1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Яе, (э) 1 9„(е) 5„ (е) а' Р,„ (в) где с,* Ф ~ч-~~ ~ч-р сь к=1ь=ь (г,' — »,'- (. ' Р'() " Ие ' "е кт (г=1, 2, ..., а') — полюс иратмости 1, выражения (Е'ь (а) Р„(е) лежащий и нижней полуплоскости. Дисперсия 0 (е(с)1 для оптимальной динамической:системы О!е(г)1 = 0 1Е(г)1 — Р (у(г)1 Если динамическая система использует ординаты случайной функции за конечный интервал времени (à — Т, Г), пред. шествующий текущему моменту времени г («система с конечной памятью»), а полезный сигнал является суммой полиноиа Йа(Г) заданной степени й (коэффициенты полинома — любые постояннзТе величины) и стационарной случайной функции (У(Г), т.
е. функция Х(г), поступающая на вход системы, равна сумме Х (Г) = !т „(Г) + И (Г) + Ч (Г), то при тех же прелположениях о виде спектральной плотности 8„(е!) весовая функция Г (т) оптимальной динамической системы определяется формулами: ~ (Г) = ~ ц$1+ ~~ с,е~ '+ ' у=о г=! СО П ВВ + ~ -уг-"-„-у~-М((гз) 8„(е!) е'~с(га+ )~~ А!бр М(Г)+ Здесь и,— корни уравнения 1Р,е(1п) 1з=б, М(ге!) — передаточная функция оператора )ч, а постоянные. входящие в правую часть равенства, определяются путем подстановки выражения 1(т) в уравнение которому удовлетворяет весовая функция 1(т) оптимальной динамической системы, и уравнивания коэффициентов как у одинаковых степеней г'. так и у одинаковых показательных функций. К получаемым таким образом 2а+и+ 1 уравнениям необходимо добавить еще Ф+ 1 уравнений, дающих равенство моментов функции 1(т) и весовой функ- ции и (т). соответствующей заданному оператору М, т.
е. уравнения г+ 1(т)т1г(т=р1 (7=0, 1 2, .... А). о- где Получающаяся таким образом система уравнений полностью определяет все постоянные, входящие в выражение для 1(т). Передаточная функция Е (йо) может быть получена нз 1(т) путем преобразования Фурье ь(йв)= ~ е-'вЧ(т)Фс, а дисперсия ошибки е(г) для,оптнмальной системы,в данном случае 0 (е(г)1 = 0 [Е(г)1 — )с„,(О)+ ~ Хтй~, / з Аналогичным образом решается задача определения весовой функции оптимальной динамической системы в том случае, если неслучайная часть полезного сигнала содержит линейную комбинацию (с постоянными, но неизвестными параметрами) тригонометрических илн показательных функций времени.
Отличие будет заключаться только в том, что в выражении для 1(т) появится аналогичная линейная комбинация. коэффициенты которой могут быть определены путем подстановки в исходное интегральное уравнение. Б ряде задач отказываются от создания оптимальных динамических систем вследствие трудностей. связанных с их ,практической реалиаацией. и идут на создание систем, не являющихся оптимальными в строгом смысле этого слова.
но даюгцих наименьшую дисперсию 0 (е(г)) среди систем, Реализация которых в ланном случае не представляет особых затруднений. Например, при определении значения функ- цин У(Е) в момент времени Е+х и качестве функции Т(Е) можно принять г(Е) = цУ(Е)+ паУ(Е) и определить а, и и, так, чтобы прн у(Е)=я(Е) 0 !»'(Е) — Е(Е)) =ш»п. При такой постановке задачи определение вида оператора Ь (значений постоянных, входящих в выражение для этого оператора) сводится к определению экстремума функции нескольких переменных. Решение тнповых примеров Пример 36.1. Динамическая система проектируется дтя наилучшего приближения к случайной функции Л(Е) = = ХУ(Е+ те).
Определить взаимную спектральную плот. ность Я„,(в), если Х(Е) = У(Е)+ ь'(Е), а передаточная функция Й(Ею) оператора Х, время упреждения тр, спектральные плотности 5„(ы), 5 (ы) н взаимная спектральная плотность 5я (е) известны. Р е ш е н и е. Подставив У+»Г вместо Х (Е) в выражение ЕЕ, (т) = М Ц Х' (Е) — л»! 3 (Е+ т) — я») заменив У(Е) и»г(Е) их спектральными рааложениями и учитывая. что Х(Е)= ~ п(т) У(Š— с) сЕт, после простых преобразований получим Ял,(ы) = »Яя(ы) + о (со)) АЕ(Еы) е ~~о. Аналогичным образом решаются задачи 36.1 и 36.2, являющиеся вводными для ланного параграфа. П риме р 36.2, На вход динамической системы поступает случайная функция Х(Е) = У(Е)+ г'(Е).
гдв спектральная, ая плотность полезного сигнала 5„(ю) = †. .. З„,(ы) = 6 а спектральную плотность помехи можно считать постоянной: 8„(ы) = сз. Определить передаточную функцию Е.(Ею) оптимальной динамической системы, если задачей системы является получение функции Л(Е)= У(Е+ т), где: а) т)~0; б) т < 0 Решение. В данном случае сгв~+ а~-» с~(П, ) Р, (в) р Б-(")= . +Р =" я'()р ° Р ()= — 'у 1) (в) =ю — 1п, у= — ~/а~+ сора. О~(в) а) При т)~О выражение —.5,(в) имеет один полюс Р~ (в) и верхней полуплоскости; е = 13; следовательцш 1в — 13 1 Г в+ 1й аа (1в) = —, —. — ~(го — ~О)— со в — 1у в — 13 'ь в+су ег+ра >⠄— оз е а~ с' (3+у) (у+1в) О',(в) б) При т а, 0 — „Б,(в) в нижней полуплоскостн имеет Р, (е) один полюс е= — 1у; следовательно, Е(1в) =,+„, е вг ~, ~,+у, 1 е — 13 1 Г в+13 'со е — 1у в+гу ~ ' в+)у ес+Р Пример 36.3.
Дистанция П(1) до самолета, измеряемая радиолокатором с ошибкой )г(1), для определения текущего значения скорости поступает в динамическую систему, которая учитывает ее значения только за период времени (1 — Т, 1). Определить оптимальную весовую функцию 1(т), если К,(т) = озе-а!'$; истинное значение дистанции с достаточной точностью можно считать полиномом третьей степени от 1, оч = 30 лс, а = ОЛ сек. ', 3 = 2,0 сек. ', Т = 20 сек. Р е ш е н и е. Так как корреляционной функции Кч(т) аа соответствует спектральная плотность Ю (е) = л (во+ аа) а полезная часть случайного сигнала у (1) = О.
то в соответствии с обозначениями, принятыми в данном параграфе, имеем а = 3, л — гл = 1, 8 (е) = я„(со), числитель 5„(е) .не содержит е и, следовательно, не имеет корней. Весовая функция оптимальной системы будет 1(т) =А„б(т)+В, б(т — Т)+Во+0 т+Огт~+Озт~. Для определения постоянных после подстановки 1(т) в уравнение го 3 1(т)К ( )а Х)117 о- т=о и уравнивания коэффициентов у одинаковых показательных функций получим: 1 2 6 — аАг+ Оо — — Ог+ — Ог — — Оз = О.
а аг г аз — аВ, +,Оо+ — (1+ аТ) О, + —, (2+ 2аТ+ а'Тг) О + + з (6+ баТ+ 3агТг+ азТз) Оз 0 1 аз Дополняя вти уравнения равенствами, получающимися при уравнивании моментов 1(т) и л(т)=МИ (т): Аг+В,+ТОо+ — Тг0,+ — Т'О,+ — Т40 =О, В~+ — ТОо+ — Т~Ог+ — ТзОг+ — Т40з =О, Вг + 4 ТОо+ 6 Т 0 + 6 Тз0 + 7 ТзОз =О, получим полную систему линейных уравнений. определяющих искомые постоянные. Решение системы дает: Оо=6,948 10 ', Ог=9,618 10 . А,=6,138, Ог = 7 803 ' 10 Оз = 0 2896 ' 10 г Вг = 2 682. Задачи 86.1. На вход динамической системы поступает Х(1) = У(Г)+Ъ'(Г), где у(г) — полезный сигнал, а У(Г) — помеха.
Определить В (сО) если ~и (ы) Во (я) н Ъ (ы) известны 36,2, На вход динамической системы, предназначенной для получения функции к. (Г) = (г (С), поступает случайная функция Х(Г) =(У(Г)+У(С); У(Г) — помеха. возникающая при получении значений ординаты функции (г'(1). Определить взаимную спектральную плотность 8„(ю), если 8и(га), 8 и(03) н 8 (га) известны. 36.3.
Определить передаточную функцию г.(Егя) оптималь- ной динамической системы, предназначенной для получения производной от случайной функции Х (г) за т секунд до по- следнего наблюдения ординаты Х ((), если и к ( ) (о>и+ пи)г Найти дисперсию ошибки определения скорости. 36.4. Определить передаточную функцию Ь(йа) оптималь- ной днфференцирующей системы, если система служит для определения производной случайной функции У(О в момент времени 1 †т(т ~ 0).
а на вход системы поступает случайная функция Х (С), являющаяся суммой полезного сигнала (г' (1) н помехи У(Ю), которая не связана с (г'(г). Дано: иг зг и(н)= (мг ( пг)г и(Ю) ( г ( рг)г ' 36.6. Определить передаточную функцию оптимального фильтра, предназначенного для получения текущего значения полезного сигнала, если на его вход поступает сумма полез- ного сигнала ьг'(г) и помехи У(Е); (г (г) и У(С) взаимно не коррелированы, а и' Ьг 8.(ю)=„,+„,. 8.()=„,+,, 36.6. Выразить дисперсию ошибки оптимальной динами- ческой системы через спектральные плотности 8и(га), 8и(га), 8„,(га) (Е/(Π— полезный сигнал, У(г) — помеха). если пере- даточная функция оптимальной системы С(гга), а Н вЂ” оператор, Результат применения которого к функции Ег (С) система должна вырабатывать с наименьшей ошибкой.
36.7, На вход динамической системы, предназначенной для получения производной ()((), поступает Х(1) =(у(г)+уИ) где помеха У(О не связана с (У(~). и.( ) -гггт —; г,иг Определить оптимальную передаточную функцию системы н дисперсию ошибки определения оптимальной системой прои од й и(г). 36,8, Определить оптимальную передаточную функцию динамической системы для получения значения ордииатьг .'/ (г -!- т). если на вход системы поступает случайная фушсцня У(1), Ю„(ы)=, . а~ О, т)~0, 36.9.
Спектральная плотность входного сигнала 8„ (ге)= 1 ,, время упреждения т)~0. Определить оптимальную передаточную функцию динамической системы. 36.10. Спектральная плотность входного сигнала аз (ы'+ ат) л ( ) ы4+зя4 Найти оптимальную передаточную функцию динамической системы для определения Х (1+ т) и дисперсию ошибки определенна Х(!+т) при т~~0.
36.1!. На вход динамической системы поступает сумма полезного сигнала У(1) и помехи Ъ'(т), не коррелированных между собой. Определить оптимальную передаточную функцию для получения аначения сигнала в момент времени Ф+т, если т)~0, б.()=„, +„,. 36.12. На вход запаздывающего фильтра поступает сумма некоррелированных сигналов: полезного У(Е) и помехи 1'(!) корреляционные функции которых известны: Х„(т)=озе а!т~ Х (т)=озе Ит1. Определить оптимальную передаточную функпню динамической системы и ошибку фильтрации, если время запаздывания г, (те) О). 36.13. Спектральная плотность входного сигнала Ю (ы)= аз 4, время упреждения т (т)~0).
Определить оптимальную передаточную функцию динамической системы для нахождения Х(г+ т). 36.14. На качающемся корабле необходимо определить такой момент времени Е, чтобы через тз секунд после него линейная функция угла крена В(Е) и его производной п,9(Е)+па6(Е) (где и, и лз — заданные постоянные) прпнала бы заданное значение с. Определить оптимальную передаточную функцию упреднтеля и лисперсию а,' ошибки, если 6=0 К„(т) = а'е-"! ' ~ (соз бт+ — в ~ и 3 ) т ~ ), 36.15, Координата корабля, илущего прямым курсом при неизменной скорости, опрелеляется с ошибкой У(Е). характеризуемой корреляционной функцией К (т) =аз~е ч~ч, где а,=25 м, а=0,25 сек.-г.
Определить наибольшую точность, достижимую при определении скорости изменения координаты корабля, если время наблюдения Т =20, 40 и 240 сек. 36.16. В условиях прелыдушей задачи опрелелить наибольшую точность, лостижимую при определении скорости изменения координаты корабля, если К. (Г) =а'Е-вот! (1+а| с)). а остальные условия те же. 36.17. Для определения текущего значения угловой скорости бортовой качки корабля б(Е) используется динамическая система, на вход которой поступает текущее значение угла крена 6(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
