сч Ойозначпм е! =х, — — 2 хр Так как г! — линейнаЯ )=1 фтнкшн! нормальных случайных величин, то она также имеет нормальное распределение, параметры которого Окончательно получим е! /и [)(оз) — М ((озЯ вЂ” оз — — ( 2 + 1 л(л — 2) — и+ агсз!и— л (!2 л — !г' Соотношение межлу дисперсиями для случзйных величин о, и о.

прп различных л показаны в таблице 28. Таблица 28 20 50 О О(о!1 1)(о!1 1,053 1,150 1,170 Из решения примера следует, что оценка о по формуле а ~ч~ (х — х)' 7=! о! )еи имеет меньшую дисперсию, чем результат, полученный по формуле оз — — )е ~~ (х) — х!. т. е.

7=! оценка о, является более эффективной. Аналогично решаются задачи 41.7, 41.12, 41.20. П р и и е р 41.3. Из текущей продукции прецизионного токарного автомата был произведен выбор 200 валиков. Результаты измерений отклонений диаметров валиков от номинала даны в таблице 29. Определить оценки математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса отклонений диаметров взликов от номинала. Р е ш е н и е, 1(ля упрощения промежуточных расчетов введем случайную величину х) — С ~! л где в качестве «ложного пуля» примем С = 2,5 мк, а ширина разряда И =5 жм. 386 методы ошльотки гьзт7!ьтлтов нлвлюдвннп (гл.

!х ~ ~ц онввлелвнив момвнтов сл~чланых ввличин ~- о о~ оо ~- о о -"- ~о о~ Р4 с5 Оо ~- о о ° о Яа а о1Й ++ ~- о с> ы Ю ++ ~- о о СР 7 ~ ь о о Я2 ~о о 2 н оо аД $ о, о д о о~.о оо о а мои а о 'со СР СБ 388 метОлы ОБРАБО714н РезультАтОВ навлюлениат !Гл. 1х Опрелелим оценки псрвьах четырех моментов случайной величины с учетом поправок Шеппарда Расчеты своаим в таблицу 30. Таблица 30 « ° — с з А Еаа- 1«аа а 7 7 Ра «1 1 л .« . 11 РТ«. 1 ! «3 «4 1 1 з е т — 17,5~ — 4 — 0,140 0,5 60 0,035 0,055 0.075 0,120 024!ц 0,205 0,1300 0,085 0,035 0,015 А ( В А = 0,36; «1 = 3,21; В = 3,90; В = 42,24.

упитывав поправки Шеппарла, получим: !1 А -'-, С = 4, 30 и к, Лз! — Аз — —,) =-92,25 лаасз, 12) 1«з!77 — Зл!В+2Аз! — 1Д 75 !вез И~ — А ~40 — —,. ) +В!6Аз —,) — ЗА4+ — 1! = = 24 215,62 ик«, О!Х!- рз!Х! = !14 !Х!— — = — О. 128, Ма !Х! — 1!3,7э ц« йа !Х! 242!562 — 3 = ' — 3= — 0,16.

ца 8510,06 5!4 !Х! Ех[Х! 1 2 9 10 — 12,5 — 7,5 — 2,5 „2''5 +7,5 +12,5 ф17,5 +27,5 — 3 — 2 — ! О 1 2 3 4 5 16 9 4 1 0 1 4 9 166 чб — 64 256 — 27 8! — 8 16 — 1 ! 0 0 1 ! 8 !6 27 ! 81 64 !256 125 ~625 — 0,1 бл — 0,150 — 0,120 О 0,205 0,260 0,255 6 0 !40 0,075 0,495« 0,300 О,! 20 0 0,205 0,520 0,765 0,560 0,375 — 2,240 — 1,485 — 0,600 — 0.120 0 0,205 1, 040 2,295 2,2 40 1,875 8,9 60 4,455 1,200 0,120 0 0,205 2,0 80 6,885 8,9600 9,375 ,и опгсделшпсв момгнтов слзчлиных вил!!чин 389 Лля тех же величин без (сьс.

припер 43.2 и 43.4); х ж4,30 мк, 89 [Х! .= — 0,125, 0 [Х! ж 94,26 мк', Лнзлогично решаются учета поправок Шеппарда имеем 1сс[Х! = 25 375,00 мк', Ех [Х! = — 0,145. задзчн 41.5, 4!.8, 41,18, 41.!9. Задачсс 41.1. Прн 12 независимых измерениях ошпгм и тем же прибором базы длиной 232,38 лс получены следующие результаты: 232,50; 232,48; 232,15; 232,53; 232,45; 232,30; 232,48; 232,05; 232,45; 232,60; 232А7; 232,30 м, Предполагая, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат систематической ошибки, определись несмещенную оцешсу срединного оюглонения ошибок измеРительного прибора.

41.2. Ланы результаты 8 независимых измерений одной и той же величины прибором, ие имеющим систематических ошибок: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 лс. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, сслщ а) длина измеряемой базы известна:х = 375 м; б) ллина измеряемой базы неизвестна. Я 41.3. Прн обработке данных 15 испытаний спортивкого самолета были получены следующие значения его максимальной скорости; 422,2; 418,7; 425.6; 420,3; 425,8; 423,1; 431,5; 428,2; 438,3; 434,0; 4!1,3; 417,2; 413,5; 441,3; 423,0 .я/сгк, Определссть несмещениые оценки математического ожнтания и среднего квадратического отклонения максимальной скорости самолета, полагая, что максимальная скорость самолета имеет нормальное распределение.

41.4. Прн обработке лапных 6 испытаний спортивно~о катера были получены следующие значения его максимальной скоростсн 27, 38, 30, 37, 35, 3! .ц'гесс. Определить несмещенные оценки математического ожидания и срединного отклонения максимальной скорости катера, полагая, что максньсальная асорость ка ера имеет нормачьное распределение. Ф 41.5. г)увствитель сость телевизора к внлеопрограмме характеризуется данными, приведенными в таблице 31. Таблица 31 и ~! к, .нкв и «,мкв и .кв, мкв вк) 10 ' 350 1 ! 375 26 ' 400 8 ~ 425 23 ~ 450 9 ,', 500 200 225 250 275 300 325 550 600 625 650 700 800 3 19 3 1 6 4 20 10 29 5 26 24 Определить оценки математического ожидания к среднего квадратического отклонения для чувствительности телевизора к видеопрограмме. 41.6.

Для определения частоты события А производится п независимых опытов. Определить, при каком значении Р (А) дисперсия частоты будет максимальной. 41.7. Произведено н независииых измерений одной н той же неизвестной постоянной величины. Ошибки измерения гюлчиняются нормальному закону с математичеагим ожила- пиен, равным нулю. Для определения оценки дисперсии по результатам опыта были использованы две формулы: П к кт (х! — х)в -„нхт (х) — х)' 7=! /1 Определить дисперсию случайных величии от и о"". 41.8.

Полученные в результате опыта значения случайной величины Х разбиты на группы. Среднее значение х*. для 7 каждой группы н число элементов в группе ви ланы в таблице 32. Таблица 32 и )~ к 47 48 49 44 45 46 48 33 5 50 52 58 7 18 120 390 метОды ОБРАБОтки РезультАтОБ ИАБлюденил (гл.

!х ! и! Опгеделенне моментов случлпных Вел!шнн 391 Определить опенки для коэффициента асимметрии и эксцесса. 41.9. Выборка из генеральной совокупности хн х„ ..., х„ подвергается обработке по разиостям с целью определении оцеики дпспершш. Лля обработки результатов опыта применяется форму.ы ь-! о =А ~ (х., — х,.)т. ! .= ! Каким должно быть !е, чтобы и'-„являлась несмещенной оценкой О'-, геля случайпая величина Х является нормальнойг 41.10. Пусть хн х.„..,, х„— результаты независимых измерений Неизвестной постоянной величины. Ошибка измерений подчиняются одному и тому же закону нормального распределения. Среднее квадратическое отклонение ошибок измерений определяется по формуле и=/г ~а !х; — х), !=1 где ь х=.— ~ х, у=! Определигь значение )е, при котором а является несмещенной оценкой и.

41.11. Ланы результаты независимых измерений хн х.„„..., х„извеспюй постоянной величины х. Ошибки измерений подчиняются одвому и тому же закону нормального Распределения. Обработка Наблюдений для определения оценки среднего квадратического отклонения ошибок измерений ведется по формуле ь О=4 ~ ',Х,— Х(. !':. ! Каким дол>кпо быть А, чтобы были несмещенными оцепки! а) среднего квадратического отклонения ошибок; б) дисперсии ошибок? 41.12. Произведено а независимых перавноточиых измерений хн х,..., х„одной и той же неизвестной постояпиой 392 ыстОды ОБРАБОтьн РезультАтОВ нАБлюдений [Гл. гх вели шны.

Оценка измеряемой Бсличппы определяется по формуле ~ Атлу 1=1 !ы! Какнмн долгнцы быть АЛ чтобы дисперсия х была минимальной, если среднее квадратическое отклоненве ошибок /-го измерения равно о .' 41.!3, Произведено и независимых опытов над сцсгемой двух случайных величин, имеющей нормальное распределение на плоскости; в опытах определяются значепня этих величин (х,, уь) (й = 1, 2, ..., Л). Главные осн рассеивания параллельцы координатным осям.

Определить несмещснные оценки математнчсского огкндаиня н срединных отклоненнй этих велнчнн. 41.14. Решить задачу 41.13 для случая, когда результагы незавншеяых испытаний даны в таблншс ЗЗ, Таблнца 33 м "А " ) Га м !)ааыга Ы) М ааыта Ы Гл, М 4!.15. Для условий задашг 4 1,! 3 определмть оценки параметров единичного эллипса рассеивания, еслн до проведения опытов направление ~лавных осей рассеивания неизвестно. 41.16. Решить задачу 4!.15 лля случая, когда результаты 16 независимых испытаний даны в таблице 34. 55 43 63 эт 44 26 59 7а 46 ~! 10 34 1~ И 61 12 84, ,13 54 ' 14 53,~ 15 21 (~ 16 41 36 56 72 48 !6 49 36 31 60 48 78 бч 49 31 64 ! м ааы та Оы.аане- ннн, м к отклонение, м оны ' оны- »1 Отклоне ннн и Отклонення к Ут 1 +2 ~ -1-59:~ 5 2 .2-3 '+88! б 3 +2 +32' 7 4 — 2 — 24; 8 7' 13 -г572! 14 ,'-72 '1 9 +1 — 2 — ! +2 +4 4 !03 0 -; б5 +! .1- 18 +! + 288 0 +34", 10 +2 — 12,:' 11 +42 15 +23 1б +3 +50~ 12 41.17.

Характеристики

Список файлов книги