1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (843875), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Я') (т) Ю=! где ад — постоянные. Х~ (~) — стационарные случайные функции, а время ~ достаточно велико, то ее решения являются стационарными случайными функциями. спектральные плотности и взаимные спектральные плотности которых могут быть вырзжены через спектральные плотности и взаимные спектральные плотности правых частей уравнений: и л / 1 л (н) 1 в л ~ А~~ (н) А„,а (в) 5 (и) с-~ т,та(ы) — ~д(„) Р ° Здесь Ь(ы) — определитель, составленный ив коэффициентов левых частей уравнений: ам+а аж ... атл аю а,э+йа ... о,„ а, а„э ...а, -+йэ Л(гэ) = У = ~ Р(Г, 1г) х(Г,) егп с ХХ э е Рз = ~ ~ ~ Р (Г Г~) Р (И 6э) Р (И Гз) Кх (Г1 Ь Гз) А ьМ~з о о е где Х (г) — случайная функция, стоящая в правой части уравнения, а ! к.г ( - Ч=н(П~л(ч — аэл).
Решение типовых примеров Пример 35.1. Ошибка е(г) измерения ускорения самолета акселерометром определяется уравнением е(г)+ алея+ пав(С)=лп'уя. А~~(ы) — алгебраическое дополнение элемента этого определителя. стоящего на пересечении 1-й строки и /-го столбца, а 5„, (ге)=8„,(ы). Закон распределения решения линейного уравнения (системы линейных уравнений), в правую часть которого входят нормальные случайные функции и нормальные случайные величины, также нормален. Если уравнение линейное, но закон распределения случайных функций, входящих в пра„вую часть равенства, не нормален, то закон распределения решения также не будет нормальным.
Математическое ожидание у н центральные моменты р~ этого закона распределения для любого г определяются формулами где у (Г) — случайная функция, характеризующая случайные возмущения. испытываемые чувствительным элементом акса* лерометра, а ят (гз) = сэ = соней Найти дисперсию скорости самолета, определяемой путем интегрирования показаний акселерометра в течение времени Т, если при интегрировании не возникает добавочных ошибок, а время переходного процесса много меньше Т.
Р е ш е н и е. Согласно условию ошибку е(Г) можно считать стационарной случайной функцией времени, поэтому й2д4с2 й2лФс2 и" — ~>+2а г ~ь — ~- в ! Ошибка скорости бе=~в(Г,) лт, уже не будет стациоо парной, и ее дисперсия определится формулой 0(бо(г)1 =-"с т г ~ К, (г — г,) г(г, ага. Переходя к новым переменным о о интегрирования т=à — Гм й=Гз+т, н вычисляя интеграл по $, получим О! Ьо (Г)) = 2 у (Т вЂ” т) К, (т) 4т 2Т ~ К, (т) И = = 2лТЗ, (0) = 2ггуэсэТ.
Подобным же образом решаются все задачи. в которых искомая случайная функция является стационарным решением линейного уравнения с постоянными коэффициентами илн р~зультатом применения линейного оператора к стационарному решению. Приме р 35.2. Определить для момента времени т дисперсию частного интеграла г (Г) уравнения — +ау(Г) гй'(г) 1 ат =ГХ(Г) удовлетворяющего нулевым начальнтам условиям, если о~~ а 8 (ге) = — ~— и от+аз Решение. В данном случае )«(~) не обладает свойством стационарности, поскольку в правой части уравнения стоит нестационарная функция времени.
Имеем уг(1) = ~ е-ан-')Е(~г)~йп о где г (4) = ЮХ (4) Так как СО К,(т) = ~е' З„(ы)а = '„- ~«1, К г««1 огх х е-а)п-41 г~ «го О!) г (4)) = Кг (Р ~) — / ~ К (~г ~г) е-а (г~-П-П1 г(С,,2~г о о что после выполнения интегрирования дает Г(2а+а) 2а+а г(У)> х1 2а(а+а) 2а'(а+а)' + 4а'(а+а)' + Ф (а — а) — 1 <а+а)г, 4аг — (2а+ а) (а — а)' ягг (аг — пг)«+ 4а«(аг — аг) П р и м е р 35.3.
Найти спектральные плотности и вааимиувг спектральнувг плотность стационарных решений системы уравнений а'г (г) + 2 аг ()) +4 (4)+~(р) Ка(~), "~(') +м(~) =х,®, если ог 2огг ~х (го) = г 1, ~х (го) = л(е + ) ' г п(гог-Г4) ' х'™ (мг — 2)г+ дв ' решение. Заменяя в левых частях уравнений операцию дифференцирования иа йо, для определителя системы алгебраических уравнений получим 1 — аг+ 2йо+ 4 1 о = И4 — а') + 21а[ (1а+ 9). Алгебраические дополнения элементов этого определителю Ац = йо+ 9, А„= О. А„= — 1. Ага = (4 — аг) + 2йо. Следовательно, по обшей формуле получим: З„(е) = ~ Аг [«Я„(е)+ [Аг,~ Я„,(е)+ А;,Аг,5„х (а)+ АггАцЯхгх (е) [д (е) [г 1 1 о~г [е~+ 81) (ег+ 81) [(аг — 4)г+ 4а'] [ гг ((ог+ 1) + 2ог 2о [го~ — 9 [аг — 2)г] ) + к (е' -1- 4) (а' — 2)' + е' ) ' З,.() = АпАгглх (е)+ А[гАылхх (а)+ АггА1глх,х,(а)+ АггАюЯхг(а~ [д (а)[г 1 / а (йо — 9) ' 2огг 2(е[ (но+81) [ (е' — 2)'+(а + гг(аг+4) [(< г,1) [ Зх (е) 2огг [ге+9[о к( '+4)( '+81) ' Задачи 36.1.
На вход динамической системы первого порядка, описываемой уравнением -[ а)х(1) =А'(1), а) б. Л' (Ф) поступает случайная функция Х(с). спектральная плотность кптоРой в полосе частот [а[(гоо, где ао )~а, может быть прината постоянной: Ях (<о) са. 1 Определить корреляционную функцию у(1) при 1 '.⫠— ° 35.2.
Динамическая система описывается уравнением по — „, + в~У И) =бе ~, .+5Л И) в'?' 03 лХ 0) гле х=сопз1 дано. К (т)=пте-"1'~, — ')О. к к во Определить математическое ожилание и дисперсию стационарного решенкя этого уравнения. 35.3. Отклонения У(1) кренаметра, расположенного в плоскости мидель-шпангоута корабля. определяются уравнением Фу,(г) + 2И НУ Я + лЧ Я = птГ Я (и > )? ) О), 1 где Р(1)= — [Ч,(Е) — сЬ(Д)), угол крена 6(Е) и скорость бокового смещения центра тяжести корабля й,(Е) вследствие орбитального движения можно считать несвязанными слу- чайными функциями, К4 (т) =а,е-е?'?йозбт+ — 'з?пЯт~).
Кв(т) =аае-" 1'1(соврет+ — ' з?правит~), а все постоянные; входящие- к формулы, известны' Опреде- лить 5„(ь?). 35.4. Астатнческий гироскоп с пропорциональной кор- рекцией расположен на корабле в плоскости мидель-шпан- гоута. Определить дисперсию отклонения его оси а от на- правления, даваемого физическим маятником, если угол и определяется уравнением а(~)+еп(~)=еУ(1) (е) О); время, прошедшее после включения гироскопа, достаточно велико, чтобы а(() считать стационарным, а для определе- ния спектральной плотности Ю„(в) воспользоваться резуль- татом решения задачи 35.3, приняв яа а,= 1,24 —,; а,=0,1 сек.
', 5? — Г,20 сек. ?,. сек' ' а, = 3,8 ° 10 з рада; а, = 0.04 сек. ', рз.= 0,42 сек. гт 1=0,6 сек.-?; в=6.28 сек. ', с=10м; е — 0.01 сек; " ББ,Б. Определить спектральную плотность и корреляционную функцию стационарного решения уравнении се.,а() -1-2й —,() +СЫЧ"(г)=Х(Г) (й»й >б), ;если можно считать, что Х(г) обладает свойствами «белого шума», т. е. Я (ш) =са=сопз1.
ББ.Б. Угловое отклонение рамки тяльванометра 6(г) от положения равновесия прн разомкнутой цепи определяется уравнением У вЂ” „, + г — (+ И 6 (т) = М (Г), 4!О )~ га, где 1 — момент инерции рамки; г — коэффициент .трения; Е) — коэффициент жесткости нити, на которой подвешена рамка; М (т) — возмущающий момент, вызываемый, случайными ударами молекул окружающей среды. Определить спектральную плотность и корреляционную функцию угла 6(г), если спектральную плотность М (Г) можно считать постоянной, а согласно результатам статистической физики оЧ) = ЬТ, где )з — постоянная Больцмана. е Т вЂ” абсолютная температура срелы. 38.7. Случайная стационарная функция 'У(а) связана со случайной функцией Х (г) уравнением Определить спектральную плотность Б (ы) для стацио- 4 парного решения уравнения..ясли Б„(ы)= и(оР+ 1) ' ББ.Б.
Может ли уравнение содержащее в правой части равенства стационарную функцию Х(г), иметь стационарное решениеу 88.9. Определить дисперсию ординаты центра тяжести корабля ~,(Р) на волнении. если 4,(0+ 2Ь1, (Г) + ы2С, (Г) = ы'Х Щ где ордината волнового профиля Х(Г) имеет корреляционную функцию Кл(т) = аз-«1«~ ~соз рт+ — з)п Щт$); й и сер — постоянные, определяемые параметрами корабля; а — параметр, характеризующий нерегулярность волнения; и — преобладающая частота волнения; ые)~Д > О. 33.10. Ошибка акселерометра, измеряющего горизонтальное ускорение самолета, определяется уравнением е(Г)+ 2ле(г)+иге(Г) =ап'у(Г). где 0 = 0,6 сек.
', п = 6,28 сек. ', К = 9,81 м/сека; угол крена т(Г) — стационарная нормальная случайная функция. корреляционная функция которой дана: К (т) =3 ° 1О ~е е' '"(созбт+0,12з)пб(т~). Определить дисперсию е(Г) при установившемся режиме работы акселерометра. 35.11. Доказать, что если на вход линейной устойчивой динамической системы, описываемой уравнениями с постоянными коэффициентами, поступает случайная функция Х (Г), обладающая 'свойствами «белого шума» (о„(е) = с»).
то при достаточно большом времени после включения системы корреляционная функция выходного сигнала г (Г) определяется равенством К,(т)=2п з~ р(Г) р(à — т)ат, о где р (г) — весовая функция системы. 33.12. Найти дисперсию угла крена корабля 6(г), определяемого уравнением 0(Г)+2Л6(С)+ЙЮ(С) =АзР(Г) (А) Ь > О), если угол волнового склона Р(г) имеет нулевое математи» ческое ожидание, К (т) = аз-е~ ' ~ (соз рт+ — з! и Я т! ).
а процесс качки можно считать установившимся. 36.13. Стационарная случайная функция )'(Г) связана со стационарной функцией Х(г), спектральная плотность которой известна. уравнением У (Г)+ 2И'(Г)+ йз~'(Г) = АтХ (Г), где А)~гг > О. Определить взаимную спектральную плотность 8 (ы) 'и корреляционную функцию связи )с „(т). 36,14, Дано: 'г' (г) + 8 У (г) + 7г' (Г) = Х (1), Кх ('г) = 4е ыт*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
