1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Определить среднее число выбросов в единицу времени случайной функции А(Г) за уровень 2о„, если А(г)— огибающая нормальной случайной функции Х(!), а К (т) = о'е-"!" (1-+ а ~ т ) ), х = О. 37.! 3. Определить среднее число выбросов амплитуды огибающей нормального случайного процесса Х(г) за уровень 2п„. если К (т)=оте-"!'!(1+а!т!+-2.а'т') 1 37,14. Определить условный закон распределения фазы нормальной случайной функции Х(1) в момент времени г.+т, если в момент времени г фаза равнялась нулю, а К (т) = аз е-"' ~ ! соз Дт+ — з! п р ) т ) 1, х = О.
Пренебрегая дисперсией амплитуды огибающей, апреле. лить дисперсию Х(т) в момент (1+ — ~!. где яч / ю, = —, / 5„(ы)геНго, а=0,01 сек. ', !)=0,70 сек. ' 2 /' а~~ ° о 37.1б. Определить корреляционную функцию связи дву>;. нормальных стационарных случайных функций Х(г) и г'Щ .' если Х (С) = А (Г) соз Ф (Ф), У (1) = А (1) з(п Ф (Г), К (т) К (т) = азе-'! '! ~соз рт+ — з1п р ! т ~) . е г е р ГЛАВА Ч!Н МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Я 38.
Цепи Маркова Основные формулы Последовательность испытаний, в каждом из которых может произойти лишь одно событие из полной группы событий Ом Ою ..., О,„, образует цепь Маркова, если вероятность РО(А) того, что при А-и испытании наступит событие О1 при условии, что при (А — 1)-м испытании наступило событие Он не зависит от того. какие событиа происходили при предыдуших испытаниях. События Он Яю ..., () называются состояниями цепи Маркова или состояниями рассматриваемой системы, а А-е испытание можно рассматривать как изменение состояния в момент гы В каждом столбце матрицы г7'„= 11 Р,1()г) )~ имеется хотя бы один отличный от нуля злемент, причем вероятности перехода р,1(Ф) (С,Г'=1, 2...., гл) при любом м удовлетворяют соотношению Цепь Маркова конечная.
если число состояний ограничено; неприводимая, когда каждое состояние достижимо нз любого другого состояния; периодическая. если возвращение в любое состояние может происходить только через число шагов, кратное н > 1. Цепь Маркова называется однородной, если переходные вероятности р, (А) не зависят от А, т. е. Рц (Д) = РО (1,/= 1. 2... „лг). Столбец р(а)=(рг(а); ра(а); ...; р (а)1 абсолютных вероятностей того. что при а-м испытании система перейдет соответственно в состояния Я!, ьга, ....
9 , определяется формулой р (а) = (д',д; ... д'„)' р (О), а для однородной цепи р (а) = (д")" р (О). где штрих означает транспонированную матрицу. т. е. если дч=Цр,гЦ, то д' = Ц ррЦ. При любых и, но относительно небольших т для вычисления д'" можно использовать формулу Лагранжа — Сильвестра, которая прн простых характеристических числах Х!, Хю ..., Хм (корнях уравнения 113' — д'~=О, где Й' — едимнчная матрица) имеет вид у (. — х,т)... (и — х»,х) (~ — ~.„х) ...
(л — г, я),. (х» — хд *. Й» — х»-~)Р» — х»~~) "° ()ь» — х ) »=! В общем случае при вычислении д'" удобно использовать возможность приведения матрицы д' к нормальной форме д'= НУН , где У вЂ” лиагональная или квазидиагональная матрица. которая зависит только от характеристических чисел матрицы Ю'. При простых характеристических числах У=Цб!»Х» Ц, где Аы — — 0 при 1 Ф а, а Ễ— — 1. Элеленты матриц Н и Н ' являются решениями алгебраических травненнй, которые в матричной форме имеют вид д'Н =Н.г, Н 'д'=УН, НН =3'. Тогда д!"=ОН, где при простых характеристических числах У = Ц б!»).» Ц, Элементы р!"! матрицы д'" определяются также по формуле Перрона л" ' х А!!(х)(л — л,)" рш! — ч а/ .йети (тв 1)1,~Хт»-! ~ АХ вЂ” сР ~ »=! ь=» где г — число различных характеристических чисел, т, — их / г кратности ~ ~ч, =т~ . а Ад ().) — алгебраическое дополнез=! нне дла злемента И)! — Рр в опРеделителе ~М вЂ” д'! ° Матрица р» '= ~~ р', ~~ предельных вероятностей перехода и столбец р(со) =(д~) р(0) предельных абсолютных вероятиостей могут быть получены из соответству)ощих выражений непосредственным переходом к пределу при и-ьоо.
Пределы существуют только в том случае, если ! Л,~ ( 1 при л = 2, 3, ..., г (для иатриц вероятностей перехода всегда )Л,~ ( 1, причем одно характеристическое число ?ч равно единице). При этом и~',-1 — ((?т — »') )!лй-и )! НЛ»*-1- и»~ — ) Ла — »)»! иЛж где ч) — кратность характеристического числа Л, = 1. При », = ! в матрице У все и строк одинаковые.
а элементы столбца р (оо) совпадают с соответствуюпгимиэлементами любой строки. чь е, р (со)=р( )=рг'') (1, /=1, 2, .... т). ? )? ? В этом случае вероятности р) ) могут быть оирвделеиы также иа решения алгебраической системы Ш т ~ р р~' )=р)') Ц=1, 2...„т). причем,,'»„рг""?=1. Если конечная цепь Маркова иеприводимая и непериодическая, то для определения вероятностей р' ') можно испольвовать последние уравнения. Когда число состояний т=со, цепь Маркова неприводимая и непериодическая, а система линейных уравнений ~ч'„' и,р)? — и? (?' = 1, 2....) имеет не- )=1 нулевое решение, для которого ~~.", 1иД < оо, вероят- )=1 кости р? ) (р( ')» О, ? .1, 2, ...) находятся как решении системы ~~ р. р( ) — р! ) (у=1„2, ...), где ~~ р<.
)=1. 1=! ?=1 ? Если можно выделить группу состояний системы так, чтобы был невозможным переход иа любого состояния этой группы в любое из оставшихся состояний системы, то эту группу можно рассматривать как самостоятельную цепь Маркова. Группа может состоять из одного состояния 9», прн этом р„ = 1, а 1~а — состояние поглощения. В общем случае из состояний ф, Яа ..., Я можно выделить независимые друг от друга группы Сн Са ..., С„ состояний, называемых существенными; оставшиеся состояния образуют группу Т несущественных состояний. При соответствующей нумерации состояний матрица Ф' приводится к виду й, о ... о ...
о 0 1с, ... 0 ... 0 О. О ... И„ ... О где Йп 1сю .... Йа — матрицы вероятностей перехода групп состояний С,, Сн ..., Сь., н' — квадратная матрица, соответствующая несущественным состояниям группы Т. а У вЂ” ненулевая (при наличии несущественных состояний) в общем случае прямоугольная матрица. Если все характеристические числа матриц Йн Иа, ... ..., Л„. кроме точно равных единице. по модулю меньше единицы.
то й",о ...о ...о О ДГ ...0 ...О 0 0' ...Рл ...О сг' 0 где У вЂ” некоторая прямоугольная матрица. Пусть в матрице Ф' 6=1, т. е, имеется одна группа С состояний поглощения. Если цепь Маркова из состояний этой группы непериодическая, то вероятности р, перехода системы нз несущественного состояния Я в группу С существенных состояний находятся с помощью уравнений рч~ ~ ~ Р/трю + лгг руг' "51 г С где в первом слагаемом суммирование ведется по номерам несущественных состояний.
а во втором — но номерам существенных состояний. Пусть и1 Ц=1, 2, .... И) — число характеристических чисел (с учетом их кратности) матрицы Йр не равных точно единице, но по модулю равных единице. Наименьшее общее кратное зтнх чисел является периодом к цепи Маркова. Если цепь неприводнмая, то все состояния периодической цепи 'можно разбить на группы 0„, Оп ..,, 0» ( так, что переход из состояния, входящего в О„, за один шаг всегда приводит к состоанню, входящему в О,+( (О„ = Оа) В цепи Маркова с матрнцей Ф' каждую группу О, можно рассматривать как самостоятельную цепь. Существуют пределы ври г = О, 1..., ..., х — 1: р „, если Я изО.а(;)аизО 1(ш р(»»+ б М О в противном случае; прн этом вероятности р» „ определяются, как' при х = О.
В общем случае также существуют матрица (т') н матрицы д',=Ф'"(»У'~) (г=О, 1, ..., и — 1). Матрица чуь= (! р„ (! средних предельных вероятностей перехода опре» деляется формулой Р=-.'(э+2'+ ... +(Р'"-')(а")" Столбец р средних предельных абсолютных вероятностей равен р=Ф'р(О). Если в матрице д' И=1, то средине предельные -абсолютные вероятности р) (у = 1, 2, ..., и) одноаначно определяются равенствами:. д' р = р* с'.( Р1= ! (=1 Рещение типовых примеров Пример 88.1. Из таблицы случайных чисел, содержащей все целые числа от 1 до и включительно, выбираются числа наУдачУ.
Система находитсЯ в состоЯнии (',»р если наибольшее нз выбранных чисел равно ( Ц= ! 2 ° ° " и). Найти вероятности р(»! (О И = 1, 2, ..., и) того, что после выбора из этой таблицы и случайных чисел наибольшее число будет равно и. если раньше им было число 1. Р е ш е н н е. В таблице случайных чисел любое число от 1 до т равновозможно, поэтому переход из состояния С), (наибольшее выбранное число равно единице) в любое со. стояние Я~ равновероятен, Тогда Р,~ — — (г'= 1, 2..., 1 ьт ..., лг).
Из состояния Яа в 1з, переход невозможен, поэтому Р,=О. В состоянии 9т можно остаться в двух случаях. когда очередное выбираемое число равно 1 или 2, поэтому 2 1 Ры = — Раг = — (г'= 3. 4 ..., лг). В общем случае по- лучаем 1 Рм= —, Рг~=О при 1) /; р, = — при 1(/ (1, 1= 1, 2, ..., лг)., Матрица вероятностей перехОда ааписывается в виде 1 1 1 1. 1 лг лг 1 1 лг лг 1 1 яв .
гл 2 1 0 0 0 .3 0 О 0 0 О 0 ° .. 0 1 Характеристическое уравнение ~ЛЗ вЂ”,р ~= — Ц(Л вЂ” л)=О «=! имеет простые корни Ла — — — (А=1, 2, ..., т), Для опре. а деленна веРоЯтностей Роьй ЯвлЯющихсЯ элементамн ма" трицы Ф'", воспользуемся формулой Перрона. Алгебраические дополнения Ааг(Х) влемеитов определителя )14' — 4'~ <ледующие: при 1 > й Ааг (Х) =О; Ааа()ь) =" — "" -л — 1 д- — ' при 1< й Ааг ® = — „, П 1) — а) П ('ь — ю) = т=1 г а+г 1Хх — Ф ~д — ф(д- — а1) ' Подставляя вти выражения в формулу Перрона, получаем О при 1~ й.
а а и=1 ~ ( — ) — ( — ) прн С йг Аналогично решаются аадачи 38.3 — 38.10. Пример 38.2. Автомат для продажи билетов в метро может работать при получении монет достоинством в 5 коп. и 1О коп. В первом случае автомат выдает билет, если при емннк, вмещающий лг пятикопеечных монет, не ааполнен, и выключается в противном случае. Прн получении десяти- копеечной монеты автомат выдает билет и 5 коп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
