1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 47
Текст из файла (страница 47)
И Решением задачи Коши для исходного уравнения является функция О, при которой )г=О; отсюда О = ехр ~ — — (1 — и) (1 — е-и') ~. T и Вероятности Р,Я связаны с производящей функцией О(1, и) равенством 1 дО(С, и) ! и) ди !а в которое дает Р„(г) = — '~ — (1 — е-нг) ) ехр~ — — (1 — е-«') ~, 1, Л т. е. закон Пуассона. с параметром а= — (1 —,. а-яг) ° Л И . б) Предельные вероятности р„получаются предельным переходом из найденных вероятностей Р„Я; гйзл Рл=. 11ш~ л(г) = ~ '( ) Я. л — л~ (р) Х.~ т. е. р„подчинены закону Пуассона с параметром а= —, (Тот же результат можно получить, решая систему алгебраических уравнений.
получаемую из системы дифференциальных уравнений для Р„(Г) после замены в ней Р„(г) на рю — „" ЛРя (г) нулями.) в) й(атематнческое ожидание числа 'занятых приборов М (г) = ~~'.~~ лРя (г). л з Составим для него дифференциальшзе уравнение: — = ~~у л — "= ~З а(' — "(Х+щь)Р (Ф)+)Р ~(а)+ :а=О л=з -(-(л-)- 1) рР„„(а)1 =).
— рМ(Г); Так как в начальный момент все приборы свободны. то М(г)= — (1 — е г"): р Аналогично решаются задачи 39.17 — 39.19. П р и и е р 39.3. Система массового обслуживания состоит из гл приборов, каждый из которых может обслужить одновременно только одно требование, затрачивая н» обслуживание случайное время, распределенное по показательному ~акопу с параметром р. В систему поступает простейший поток требований с параметром Х, Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном случае требование получает отказ и не возврзшается в систему.
Определить предельную вероятность отказа в обслуживании. Решение. Обозначая Я, состояние системы, прн котоРом г пРибоРов занЯты обслУжнванием, имеем Р,л(г) > 0 для конечного промежутка времени. Следовательно, применима теорема Маркова утверждающая, что Существуют предельные вероятности рл= Ищ Ра(г). которые определяются по формуле сар =обзор~-и Р~-~+с~аьра+и «Р»еп Аналогично предыдущему прниеру имеем Л Рл, «+1='у+«и ' (0<,в «лг — 1), лн Ра а-т=, Л )„„ Раь эь+1 ем = в)Ь Подстановкой Я»=ЛР, 1 — п)ьР« система пРиводитсЯ к видУ я,=О. яа — г +1 — — О (0» п»т), я,„=0. откуда г»=0 для всех в.
а зто значит. что Л Р= Р— иаир= ~ ) РО. а аи а-1 а= а~ 1н) Система достоверно находится в одном из состояний 1)а (и =О. 1, 2...., я1),, поэтому ~ч'„Ра = 1; а«О отсюда вероятность РО иметь все приборы свободными равна 1 РО = а О а остальные вероятности ру« — — О, Подставляя зти значения р;л в уравнения для ра, получим (Л+нр)Р„=ЛР„,+(а+1))ьР...
(О «а «и — 1; р,=о). дерр» = " Раа-1 Вероятность отказа требованию в обслуживании Рт = (Формула Эрлаига). Х 1 1Л)а о=е Аналогично решаются задачи 39,3, 39.10. 39,11, 39.14. Задачи 39.1. Частицы, вылетающце из Радиоактивного вещества в процессе его Распала, образ)нот простейший поток с параметром Х. Каждая частица независимо от другой с вероятностью р регистрируется счетчиком. Определить вероятность того, что за время г будет зарегистрировано а частиц. 39.2. По двум линиям связи в один пункт поступает два независимых простейших потока телеграмм. Найти вероятность того. что за время 1 в пункт приема придет и телеграмм, если параметры составляющих потоков равны Х, н Лю 39.3.
Электронная эмиссия с катода электронной лампы представляет собой простейший поток электронов с параметром Х. Времена полета для различных электронов — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения Р (х). Определить вероятность того, что спустя время а после включения между электродами лампы будет ровно и электронов, и предельную вероятность того же события. 39.4. Для простейшего потока событий опреде.тить коэфФнцнент корреляции между числами появлений событий в интервалах (О, 1) ц (0„1+«).
39 3. Для случайного момента времени Т„появления и-го события в простейшем потоке с параметром Х опредеФункцию распределения Р„(ф плотность вечоятности А(Г) н начальные моменты шю 39.6. Найти вероят ости перехода системы из состояния % в состояние я» за время Г в однородном марковском процессе, если при однократном изменении состояния она может перейти только из состояния 0„ в состояние я„+и а вероятность изменения состояния системы в промежуток времени (А 1+Д1) равна 1)оЫ+-о(АЯ)1. 39,7. Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового обслуживания, образуют простейший поток с параметр.
).. Каждый клиент обслуживается одним мастером в течение случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром р. В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность отмаза клиенту в немедленном обслуживании не превосходила 0,013, если р = Х. 39,8. Один рабочий обслуживает щ автоматическах станиов, которые при нормальной работе не требуют его вмешательства.
Остановки каждого станка вследствие неполадок образуют независимый простейший поток с параметром, Х. Для устранения неполадки рабочий тратит случайное время, распредетенное по показательному аакону с параметром 1л, Найти предельные вероятности того, что й станков не работают (ремонтируются и ожидают ремонта), н математическое ожидание числа станков в очереди на ремонт. 39.9. Решить задачу 39.3 прн условии, что число обслуживающих рабочих равно г(г < лг). 39.!О. В электронно-вычислительной машине могут быть применены либо элементы А, либо В.
Отказы этих элементов образуют простейший поток с параметрамп ),л —.0,1 ед./час и ).л=0,01 ед./час. Суммарная стоимость всех элементов А.. равна а. суммарная стоимость элементов В равна Ьф ) а). Неисправность элемента вызывает простой машины на случайное время ремонта, подчиняющееся показательному закону распределения со средним временем, равным двум часам. Стоимость каждого часа простоя машины равна с.
Найти математическое ожидание экономии от применения более надежных элементов за 1000 часов работы машины. 39,11. В систему обслуживания, состоящую из п однотипных аппаратов. поступает простейший поток требований с параметром Х. Обслуживание требования начинается немедленно, если имеется хотя бы один свободный аппарат, и оно требует работы только одного аппарата, который тратит нз обслуживание случайное время, подчиняющееся показательноиу аакону распределения с параметром 1л (ра > Х).
Если в момент поступления требования нет ни одного свободного аппарата, то требование становится в очередь. Определить прелельные значения: а) вероятности ра того. что в системе обслуживания находится ровно й требований (обслуживаемых и находящихся в очереди); б) вероятности р' того, что все аппараты заняты обслуживанием; в) функции распределения Р(/) и математического ожидания Г времени ожидания начала обслуживания; г) математического ожидания т, числа требований, ожидающих начала обслуживания, тз числа требований, находящихся в системе обслуживания, тз числа свободных от обслуживания аппаратов.
39.12. Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного ремонта является простейшим с параметром Х = 10 ед,/час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром р =- 5 ел./час.
Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до началз ремонта, если в мастерской 4 ремонтных рабочик, каждый из которых одновременно ремонтирует только один прибор. 39.13. Сколько позиций должен иметь испытательный стенд для того, чтобы в срелнем не более 1 11 изделий ожилало начала испытаний дольше 2/3 смены, если продолжительность испытаний — показательно распределенная случайная величина. имеющая среднее значение 0,2 смены, а поступающие на испытания приборы образуют простейший поток со средним числом поступлений 10 единиц в смену? 39.И. Система обслуживания состоит из и аппаратов, каждый из которых обслуживает одновременно лишь одно требование.
Время обслуживания является показательно рас'- пределенной случайной величиной с параметром 9. В систему поступает простейший поток требований с параметром А((гл ) ) л) Обслуживание требования начинается немедленно, если есть хотя бы олин свободный аппарат. Если все аппараты заняты. а число требований в очереди на обслуживание менее т., то требовзнне становится в очередь; если же в очереди т требований, то вновь поступившее требование получает отказ. Опрелелить предельные значения: а) вероятности р того, что в системе обслуживания нахолится ровно й требований; б) вероятности того, что поступившее требование получит отказ; в) вероятности того, что все обслуживаюшие аппараты будут заняты; г) фуякции распределения г"Щ времени ожидания начала 'обслуживания; д) математического ожидания яг, числа требований, ожндаюших начала обслуживания, лга числа требований, находяшнхся в системе обслуживания, та числа свободных от обслуживания аппаратов.
39.15. Парикмахерская имеет трех мастеров, каждый иа которых в среднем на обслуживание одного клиента тратит 10 мгш. Клиенты образуют простейший ноток со средним числом поступлений 12 человек в час. 1(лиенты становятся в очередь, если к моменту их прихода в очереди менее трех ' человек, в противном случае онн покидают парикмахерскую. Определить вероятность ре отсутствия клиентов в парикмахерской; вероятность р того, что клиент покинет парикмахерскую необслуженным; вероятность р* того, что все мастера будут заняты работой; среднее число ш, клиентов в очереди; среднее число клиентов хча в парикмахерской вообше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
